不确定环境下供应链的生产与订购的最优决策

2010年第七届苏北数学建模联赛承 诺 书我们仔细阅读了第六届苏北数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为：参赛组别（本科或专科）：本科参赛队员 (签名) ：队员1：（张兆颖）队员2：（纪路）队员3：（郑密）获奖证书邮寄地址：2010年第七届苏北数学建模联赛编号专用页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2010年第七届苏北数学建模联赛题目 不确定环境下供应链的生产与订购的最优决策张兆颖 纪路 郑密摘要本文建立了不确定环境下供应链中生产与订购的最优决策模型，从总体上由简入繁，考虑不同终端的随机与否，依据理性人追求各自利润最大化的原则，对生产商和销售商的利润进行预测，或者确定最佳生产量和批发量。最后，对模型作出分析、评价和改进。对于问题一我们建立了模型Ⅰ。考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，在商品的最终需求量是确定的情况下，由于受到各种随机因素的影响，生产商的生产量呈现波动，我们假设生产商的生产量服从一个订购量随机变化的均匀分布，通过对生产商的利润函数期望求导使之等于零从而可计算出生产商的最优生产量是 448；而销售商面对的是市场需求是确定的，根据销售商的利润函数可得到销售商的最优订购量是 400。对于问题二，我们学习了报童模型的算法，在模型Ⅰ的基础上建立了模型Ⅱ，考虑如果商品的市场需求量也是随机的，而同时生产商生产商品量也是不确定的。在模型Ⅰ的基础上，对计算销售商的最优订购量进行改进，此时销售商面对的是市场需求随机变化的一个概率分布。仿照模型Ⅰ中计算生产商的最有生产量的方法计算此情况下销售商的最优订购量是464，生产商的最优计划产量为520。对于问题三，综合考虑两级生产不确定的供应链中，在市场需求既定的情况下我们建立模型Ⅲ，在市场需求随机的情况下我们建立Ⅳ；在市场最终需求确定，生产商生产量不确定时，销售商根据市场的需求量确定最优订购来量，无论是供过于求还是供不应求都会产生库存成本或是销售缺货成本，故只有销售商的订购量与市场需求量相等时达到利润最大，二级生产商的最优订购量为400和一级生产商的最优计划产量为340。然后在模型III的基础上，对计算二级生产商的最优订购量进行改进，此时二级生产商面对的是随机变化的市场需求量，假设随机变化的市场需求量服从均匀分布，运用报童模型的算法来为二级生产商解决最优订购量的问题，一级生产商的最优生产量算法与模型的算法相同。关键词：供应链；生产量；订购量；均匀分布；报童模型；期望；MATLAB；市场需求，利润函数§1问题的重述一、背景知识供应链(SupplyChain)【1】:供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,是由供应商、制造商、分销商、零售商、直到最终用户连成一个整体的功能网链结构模式。也就是说，供应链是围绕核心企业，通过对信息流、物流、资金流的控制，从采购原材料开始，制成中间产品以及最终产品，最后由销售网络把产品送到消费者手中的网络结构。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。二、要解决的问题1、问题一：考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。考虑在商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的情况下，通过建立生产商和销售商采取完全独立政策的数学模型，并通过所建模型代入具体数值确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。2、问题二：利用1所建立的模型，进行深入的探讨。当商品的市场需求量也是随机时，建立数学模型，并代入具体数值确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。3、问题三：考虑供应链在两级生产不确定性的情况下，即原产品（或原材料）生产的不确定和产成品的生产不确定时，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。§2问题的分析在全球竞争和产品生命周期缩短的压力下,需求预测的不确定性导致企业安全库存增加,成本上升;随着供应链管理研究的深入,如何以较低的成本快速响应客户的需求,供应链成本的高低,直接关系到供应链的赢利空间和客户价值。生产商和销售商面对市场需求的随机变化进行最优生产量和最有计划量的制定以达到各自的最大盈利空间。生产链是一个复杂的供应网络，在本文中只考虑包含一个生产商和销售商的供应链，在面对市场需求量和生产量的随机变化的情况，销售商的订购量随着市场需求量的变化而变化，同时生产量也随着销售商的订购量的变化而变化。在面对市场需求量和生产量的随机变化的情况，销售商和生产商根据报童模型的算法来确定最优订购量和最优生产量。一、相关知识的介绍（1）、一条供应链的最终目的是满足客户需求，同时实现自己的利润。它包括所有与满足客户需求相关的环节，不仅仅是生产商和供应商，还有运输、仓储、零售和顾客本身。客户需求是供应链的驱动因素，一条供应链正是从客户需求开始，逐步向上延伸的。整条供应链的最终目标就是以最优化的成本满足客户需要获得自身的最大利润。（2）、报童模型介绍：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为 b，零售价为a，退回价为c，应该自然地假设为 a>b>c．这就是说，报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔 b-c．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入．众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r0,1,2,)．有了f(r)和a，b，c，就可以建立关于购进量的优化模型了．二、问题分析对问题一分析：本问题认为销售商与生产商存在主从关系，当市场需求量一定时，而生产商的实际生产量是随机变化的。此问题中的销售商为了追求利润最大化，根据确定的市场需求量制定一个销售计划，使销售成本（库存积压商品成本或销售缺货成本等）达到最小，求出销售商的最优订购量。生产商为使生产成本（库存商品成本或批发缺货成本等）达到最小，获得最大利润，则可以根据销售商的最优订购量确定自己的最优生产计划量。对问题二分析:本问题中商品市场的需求量和生产商的实际生产量都是随机变化的。此时销售商可以根据波动的市场需求量运用报童模型算法来在利润的期望函数达到最大的情况下，确定最优订购量。生产商的最优生产量同模型Ⅰ算法。对问题三分析：供应链具有两级生产的不确定性，即原材料生产商和产成品生厂商各自的生产量的不确定性、产成品的市场需求的随即变动。此时的产成品生厂商可以根据模型Ⅱ的销售商的销售计划来制定自己的对原材料的最优采购量，同时原材料生产商也可以根据模型Ⅰ算法来制定最优生产量。§3模型的假设1、假设生产商和销售商对销售商的需求分布、销售价格有着对称的信息。2、考虑供应链中只包含一个生产商和一个销售商的供应链3、由于受到各种随机因素的影响，产量与市场需求量服从均匀分布；4、生产不直接与市场发生联系；5、一定时期内，总体经济环境稳定，不会发生重大的经济变动和经济危机；6、不考虑生产商的运输成本、资金转移成本、信息成本、供应链相关的机会成本和供应链整合成本等[2]。§4名词解释与符号说明一、名词解释1、供应链：供应链是围绕核心企业，通过对信息流，物流，资金流的控制，从采购原材料开始，制成中间产品以及最终产品，最后由销售网络把产品送到消费者手中的将供应商，制造商，分销商，零售商，直到最终用户连成一个整体的功能网链结构。2、两级生产不确定性:即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性序号符号符号说明1p0表示生产商的单位商品批发价格2p表示销售商的单位商品销售价格3c表示单位商品生产成本4c0表示单位商品库存成本5s表示单位商品批发缺货成本6w表示单位商品销售缺货成本7Q表示最优计划产量8Q0表示生产商的实际生产量9X表示商品市场需求量10q表示销售商的最优订购量f(Q0)表示生产商实际生产量服从的概率密度函数12Rq表示销售商的利润函数13RQ表示生产商的利润函数14a,b表示生产商的生产波动区间m,n表示销售商所面对市场的随机需求的波动区间f(X)表示销售商所面对市场的随机需求的概率密度函数17P1表示原产品价格18P2表示产成品价格19C1表示单位原产品生产成本20C2表示单位原产品库存成本21C3表示单位原产品缺货成本22C4表示单位产成品生产加工成本23C5表示单位产成品库存成本24C6表示单位产成品缺货成本25Q1表示一级生产商的最优计划产量26Q2表示一级生产商的实际生产量27Y表示产成品市场需求量28k表示二级生产商的最优订购量f(Q2)表示一级生产商的实际生产量服从的概率密度函数R(k)表示一级生产商的利润函数31()表示一级生产商的利润函数RQ132c,d表示一级生产商的生产波动区间33i,j表示二级生产商所面对市场的随机需求的波动区间34f(Y)表示二级生产商所面对市场的随机需求的概率密度函数§5模型的建立与求解从所要解决的的问题和对问题所做的假设出发，我们对问题一建立了模型Ⅰ，对问题二建立了模型Ⅱ，对问题三建立了模型Ⅲ和模型Ⅳ。1、模型Ⅰ本模型考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链， 在商品的最终需求量是确定的情况下，，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动。生产商的生产量服从一个订购量随机变化的均匀分布，通过对生产商的利润函数期望求导使之等于零从而可计算出生产商的最优生产量。 而销售商面对的是市场需求是确定的，根据销售商的利润函数画图可得到销售商的最优订购量。2、模型Ⅱ本模型考虑如果商品的市场需求量也是随机的，而同时生产商生产商品量也是不确定的。在模型Ⅰ的基础上，对计算销售商的最优订购量进行改进，此时销售商面对的是市场需求随机变化的一个概率分布。仿照模型Ⅰ中计算生产商的最有生产量的方法计算此情况下销售商的最优订购量。3、模型Ⅲ本模型针对模型Ⅰ进一步的扩展，研究在在两级生产不确定的供应链中，当产成品市场需求是确定时，而原产品的产量不确定时，研究方法与模型Ⅰ相类似，从而确定二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。4、模型Ⅳ本模型是在模型Ⅲ的基础上继续讨论当产成品的市场需求是一个随机变量时，原产品的产量也是不确定的情况下，二级供应商服从产成品随机市场需求的均匀分布，一级供应商的最优生产量的确定方法与模型Ⅲ的相同。从而确定二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。一、问题一的分析与求解1、对问题的分析在市场最终需求确定，生产商生产量不确定时，销售商根据市场的需求量确定最优订购来量，无论是供过于求还是供不应求都会产生库存成本或是销售缺货成本，故只有销售商的订购量与市场需求量相等时达到利润最大。而生产商面对销售商的随机订购量会制定生产波动区间以最大化的减小损失，利用销售商和生产商的主从关系[6]建立数学模型，求解实际供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。2、模型Ⅰ⑴模型的准备市场需求量一定，而生产商的实际生产量在[0.85,1.15]随机波动，对应的生产商的计划产量Q，实际产量在[0.85Q，1.15Q]随机波动。①对销售商的分析当qX时，供过于求，则销售商将存在商品库存成本；当qX时，供不应求，则销售商将产生销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本） ；当qX时，既不存在缺货成本，也不存在库存成本，此时销售商的利润到达最大。因此销售商的最优进货量q等于市场需求量X。对生产商的分析当Qq时，供过于求，则生产商将存在商品库存成本；当Qq时，供不应求，则生产商将产生批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）；当Qq时，既不存在批发缺货成本，也不存在库存成本，此时生产商的利润到达最大。⑵模型的建立与求解1）销售商面临的问题给定生产商的批发价格，销售商去决定自己的最优订货量。当q X时，供过于求，销售商的收益函数为：Rq(pp0)Xc0qX当qX时，供不应求，销售商的收益函数为：Rq pq p0q w(X q)(p p0 w)q wX2）生产商面临的问题根据生产商的波动区间服从一个均匀分布，对其期望利润函数求导，并令其为0可得到生产商的最优生产量。生产商的生产量是Q，因为销售商的订购量 q是随机的，q可以小于Q、等于或大于Q，这就导致生产商的收益也是随机的，所以作为优化模型的目标函数不能是生产商的每次收益函数，而应该是他长期的期望函数(平均收益)。当Qq时，生产商的收益函数为：RQ(p0c)qc0Qq=(p0cc0)qc0Q当Qq时，生产商的收益函数为：RQp0QcQbqQP0cbQbq此时生产商的期望利润函数为：ERQqQfQ0dQbp0cc0qc0p0cbQbqfQ0dQaq对生产商的期望利润函数求导可得 ,ERQdQ

q bc0fQ0dQ p0 c bfQ0dQa q令dERQ 0，当给定生产商实际生产量随机变化所遵从的概率密度函数时即dQ可求出生产商的最优订购量 Q。根据上述模型求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量：当生产成本c20，单位商品库存成本为c05，单位商品批发缺货成本为b15，单位商品销售缺货成本w25，单位商品批发价格p040，单位商品销售价格p60，商品市场需求量X400。商品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为[0.85Q,1.15Q].当市场需求量是确定时：（1）、对于销售商：当qX时，供过于求，销售商的收益函数为：Rq(pp0)Xc0qX当qX时，供不应求，销售商的收益函数为：Rq pq p0q w(X q)(p p0 w)q wX当市场需求量是确定时，销售商的订购量和市场需求量相等时利润达到最大，此时既没有库存成本也没有销售缺货成本，即q400（2）、对于生产商：当Q q时，供过于求，此时生产商的收益函数为：RQ (40 20)q 5Q q 25q 5Q当Q q时，供不应求，此时生产商的收益函数为：RQ 40Q 20Q 15q Q 35Q 15q假设生产商生产的实际产品量服从均与分布 [4]：1/0.3Q，0.85Q Q0 1.15Qf(Q0)0,其他则：4001.15QERQ35Q15qfQ0dQ255QfQ0dQ0.85Q400=10(3200000319Q216600Q)3Q20利用MATLAB作出其利润函数图象如下图一所示：图一 生产商的利润函数图像77507700765076007550750074507400410420430440450460470480490500400由上图可见在区间[440,460]之间有最大值；为了求E(R(Q))的最大值，对生产商的期望利润函数求导，并令dERQ0即10(3200000319Q2103193Q22016600Q)(Q16600)03Q10可求得生产商的最优生产量 Q为448。运用MATLAB[5]的求解过程可参见附录 1⑷模型的结果结论：销售商的最优订购量 q为400和生产商的最优计划产量 Q为448。二、问题二的分析与求解1、对问题的分析考虑如果商品的市场需求量也是随机的，而同时生产商生产商品量也是不确定的情况。在模型Ⅰ的基础上，对计算销售商的最优订购量进行改进，此时销售商面对的是随机变化的市场需求量，假设随机变化的市场需求量服从均匀分布。运用报童模型的算法来为销售商解决最优订购量的问题，生产商的最优生产量算法与模型Ⅰ的算法相同。2、模型Ⅱ⑴模型的分析在整个销售期内，由于需求的不确定性，销售商的订购量可能会多于或无法满足市场需求，这样会给销售商带来额外的成本。而报童模型是针对市场需求随机变化的情况，报童根据自己的卖报经验或其他渠道掌握了市场需求的分布规律来确定最优订购量。在本模型中运用相类似的方法确定销售商的最优订购量，而生产商的最优生产量的算法与模型Ⅰ相同。⑵模型的准备生产商的最优生产量方法套用模型Ⅰ中的算法，销售商根据市场需求量确定订购量，而市场需求是随机变化的，假定销售商根据先前的销售情况或其他渠道掌握了需求的分布规律，即在他的销售范围内商品的市场需求量为X的概率为X(X0,1,2,3,.....⑶模型的建立此时销售面临的问题市场需求量是随机变化的，其波动区间为m,n，给定了生产商的批发价格，销售商确定最优订购量。销售商的订购量是q，因为市场需求X是随机的，X可以小于q、等于或大于q，这就导致销售商的收益也是随机的，所以作为优化模型的目标函数不能是销售商的每次收益函数，而应该是他长期的期望函数(平均收益)。当q X时，供过于求，销售商的收益函数为：Rq(pp0)Xc0qXpP0c0XC0q当qX时，供不应求，销售商的收益函数为：Rqpqp0qw(Xq)(pp0w)qwX销售商的期望利润函数为:qnERqpp0wqwXfXdXqpp0c0Xc0qfXdXm为了求E(R(q))的最大值，对销售商的期望利润函数求导，并令dERq，即0dERqdqqndqp0pwfXdX(c0)fXdX=0mq当给定市场需求量随机变化所遵循的概率密度函数时，即可求出销售商的最优订购量q。根据上述建立的数学模型，求解下面供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量：当生产成本c 20，单位商品库存成本为 c0 5，单位商品批发缺货成本为b 15，单位商品销售缺货成本 w 25，单位商品批发价格 p0 40，单位商品销售价格60，商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为[0.8,1.2]，即实际市场需求量的区间为[320,480]。商品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为[0.85Q,1.15Q].当q X时，供过于求，销售商的收益函数为：Rq (60 40)X 5 q X25X 5q当q X时，供不应求，销售商的收益函数为：Rq 60q 40q 25(X q)45q 25X假设市场需求量为 X的概率f(X)服从均匀分布；则1/160,320X480f(X)0,其他销售商的期望利润函数为:ERqqXdX480(25X5q)f(4525X)fXdX320q=5q2260001q(q320)9q(480q)323232利用Matlab作出此期望函数的图形如下所示：图二销售商的期望利润函数图像x1041利润期望

0-1-2-3-4-5-6-7-80 200 400 600 800 1000 1200批发量q由图一可见，其利润期望值在[400,600]间有最大值；于是对销售商的期望利润函数求导，并令其为0可求得销售商的最优订购量q。dERq5q145dq16即q464运用MATLAB的求解过程可参见附录 2面对销售商的最优订购量 ，生产商做出的最优的计划产量求解过程如下：假设生产商生产的实际产品量服从均与分布：1/0.3Q,0.85Q Q0 1.15Qf(Q0)0,其他生产商的期望利润函数为 ;qbERQap0cc0qc0QfQ0dQp0cbQbqfQ0dQq4641.15Q35Q15qfQ0dQ25q5QfQ0dQ0.85Q464=10(4305920319Q219256Q)3Q20利用MATLAB画出其期望利润函数图像如图三所示：图三 生产商的期望利润函数图8940892089008880886088408820880087808760480490500510520530540550由上图可见，生产商的期望利润在[510,530]之间有最大值，为了求E(R(Q))的最大值，对生产商的期望利润函数求导，并令dERQ0即10(4305920319Q219256Q)10(319Q19256)03Q2203Q10求得生厂商的最优计划产量 Q为520。运用MATLAB的求解过程可参见附录 3⑷模型的结果结论：销售商的最优订购量 q为464和生产商的最优计划产量 Q为520。三、问题三的分析与求解1、对问题的分析在市场最终需求确定，生产商生产量不确定时，销售商根据市场的需求量确定最优订购量，无论是供过于求还是供不应求都会产生库存成本或是销售缺货成本，故只有销售商的订购量与市场需求量相等时达到利润最大。而生产商面对销售商的随机订购量会制定生产波动区间以最大化的减小损失，利用销售商和生产商的主从关系[6]建立数学模型，求解实际供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。2、模型

III⑴模型的准备市场需求量一定，而一级生产商的实际生产量在[0.85,1.15]随机波动，对应的二级生产商的计划产量Q，产成品生产量的波动区间为[0.9,1.1]随机波动。③对二级生产商的分析当kY时，供过于求，则二级生产商将存在产成品库存成本；当kY时，供不应求，则二级生产商将产生产成品缺货成本（即由于二级生产商的供应量不足市场的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）；当kY时，既不存在缺货成本，也不存在库存成本，此时二级生产商的利润到达最大。因此二级生产商的最优进货量 k等于市场需求量Y。④对一级生产商的分析当Q1k时，供过于求，则一级生产商将存在原产品库存成本；当Q1k时，供不应求，则一级生产商将产生原产品缺货成本（即由于一级生产商的供应量不足二级生产商的订购量， 而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）；当Q1k时，既不存在原产品缺货成本，也不存在库存成本，此时一级生产商的利润到达最大。⑵模型的建立与求解1）二级生产商面临的问题给定一级生产商的原产品价格，二级生产商去决定自己的最优订货量。当0.7k Y时，供过于求，二级生产商的收益函数为：Rk(P2P1)YC50.7ky0.7C4k0.7当0.7k Y时，供不应求，二级生产商的收益函数为：Rk

0.7p2

k

p1

k

c3

(Y

0.7k)

0.7C4k(0.7p2

p1

0.7c3

0.7c4

)k

c3Y2）一级生产商面临的问题根据一级生产商的波动区间服从一个均匀分布，对其期望利润函数求导，并令其为可得到一级生产商的最优生产量。一级生产商的生产量是Q，因为二级生产商的订购量q是随机的，q可以小于Q、等于或大于Q，这就导致一级生产商的收益也是随机的，所以作为优化模型的目标函数不能是一级生产商的每次收益函数，而应该是他长期的期望函数 (平均收益)。当Q1 k时，一级生产商的收益函数为：RQ1(p1c1)kc2Q1k=(p1c1c2)kc2Q1当Q1k时，一级生产商的收益函数为：RQ1p1Q1c1Q1c2kQ1P1c1c2Q1c2k此时一级生产商的期望利润函数为：kc1c2kc2Q1fQ2dQ1bp1c1c2Q1c2kfQ2dQ1ERQ1p1ka对一级生产商的期望利润函数求导可得,dERQ1qbdQ1c0fQ0dQp0cbfQ0dQaq令dERQ0，当给定一级生产商实际生产量随机变化所遵从的概率密度函数dQ时即可求出一级生产商的最优订购量Q1。根据上述模型求解以下供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量：单位原产品生产成本为 20，单位原产品库存成本为 5，单位原产品缺货成本为 15，单位产成品生产加工成本为10，单位产成品库存成本为7，单位产成品缺货成本为30，二级生产商投入单位原产品产出产成品数量为0.7，原产品价格为40，产成品价格为95，产成品市场需求量为280。原产品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，产成品生产量的波动区间为[0.9,1.1].当市场需求量是确定时，二级生产商的订购量和市场需求量相等时利润达到最大，此时既没有库存成本也没有销售缺货成本，即 k 280当Q1 k时，供过于求，此时一级生产商的收益函数为：RQ1(4020)k5Q1k25k5Q1当Q1k时，供不应求，此时一级生产商的收益函数为：RQ140Q120Q115kQ135Q115k假设一级生产商生产的实际产品量服从均与分布[4]：1/0.3Q1,0.85Q1Q21.15Q1f(Q2)0,其他2801.15Q1ERQ20.85Q135Q115kfQ2dQ228025k5Q1fQ2dQ2同理我们利用MATLAB作出一级生产商的利润函数图象如图四所示：图四 以及生产商的利润函数图象6000550050004500400035003000250300350400450500550600200通过上图可以看出其最优解在 [300,350]之间，于是我们对画图方法进行改进，即缩小步长如下图所示：6000550050004500400035003000320340360380400420440460480500300模型III 的结果结论：二级生产商的最优订购量 q为400和一级生产商的最优计划产量 Q为340。3、模型IV（1）、对问题的分析考虑如果商品的市场需求量也是随机的，而同时一级生产商一级生产商品量也是不确定的情况。在模型III的基础上，对计算二级生产商的最优订购量进行改进，此时二级生产商面对的是随机变化的市场需求量，假设随机变化的市场需求量服从均匀分布。运用报童模型的算法来为二级生产商解决最优订购量的问题，一级生产商的最优生产量算法与模型III的算法相同。（2）、模型的分析在整个生产期内，由于需求的不确定性，二级生产商的订购量可能会多于或无法满足市场需求，这样会给二级生产商带来额外的成本。而报童模型是针对市场需求随机变化的情况，报童根据自己的卖报经验或其他渠道掌握了市场需求的分布规律来确定最优订购量。在本模型中运用相类似的方法确定二级生产商的最优订购量，而一级生产商的最优生产量的算法与模型III相同。（3）、模型的准备一级生产商的最优生产量方法套用模型Ⅰ中的算法，二级生产商根据市场需求量确定订购量，而市场需求是随机变化的，假定二级生产商根据先前的销售情况或其他渠道掌握了需求的分布规律，即在他的销售范围内商品的市场需求量为

X的概率为fX

(X

0,1,2,3,......

)（4）、模型的建立此时销售面临的问题市场需求量是随机变化的，其波动区间为 i,j，给定了一级生产商的原产品价格，二级生产商确定最优订购量。二级生产商的订购量是 k，因为市场需求Y是随机的，Y可以小于k、等于或大于k，这就导致二级生产商的收益也是随机的，所以作为优化模型的目标函数不能是二级生产商的每次收益函数，而应该是他长期的期望函数(平均收益)。当0.7kY时，供过于求，二级生产商的收益函数为：Rk(p2p1)Yc5Y0.7k0.7kc40.7=(p2p1c5)Y0.7c5k0.7kc40.7当0.7kY时，供不应求，二级生产商的收益函数为：Rk0.7kp2p1kc6(Y0.7k)0.7c4(0.7p2p10.7c6)kc6Y0.7C4二级生产商的期望利润函数为:ERQ1k(p2p1c5)Y0.7c5k0.7kc4)fQ2dQ1d(0.7p2p10.7c6)kc6Y0.7c4fQ2dQ1c0.7k为了求((Q))的最大值，对二级生产商的期望利润函数求导，并令ER1dERQ10，即dQ1dERqqnp0pwfXdX(c0)fXdX=0dqmq模型IV的结果结论：当我们知道现实市场中需求量随机变化所遵循的概率密度函数时，利用上述模型即可求出二级生产商的最优订购量k。§6模型的评价与推广一、模型的优缺点1、优点：⑴利用MATLAB软件对利润期望函数作出平面图，判断其是否有最值，且大致的最值所在区间，简便，直观、快捷；⑵本文建立的模型与实际紧密联系，由简入繁，充分考虑现实情况的不同情形，从而使模型更贴近实际，通用性强；⑶运用数学软件进行求导、计算，使计算结果更加准确 ;2、缺点：⑴我们假设了生产商生产量和市场需求为均匀分布，脱离了市场的多变实际；⑵由于题设为一对一模型，过于简单，应用性不是很强。二、模型的推广：本文针对市场供应链的流通程序，分别供应链中多级生产商、销售商进行了最优决策策划，具有现实的经济意义，可以适用于商家制定获利方案的选优、生产商生产量和销售商批发量的确定等一些问题。对于问题三的模型，更加贴近实际，可行度更广，可以类似此模型解决现实市场中有更多生产环节的复杂供应链问题，值得更多的完善和推广。参考文献百度百科：供应链成本分析及控制研究[J]，孙保华,孙元,石芳堂，第3期2009年2月张韵华,Mathematica符号计算系统实用教程,合肥:中国科技