广东省中考冲刺二次函数压轴题

4（此题满分8分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴l与x轴订交于点M．1）求抛物线的分析式和对称轴；3分）2）设点P为抛物线（x5）上的一点，若以A、O、M、P为极点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；．．．（2分）（3）连结AC．探究：在直线AC下方的抛物线上能否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．（3分）25、解：（1）依据已知条件可设抛物线的分析式为ya(x1)(x5)，············1分把点A（0，4）代入上式得：a4，44245416，···········2分∴y(x1)(x5)x2x4(x3)255555∴抛物线的对称轴是：x3．························3分（2）由已知，可求得P（6，4）．··················5分第25题图提示：由题意可知以A、O、M、P为极点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x5，所以，MP>2,AP>2；所以以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不切合题意，所以四条边的长只好是3、4、5、6的一种状况，在Rt△AOM中，AM

OA2

OM

2

42

32

5，由于抛物线对称轴过点

M，所以在抛物线

x

5的图象上有对于点

A的对称点与

M的距离为

5，即

PM=5，此时点

P横坐标为

6，即

AP=6；故以

A、O、M、P为极点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数

3、4、5、6建立，即P（6，4）．···································5分法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N42244)（0t5)，过点N作NG(t,tt5y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的分析式为：y44；x5把xt代入得：y4t4，则G(t,4t4)，55此时：NG=4t4-（4t224t4），555=4t220t．····················７分5151420525∴SACNNGOC(t2t)52t210t2(t)2225522∴当t5时，△CAN面积的最大值为25，22由t5，得：y4t224t43，∴（5，-3）．········8255N2分法二：提示：过点N作x轴的平行线交y轴于点E，作CF⊥EN于点F，则SANC梯形SAENSNFCSAEFC（再设出点N的坐标，相同可求,余下过程略）如图9，抛物线y＝(x＋1)2＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－．（1）求抛物线的对称轴及k的值；2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标；3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．当M点运动到哪处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到哪处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．yOBxC【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1，把C(0，－3)代入y＝(x＋1)2＋k得－3＝1＋k∴k＝－4（2）连结AC，交对称轴于点P∵y＝(x＋1)2－4令y＝0可得(x＋1)2－4＝0∴x＝1x＝－312∴A(－3，0)B(1，0)y设直线AC的关系式为：y＝mx＋b把A(－3，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋b得，APOBx－3mb0b3m1C＋＝＝－∴＝－∴线AC的关系式为y＝－x－3当x＝－1时，y＝1－3＝－2P(－1，－2)当M点运动到哪处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．y（3）①设M的坐标为（x,(x＋1)2－4）AOBCM112∴S△AMB＝2×AB×｜ym｜＝2×4×[4－(x＋1)]8－2(x＋1)2当x＝－1时，S最大，最大值为S＝8M的坐标为(－1，－4)②过M作x轴的垂线交于点E，连结OM，SAMCB＝SAMO＋SCMO＋SCBO＝111四边形2×AB×|ym|＋2×CO×|xm|＋2△