2023届吉林省长春市九台区第四中学高三考前热身数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．2．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（）A． B． C． D．3．若与互为共轭复数，则（）A．0 B．3 C．－1 D．44．如图，在正四棱柱中，，分别为的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则()A．直线与直线异面，且 B．直线与直线共面，且C．直线与直线异面，且 D．直线与直线共面，且5．已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④6．已知集合，则集合真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．87．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．608．如果实数满足条件，那么的最大值为（）A． B． C． D．9．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（）A． B． C． D．10．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A． B．6 C．4 D．511．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（）A．56 B．72 C．88 D．4012．已知函数，若则（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．14．若，则的展开式中含的项的系数为_______.15．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______.16．已知函数，则下列结论中正确的是_________.①是周期函数；②的对称轴方程为，；③在区间上为增函数；④方程在区间有6个根.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数51515123（1）将竞赛成绩在内定义为“合格”，竞赛成绩在内定义为“不合格”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率．参考公式及数据：，其中．19．（12分）己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程；直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.20．（12分）已知函数，设为的导数，．（1）求，；（2）猜想的表达式，并证明你的结论．21．（12分）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．（1）求,的值：（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积．22．（10分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足（1）求椭圆的标准方程；（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【答案解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【题目详解】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；选项C：由于，所以，所以，所以成立；选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故选：B.【答案点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.2．C【答案解析】

根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【题目详解】解：由于在区间有三个零点，，，当时，，∴由对称轴可知，满足，即.同理，满足，即，∴，，所以最小正周期为：.故选：C.【答案点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.3．C【答案解析】

计算，由共轭复数的概念解得即可.【题目详解】，又由共轭复数概念得：，.故选：C【答案点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.4．B【答案解析】

连接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性质可知，直线与直线共面.，同理易得，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线与所成角为，然后再利用余弦定理求解.【题目详解】如图所示：连接，，，，由正方体的特征得，所以直线与直线共面.由正四棱柱的特征得，所以异面直线与所成角为.设，则，则，，，由余弦定理，得.故选：B【答案点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.5．A【答案解析】

根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知③错误；令，在和两种情况下知均无零点，知④正确.【题目详解】由题意得：定义域为，，为奇函数，图象关于原点对称，①正确；为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误；，，不是最值，③错误；令，当时，，，，此时与无交点；当时，，，，此时与无交点；综上所述：与无交点，④正确.故选：.【答案点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.6．C【答案解析】

解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.【题目详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【答案点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.7．D【答案解析】

根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.【题目详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.故选：D.【答案点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题8．B【答案解析】

解：当直线过点时，最大，故选B9．C【答案解析】

根据题目中的基底定义求解.【题目详解】因为，，，，，，所以能作为集合的基底，故选：C【答案点睛】本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10．D【答案解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算．【题目详解】由题意．故选：D．【答案点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．11．B【答案解析】

，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【题目详解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故选：B.【答案点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.12．C【答案解析】

利用导数求得在上递增，结合与图象，判断出的大小关系，由此比较出的大小关系.【题目详解】因为，所以在上单调递增；在同一坐标系中作与图象，，可得，故.故选：C【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】因为sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．答案：14．【答案解析】

首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.【题目详解】，根据二项式展开式通项：，令，解得，所以含的项的系数.故答案为：【答案点睛】本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.15．【答案解析】

易知，设，，利用绝对值不等式的性质即可得解．【题目详解】，设，，令，当时，，所以单调递减令，当时，，所以单调递增所以当时，，，则则，即故答案为：.【答案点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．16．①②④【答案解析】

由函数，对选项逐个验证即得答案.【题目详解】函数，是周期函数，最小正周期为，故①正确；当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即.的对称轴方程为，，故②正确；当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故③错误；作出函数的部分图象，如图所示方程在区间有6个根，故④正确.故答案为：①②④.【答案点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.【答案解析】

（Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.【题目详解】（Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示：因为，分别是线段和的中点，所以是梯形的中位线，所以.又，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以.所以，.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为，且平面，故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：不妨设，则，所以，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则所以可取.设直线与平面所成的角为，则.故可得直线与平面所成的角的正弦值为.【答案点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.18．（1）见解析；（2）【答案解析】

（1）补充完整的列联表如下：合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050则的观测值，所以有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有名学生，记为，竞赛成绩不合格的有名学生，记为，从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：，共10种，这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：，共3种，所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为．19．;.【答案解析】

连接，由三角形相似得，，进而得出，，写出椭圆的标准方程；由得，，因为直线与椭圆相切于点，，解得，，因为点在第二象限，所以，，所以，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，求出面积的取值范围.【题目详解】解：连接，由可得，，，椭圆的标准方程；由得，，因为直线与椭圆相切于点，所以，即，解得，，即点的坐标为，因为点在第二象限，所以，，所以，所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，当且仅当，即时，有最大值，所以，即面积的取值范围为.【答案点睛】本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.20．,；，证明见解析【答案解析】

对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【题目详解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用数学归纳法证明：①当时，成立，②假设时，猜想成立即当时，当时，猜想成立由①②对成立【答案点睛】本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题