2018年中考相似三角形汇编

..2018中考数学试题分类汇编：考点36相似三角形一．选择题〔共28小题1．〔2018•XX制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是〔A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元[分析]根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可．[解答]解：3m×2m=6m2,∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2,将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,则面积扩大为原来的9倍,∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2,∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2,故选：C．2．〔2018•XX两三角形的相似比是2：3,则其面积之比是〔A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27[分析]根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．[解答]解：∵两三角形的相似比是2：3,∴其面积之比是4：9,故选：C．3．〔2018•XX要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为〔A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm[分析]根据相似三角形的对应边成比例求解可得．[解答]解：设另一个三角形的最长边长为xcm,根据题意,得：=,解得：x=4.5,即另一个三角形的最长边长为4.5cm,故选：C．4．〔2018•内江已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1：3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为〔A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9[分析]利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可．[解答]解：已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1：3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9,故选：D．5．〔2018•XX市已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为〔A．32 B．8 C．4 D．16[分析]由△ABC∽△DEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可得△ABC与△DEF的面积比为4,又由△ABC的面积为16,即可求得△DEF的面积．[解答]解：∵△ABC∽△DEF,相似比为2,∴△ABC与△DEF的面积比为4,∵△ABC的面积为16,∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．6．〔2017•XX已知△ABC∽△DEF,且相似比为1：2,则△ABC与△DEF的面积比为〔A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1[分析]利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．[解答]解：∵△ABC∽△DEF,且相似比为1：2,∴△ABC与△DEF的面积比为1：4,故选：A．7．〔2018•临安区如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形〔阴影部分与△ABC相似的是〔A． B． C． D．[分析]根据正方形的性质求出∠ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可．[解答]解：由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°,A、C、D图形中的钝角都不等于135°,由勾股定理得,BC=,AC=2,对应的图形B中的边长分别为1和,∵=,∴图B中的三角形〔阴影部分与△ABC相似,故选：B．8．〔2018•XX在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为〔A． B． C． D．[分析]由点D、E分别为边AB、AC的中点,可得出DE为△ABC的中位线,进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．[解答]解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=〔2=．故选：C．9．〔2018•XX如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为〔A．8 B．12 C．14 D．16[分析]直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=BC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案．[解答]解：∵在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,∴△ADE∽△ABC,∵=,∴=,∵△ADE的面积为4,∴△ABC的面积为：16,故选：D．10．〔2018•崇明县一模如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE：EC=3：1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为〔A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1[分析]可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．[解答]解：∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,∴△DFE∽△BFA,∵DE：EC=3：1,∴DE：DC=3：4,∴DE：AB=3：4,∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．11．〔2018•随州如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为〔A．1 B． C．1 D．[分析]由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED,可得出=,结合BD=AB﹣AD即可求出的值,此题得解．[解答]解：∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC,∴〔2=．∵S△ADE=S四边形BCED,∴=,∴===﹣1．故选：C．12．〔2018•XX如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是〔A．= B．= C．= D．=[分析]由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似三角形的性质即可找出==,此题得解．[解答]解：∵GE∥BD,GF∥AC,∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,∴=,=,∴==．故选：D．13．〔2018•XX如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3,则AD的长为〔A．5 B．4 C．3 D．2[分析]先求出AC,进而判断出△ADF∽△CAB,即可设DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判断出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出结论．[解答]解：如图,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10,∴AC=5过点D作DF⊥AC于F,∴∠AFD=∠CBA,∵AD∥BC,∴∠DAF=∠ACB,∴△ADF∽△CAB,∴,∴,设DF=x,则AD=x,在Rt△ABD中,BD==,∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°,∴△DEF∽△DBA,∴,∴,∴x=2,∴AD=x=2,故选：D．14．〔2018•XX如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是〔A．①②③ B．① C．①② D．②③[分析]〔1由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；〔2通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD即可；〔32CB2转化为AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证．[解答]解：由已知：AC=AB,AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．15．〔2018•贵港如图,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=〔A．16 B．18 C．20 D．24[分析]由EF∥BC,可证明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．[解答]解：∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∵AB=3AE,∴AE：AB=1：3,∴S△AEF：S△ABC=1：9,设S△AEF=x,∵S四边形BCFE=16,∴=,解得：x=2,∴S△ABC=18,故选：B．16．〔2018•XX如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=〔﹣1EF．其中正确结论的个数为〔A．5 B．4 C．3 D．2[分析]①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°,据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数,从而得出∠AGF度数,据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAF∽△EAH得=,从而得出a与x的关系即可判断．[解答]解：∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°,∴∠ADC=15°,故①正确；∵AE⊥BD,即∠AED=90°,∴∠DAE=45°,∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,∴∠AGF=75°,由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误；记AH与CD的交点为P,由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°,则∠BAH=∠ADC=15°,在△ADF和△BAH中,∵,∴△ADF≌△BAH〔ASA,∴DF=AH,故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB,∴△AFG∽△CBG,故④正确；在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,∵△ADF≌△BAH,∴BH=AF=2x,△ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°,∴BE=AE=AF+EF=a+2x,∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a,∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE,∴△PAF∽△EAH,∴=,即=,整理,得：2x2=〔﹣1ax,由x≠0得2x=〔﹣1a,即AF=〔﹣1EF,故⑤正确；故选：B．17．〔2018•XX如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是〔A． B． C． D．[分析]如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M．设DE=a,则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；[解答]解：如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M．∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∵FN∥AD,∴四边形ANFD是平行四边形,∵∠D=90°,∴四边形ANFD是解析式,∵AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME,∴MN=a,∴FM=a,∵AE∥FM,∴===,故选：C．18．〔2018•临安区如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE：BC的值为〔A． B． C． D．[分析]根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可．[解答]解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴===．故选：A．19．〔2018•XX州如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点．已知FG=2,则线段AE的长度为〔A．6 B．8 C．10 D．12[分析]根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解．[解答]解：∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,∴△ABF∽△GDF,∴==2,∴AF=2GF=4,∴AG=6．∵CG∥AB,AB=2CG,∴CG为△EAB的中位线,∴AE=2AG=12．故选：D．20．〔2018•XX如图,在△ABC中,点D在AB边上,DE∥BC,与边AC交于点E,连结BE．记△ADE,△BCE的面积分别为S1,S2〔A．若2AD＞AB,则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB,则3S1＜2S2C．若2AD＜AB,则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB,则3S1＜2S2[分析]根据题意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．[解答]解：∵如图,在△ABC中,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=〔2,∴若2AD＞AB,即＞时,＞,此时3S1＞S2+S△BDE,而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小,故选项A不符合题意,选项B不符合题意．若2AD＜AB,即＜时,＜,此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2,故选项C不符合题意,选项D符合题意．故选：D．21．〔2018•永州如图,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为〔A．2 B．4 C．6 D．8[分析]只要证明△ADC∽△ACB,可得=,即AC2=AD•AB,由此即可解决问题；[解答]解：∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴=,∴AC2=AD•AB=2×8=16,∵AC＞0,∴AC=4,故选：B．22．〔2018•香坊区如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式一定成立的是〔A．= B．= C．= D．=[分析]用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．[解答]解：∵DE∥BC,∴,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∵EF∥AB,∴,∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形BDEF是平行四边形,∴DE=BF,EF=BD,∴,,,,∴正确,故选：C．23．〔2018•XX如图,四边形ABCD为平行四边形,E、F为CD边的两个三等分点,连接AF、BE交于点G,则S△EFG：S△ABG=〔A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1[分析]利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∵DE=EF=FC,∴EF：AB=1：3,∴△EFG∽△BAG,∴=〔2=,故选：C．24．〔2018•达州如图,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF=AC．连接DE,DF并延长,分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则的值为〔A． B． C． D．1[分析]首先证明AG：AB=CH：BC=1：3,推出GH∥AC,推出△BGH∽△BAC,可得==〔2=〔2=,=,由此即可解决问题．[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC,DC=AB,∵AC=CA,∴△ADC≌△CBA,∴S△ADC=S△ABC,∵AE=CF=AC,AG∥CD,CH∥AD,∴AG：DC=AE：CE=1：3,CH：AD=CF：AF=1：3,∴AG：AB=CH：BC=1：3,∴GH∥AC,∴△BGH∽△BAC,∴==〔2=〔2=,∵=,∴=×=,故选：C．25．〔2018•XX如图,正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点,连结AP,过点B作BE⊥AP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CH⊥BE于点G,交AB于点H,连接HF．下列结论正确的是〔A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF[分析]首先证明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再证明△CEH≌△CBH,Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性质即可一一判断．[解答]解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB,∵BE⊥AP,CH⊥BE,∴CH∥PA,∴四边形CPAH是平行四边形,∴CP=AH,∵CP=PD=1,∴AH=PC=1,∴AH=BH,在Rt△ABE中,∵AH=HB,∴EH=HB,∵HC⊥BE,∴BG=EG,∴CB=CE=2,故选项A错误,∵CH=CH,CB=CE,HB=HE,∴△ABC≌△CEH,∴∠CBH=∠CEH=90°,∵HF=HF,HE=HA,∴Rt△HFE≌Rt△HFA,∴AF=EF,设EF=AF=x,在Rt△CDF中,有22+〔2﹣x2=〔2+x2,∴x=,∴EF=,故B错误,∵PA∥CH,∴∠CEP=∠ECH=∠BCH,∴cos∠CEP=cos∠BCH==,故C错误．∵HF=,EF=,FC=∴HF2=EF•FC,故D正确,故选：D．26．〔2018•XX如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是〔A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m[分析]先证明∴△ABE∽△ACD,则利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质求出CD即可．[解答]解：∵EB∥CD,∴△ABE∽△ACD,∴=,即=,∴CD=10.5〔米．故选：B．27．〔2018•XX《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣：今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸〔提示：1丈=10尺,1尺=10寸,则竹竿的长为〔A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺[分析]根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．[解答]解：设竹竿的长度为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=0.5尺,∴,解得x=45〔尺．故选：B．28．〔2018•XX学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为〔A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m[分析]由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO,据此得=,将已知数据代入即可得．[解答]解：∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°,又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO,则=,∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,∴=,解得：CD=0.4,故选：C．二．填空题〔共7小题29．〔2018•XX如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF．[分析]利用平行四边形的性质得到AD∥CE,则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．[解答]解：∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥CE,∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．30．〔2018•北京如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为．[分析]根据矩形的性质可得出AB∥CD,进而可得出∠FAE=∠FCD,结合∠AFE=∠CFD〔对顶角相等可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性质可得出==2,利用勾股定理可求出AC的长度,再结合CF=•AC,即可求出CF的长．[解答]解：∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,∴∠FAE=∠FCD,又∵∠AFE=∠CFD,∴△AFE∽△CFD,∴==2．∵AC==5,∴CF=•AC=×5=．故答案为：．31．〔2018•XX如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF．若S△AEF=1,则S△ADF的值为．[分析]由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a,根据EF∥BC得=〔2=,结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=,再由==知=,继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．[解答]解：∵3AE=2EB,∴可设AE=2a、BE=3a,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴=〔2=〔2=,∵S△AEF=1,∴S△ABC=,∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△ADC=S△ABC=,∵EF∥BC,∴===,∴==,∴S△ADF=S△ADC=×=,故答案为：．32．〔2018•资阳已知：如图,△ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点,则四边形BCED的面积为9．[分析]设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,由题意知DE∥BC且DE=BC,从而得=〔2,据此建立关于x的方程,解之可得．[解答]解：设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,∵点D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=BC,∴△ADE∽△ABC,则=〔2,即=,解得：x=9,即四边形BCED的面积为9,故答案为：9．33．〔2018•XX《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在"勾股"章中有这样一个问题："今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问：出南门几步面见木？"用今天的话说,大意是：如图,DEFG是一座边长为200步〔"步"是古代的长度单位的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木〔即点D在直线AC上？请你计算KC的长为步．[分析]证明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质可求出CK的长．[解答]解：DH=100,DK=100,AH=15,∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A,而∠CKD=∠AHD,∴△CDK∽△DAH,∴=,即=,∴CK=．答：KC的长为步．故答案为．34．〔2018•XX《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题："今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何？"其意思为："今有直角三角形,勾〔短直角边长为5步,股〔长直角边长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？"该问题的答案是步．[分析]如图1,根据正方形的性质得：DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式可得结论；如图2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值．[解答]解：如图1,∵四边形CDEF是正方形,∴CD=ED,DE∥CF,设ED=x,则CD=x,AD=12﹣x,∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴,∴,x=,如图2,四边形DGFE是正方形,过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,设ED=x,S△ABC=AC•BC=AB•CP,12×5=13CP,CP=,同理得：△CDG∽△CAB,∴,∴,x=,∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是〔步,故答案为：．35．〔2018•XX如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=100m．[分析]由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．[解答]解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD,∴,,解得：AB=〔米．故答案为：100．三．解答题〔共15小题36．〔2018•XX如图,点P是⊙O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为上一个动点〔不与A,B重合,射线PM与⊙O交于点N〔不与M重合〔1当M在什么位置时,△MAB的面积最大,并求岀这个最大值；〔2求证：△PAN∽△PMB．[分析]〔1当M在弧AB中点时,三角形MAB面积最大,此时OM与AB垂直,求出此时三角形面积最大值即可；〔2由同弧所对的圆周角相等及公共角,利用两对角相等的三角形相似即可得证．[解答]解：〔1当点M在的中点处时,△MAB面积最大,此时OM⊥AB,∵OM=AB=×4=2,∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4；〔2∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB．37．〔2018•株洲如图,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN．〔1求证：Rt△ABM≌Rt△AND；〔2线段MN与线段AD相交于T,若AT=,求tan∠ABM的值．[分析]〔1利用HL证明即可；〔2想办法证明△DNT∽△AMT,可得由AT=,推出,在Rt△ABM中,tan∠ABM=．[解答]解：〔1∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND〔HL．〔2由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM,DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=,∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．38．〔2018•XX如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点〔不与O,B重合,作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB．〔1求证：AC平分∠FAB；〔2求证：BC2=CE•CP；〔3当AB=4且=时,求劣弧的长度．[分析]〔1根据等角的余角相等证明即可；〔2只要证明△CBE∽△CPB,可得=解决问题；〔3作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性质求出BM,求出tan∠BCM的值即可解决问题；[解答]〔1证明：∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,∵∠BCP=∠BCE,∴∠ACF=∠ACE,即AC平分∠FAB．〔2证明：∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵PF是⊙O的切线,CE⊥AB,∴∠OCP=∠CEB=90°,∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,∴∠BCE=∠BCP,∵CD是直径,∴∠CBD=∠CBP=90°,∴△CBE∽△CPB,∴=,∴BC2=CE•CP；〔3解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,∴∠MCB=∠PBM,∵CD是直径,BM⊥PC,∴∠CMB=∠BMP=90°,∴△BMC∽△PMB,∴=,∴BM2=CM•PM=3a2,∴BM=a,∴tan∠BCM==,∴∠BCM=30°,∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°∴的长==π．39．〔2018•XX如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长．[分析]根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4,证△AEB∽△CED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案．[解答]解：∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD,∵BC=4,∴CD=4,∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴=,∴=,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4．40．〔2018•上海已知：如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F．〔1求证：EF=AE﹣BE；〔2联结BF,如课=．求证：EF=EP．[分析]〔1利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论；〔2利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．[解答]证明：〔1∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠BEA=∠AFD=90°,∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,在△ABE和△DAF中,∴△ABE≌△DAF,∴BE=AF,∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；〔2如图,∵=,而AF=BE,∴=,∴=,∴Rt△BEF∽Rt△DFA,∴∠4=∠3,而∠1=∠3,∴∠4=∠1,∵∠5=∠1,∴∠4=∠5,即BE平分∠FBP,而BE⊥EP,∴EF=EP．41．〔2018•东营如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上．〔1求证：∠CAD=∠BDC；〔2若BD=AD,AC=3,求CD的长．[分析]〔1连接OD,由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB,根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°,利用等角的余角相等,即可证出∠CAD=∠BDC；〔2由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD,根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3,即可求出CD的长．[解答]〔1证明：连接OD,如图所示．∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线,OD是⊙O的半径,∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC．〔2解：∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,∴△CDB∽△CAD,∴=．∵BD=AD,∴=,∴=,又∵AC=3,∴CD=2．42．〔2018•XX如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE．过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G．〔1求证：△AFG∽△DFC；〔2若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径．[分析]〔1欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD；〔2首先证明CG是直径,求出CG即可解决问题；[解答]〔1证明：在正方形ABCD中,∠ADC=90°,∴∠CDF+∠ADF=90°,∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°,∴∠DAF+∠ADF=90°,∴∠DAF=∠CDF,∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,∴∠FCD+∠DGF=180°,∵∠FGA+∠DGF=180°,∴∠FGA=∠FCD,∴△AFG∽△DFC．〔2解：如图,连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,∴△EDA∽△ADF,∴=,即=,∵△AFG∽△DFC,∴=,∴=,在正方形ABCD中,DA=DC,∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3,∴CG==5,∵∠CDG=90°,∴CG是⊙O的直径,∴⊙O的半径为．43．〔2018•滨州如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB,求证：〔1直线DC是⊙O的切线；〔2AC2=2AD•AO．[分析]〔1连接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据此知OC∥AD,根据AD⊥DC即可得证；〔2连接BC,证△DAC∽△CAB即可得．[解答]解：〔1如图,连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,又∵AD⊥CD,∴OC⊥DC,∴DC是⊙O的切线；〔2连接BC,∵AB为⊙O的直径,∴AB=2AO,∠ACB=90°,∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°,又∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴=,即AC2=AB•AD,∵AB=2AO,∴AC2=2AD•AO．44．〔2018•XX如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G．〔1求证：FG是⊙O的切线；〔2若tanC=2,求的值．[分析]〔1欲证明FG是⊙O的切线,只要证明OD⊥FG；〔2由△GDB∽△GAD,设BG=a．可得===,推出DG=2a,AG=4a,由此即可解决问题；[解答]〔1证明：连接AD、OD．∵AB是直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AC=AB,∴CD=BD,∵OA=OB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴FG是⊙O的切线．〔2解：∵tanC==2,BD=CD,∴BD：AD=1：2,∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠GDB=∠GAD,∵∠G=∠G,∴△GDB∽△GAD,设BG=a．∴===,∴DG=2a,AG=4a,∴BG：GA=1：4．45．〔2018•XX如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E．〔1求证：△BDE∽△CAD．〔2若AB=13,BC=10,求线段DE的长．[分析]〔1想办法证明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；〔2利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；[解答]解：〔1∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠B=∠C,∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,∴△BDE∽△CAD．〔2∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,在Rt△ADB中,AD===12,∵•AD•BD=•AB•DE,∴DE=．46．〔2018•XX如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上．F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M．〔1若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示；〔2若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线；〔3在〔2的条件下,若AD=,求的值．[分析]〔1根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根据三角形内角和定理可得结论；〔2设∠MBE=x,同理得：∠EMB=∠MBE=x,根据切线的性质知：∠DEF=90°,所以∠CED+∠MEB=90°,同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；〔3由〔2得：∠CAD=45°；根据〔1的结论计算∠MBE=30°,证明△CDE是等边三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=,代入化简可得结论．[解答]解：〔1连接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB,∴∠EDB=∠EBD=α,∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,⊙D中,∵DC=DE=AD,∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,∴∠CAD==；〔2设∠MBE=x,∵EM=MB,∴∠EMB=∠MBE=x,当EF为⊙D的切线时,∠DEF=90°,∴∠CED+∠MEB=90°,∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,∴∠CAD=45°；〔3由〔2得：∠CAD=45°；由〔1得：∠CAD=；∴∠MBE=30°,∴∠CED=2∠MBE=60°,∵CD=DE,∴△CDE是等边三角形,∴CD=CE=DE=EF=AD=,Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,∴∠CNE=75°,∴∠CNE=∠NCB=75°,∴EN=CE=,∴===2+．47．〔2018•XX周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC