数列极限求法及其应用

数列极限的求法及其应用内容提要数列极限可用e_n语言和A-n语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词e_N定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限OntheSolutionsandtheApplicationsastotheSequenceLimitAbstractThelimitofasequencecanbeaccuratelydefinedbyg-nlanguageanda—Nlanguage.Thispapermainlydescribesdifferentsolutionstofindingsequencelimit,forexample,definitionofsequencelimitmethod,fundamentaloperationsofsequencelimitmethod,squeezinglawmethod,themonotoneconvergencetheoremmethod,functionlimitsmethod,definiteintegralsdefinitionmethod,Stoltzformulamethod,geomericandarithmeticconvergenceformulamethod,seriesmethod,contractionmethod,etc.We'llalsofindthatdifferentmethodscanbeusedtosolvethesamelimit.Finally,wealsobrieflyintroducetheapplicationsofsequencelimitinreallife,suchas,inferingtheareaofacircleingeometry,findingthenumerialsolutionofequations,studyingthestabilityofthemarketoperationandtheamortizationproblemsofpurchasemortgageloans.KeyWordsg-ndefinition;Squeezinglaw;Stoltzformula;Functionlimits

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章数列极限的概念1\o"CurrentDocument"1.1数列极限的定义及分类1\o"CurrentDocument"1.2数列极限求法的常用定理2鱼—A

第一章列极限的求法鱼—A

第一章列极限的求法\o"CurrentDocument"2.1极限定义求法4\o"CurrentDocument"2.2极限运算法则法6\o"CurrentDocument"2.3夹逼准则求法7\o"CurrentDocument"2.4单调有界定理求法8\o"CurrentDocument"2.5函数极限法9\o"CurrentDocument"定积分定义法10\o"CurrentDocument"Stoltz公式法11\o"CurrentDocument"2.8几何算术平均收敛公式法1213152.9级数法13152.10其它方法第三章数列极限在现实生活中的应用17第三章数列极限在现实生活中的应用17173.1几何应用-计算面积173.2求方程的数值解183.3市场经营中的稳定性问题19TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3.3.1零增长模型19\o"CurrentDocument"3.3.2不变增长模型20\o"CurrentDocument"3.4购房按揭贷款分期偿还21\o"CurrentDocument"致谢24参考文献24数列极限的求法及其应用学号：071106132作者：杨少鲜指导老师：董建伟职称：讲师第一章数列极限的概念在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1数列极限的定义及分类数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法一割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积A在n无限增大（nF）时，内接正多边形无限接近于圆，同时A也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：£-N定义/A-N定义.定义1J-N语言）：设｛"是个数列，a是一个常数，若Vo0U正整数n，使得当n〉N时，都有虬―a|vs则称a是数列｛aj当n无限

增大时的极限，或称｛"收敛于a，记作lim厂a，或】尸a（〃*3）.nr+3这时，也称｛"的极限存在.定义23—N语言）:若A>0,3正整数N，使得当n〉N时，都有a>A,n则称+3是数列｛"当n无限增大时的非正常极限，或称®｝发散于TOC\o"1-5"\h\z+3，记作lima=+3或aT+3（nt+3），这时，称｛a侑非正常极限.n^+3nnn对于-3,3的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.1.2数列极限求法的常用定理\o"CurrentDocument"定理1.2.1（数列极限的四则运算法则）若｛a｝和｛b｝为收敛数列，nn则｛a+b｝，｛a-b｝，｛a-b｝也都是收敛数列，且有nnnnnnlim(a土b)=lima土limb,nnnnn-—>3n-—>3n-3lim(a-b)=lima-limb.n—3n—3nnn—3n—3若再假设b〃。0及Umb.0，则U|也是收敛数列，且有nn—3n[bJlimn—3limn—3I'a、=lima/limb'n—3nn—3n定理1.2.2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.n—+3n—+3定理1.2.3（3Stoltz公式）设有数列号，妃｝，其中号严格增，且lim丁+3（注意：不必limyn=+3）.如果.y~y+8,-8）,lim—h—i-—a（TOC\o"1-5"\h\z〃T+ooX—X、nn-1则lim^-n-=a=lim%~n—+3n—+3+8,-8）,n—>+co1n—>+oo工—）nnn-1定理L2.3'（^Stoltz公式）设h｝严格减，且lim尤=0,limy=0-Onn,nh—>+con—>+oo若ry-y_lim；_广-"（实数，+00,-00）,"T+oo人入nn-1,yy~ylim—n-=a=lim—«.n—>+ooXn—>4-oo*—*nnn-1定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）设limi，则nn—>cort）「。+。+...+。v7lim—i9=a/nns（2）右i>0（〃=1,2,...）,则limJaa...a=a-nL12〃定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列｝,｛b｝都以.为极限，数列｛c｝满TOC\o"1-5"\h\znnn足：存在正数N，当">N时，有00a<c<bnnn则数列，｝收敛，且lime3.nnn—>co定理1.2.6（归结原则）设f在L/V；6。内有定义.lim/G）存在的充要0f0条件是：对任何含于；8，）且以］为极限的数列b｝，极限limfG）°0〃…”都存在且相等.第二章数列极限的求法2.1极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N.我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.例2.1.1求lim切,其中a>0.n—3解：lim插=1.n—3事实上，当a=1时，结论显然成立.现设a>1.记a=at-1，则a>0a=(1+以)〃Z1+na=1+nan-1，(5)任给e>0，由（5）式可见，当n>m=N时，就有an-1<e.即a\-1<c所以lim柘=1.n—3对于0<a<1的情况，因1>1，a由上述结论知lim■'1=1，故n—3\alimna=limn—3=1=1.1n—3n'1/a1综合得a>0时，lim打=1.n—3例2.1.2定理1.2.4（1）式证明.证明：由?雾=a，则樵〉0，存在、0，使当n>N1时，有|a—a|<g/2/•（0<。）0=土叫唯'蛆果为也匕风中醐0寮丁：不iu8~〃"19\u•。=思叫也虹3>,五》。一祯319_身蕾广期NV"呆电，".刘顷丑旦'0<3AfX"i9\u.f/opdSu\9_u\l_ui-w§L.l【_\u\L「LLL>LLLLLL~UL'丁孟重*XJl-8-"•。=3叫【：w•/tgoo《—ui"祯叫【辛8—U•V=*e^―uiit〃+•..+〃+v-乙乙乙〃I_.3=—+—>1+—>333N~u3D7,31f+V+VZI器现装业寮丁甲盘按V"呆牌{N，N}Xg=N金里/»I/>jCO^UZU2u=>5身'期NV"逮单尸o<N丑纳'0=5叫【印Cuu.—t+—>v3M-U0U'■51—27+,,,+V+VW7U【+*lNIUUV-27+…+V-V+V-V+,,，+27-271->27—5127+…+V+Vv-v+■.2.2极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.nn1i•anm+anm-1+...+an+a曰i_Li7八'八例2.2.1求hmm-i1o'其中m<k,a。0,b。0.…bnk+bnk-1+...+bn+bmkk解：分子分母同乘n-kk-110，所求极限式化为nm-1-k+...+an1-k+an-kb+bn-1+...+bn1-k+bn-kkk-110lima"+a1nT8由limn-a=0,（«>0）知，当m=k时，所求极限等于％；当m<k时，由于nm-kt0（nr0），故此bm时所求极限等于0.综上所述，得到l，anm+anm-1+...+an+abnk+bnk-1+...+bn+bkk-11nsa.—m,k=mbm0,k>m例2.2.2求liman*an+1解：若a=1，则显然有lim、L=n*an+12若㈣<1，则由liman=0得nr^limnsanan+1=liman/c+1liman+1）=0若|a|>1，则lim—=limn*an+1an

2.3夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具.例2.3.例2.3.1求极限lim—>001•3（2〃-1）

2・4..・（2〃）所以八1.3・・・（2〃—1）10后j2n—l・j2n—\12-4-\2n）71-73■^必y/2n-l-^2n+l囱NTlim"TOOlim"TOOx/2w+1二二0，再由迫敛性知1•3••,（2〃-1）lim/v=°.H—>002・4…\2n）例2.3.2求数列切切勺极限.H—>00解：记q=Jn=l+hi幺里7z>O（n>l）/则TOC\o"1-5"\h\znnn（）ziG-i）

n=^l+h'n>/i2,n2n由上式得o*,W〉l），从而有nVn—1l<a=l+h<1+1—，（2）nnV72—1数列卜后｝是收敛于1的，因对任给的e>0,取N=l+1，则当QN时有1+:三-1<8•于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得lim或=1.ns例2.3.3设a>1及kwN*,求lim性.nT8an解：lim竺=0.nsan事实上，先令k=1,把a写作1+门，其中门>0.我们有0vn=厂二=J—<『2、“an（1+门力nln-1）（n—1川21+nq+——2——门2+...limnT8由于lim—V=0匾2），可见（纠是无穷小.据等式竺」孔Ln”（n-1）q2〔anJan|板％』I注意至IIa1/k>1，由方才所述的结果</\I是无穷小.最后的等式表明,质k）nJ［竺|可表为有限个（k个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即lim竺=0.limnT8nTsan2.4单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.例2.4.1求例2.1.3注解中的lim竺=0（c>0）.n*n!解：lim竺=0（c>0）.n*n!

N*.当n>c时，X=X-<X•n+in\n+1/n因此｛x「从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限X=limX存在，在等式X=X心的等号两边令n—3nn+1n(n+1)n—3，得到x=x.0=0，所以｛x｝为无穷小从而nlim^L=0(c>0).n—3n!例2.4.2求极限lim*\M：3(n个根号).n—3解：设a=』3。3>1/'又由a]-J3<3，设a<3，贝Ua=J3a<J3x3=3.因an广匝=,故“｝单调递增.综上知单增有上界，所以｛an)收敛.令lima=a,1<a<3,由a=(3a,nn+1nn—3对两边求极限得a=、声，故a=3.2.5函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例2.5.1用函数极限法求例2.1.1,即求lim打.n—3解：先求lim<a,因lim拓=lima1/x=limex=eX—3解：先求lim<a,因lim拓=lima1/x=limex=eX—3lna,xe0=1，n—3例2.5.2用函数极限求例2.3.2,即求lim和-ns解：先求lim点・因lim&=lime财=点财=e0=1,xsxsxs再由归结原则知lim打=1.ns例2.5.3用函数极限求例2.3.3,即设a>1及keN*，求lim竺.nT8ankkXk-1解：先求lim兰.因lim云=临^■商XT3aXXSaXM1aXT8aX=0(由洛比达法x*axUna)k则），再由归结原则知lim竺=0.n—3an2.6定积分定义法通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.例2.6.1求lim亚.nn—3解：令y=乎，则lny=nln:.而i=1limlny=lim1£ln-=J1lnxdx=limJ1lnxdx=lim「-1-(8n—3n—3nn08—0+88—0+i=1ln8-8)也即lnlim》=-1，所以limy=lim^-^=e-1.n—3n—3nnT3例2.6.2求极限limn—3(-—.2兀

sin—sin——

T+n

n+1n+12sin—+-+「n+—n)解：因为sin—+sin竺+...+sin冗nnn+1•兀.2—sin—sin一v—+t+...+sn—n+1n+1n+12nsin—+sin竺+...+sin冗/nn1n+—n.—.2—.—(.—,.2—,，•一—sin—+sin——+...+sin—n[nnsin+sin+...+sin—(.—,.2—,，•一—sin—+sin——+...+sin—n[nn—f—•2—,，•一—sin—+sin——+...+sin—n[nn—ns=Lj—sinxdx=—，—0—类似地ns1n+—nn21「—(.—.2—)=lim•一•—sin—+sin——+...+sin—nwn2+1—|_n[nnJsin—+sinZ—+...+sin—lim―n久2_/—由夹逼准则知limnT3•—sin——n+n+1.2—sin——1-+...+n+—2sin—注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性.Stoltz公式，Stoltz公式法lim匕=。=lim匚―在求某些极限时非常方便，尤其nr+8Xnr+8X-X时特别有效nnn-1是当j=芝ak=1例2.7.1同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.Stoltz公式，时特别有效证明：前面用"定义法证明，现用Stoltz公式证明.令y=a+a+...+a,x=n,则由Stoltz公式得到n12nn].a+a+...+a2n—3n(a+a+...+a)-(a+a+...+a)=lim—12——12n=1-n-(n一1)=lim^^=lima=a.nw1nwn例2.7.2求lim1k+2k+...+nknT+3nk+1解：lim1k+2k+…+n=lim—nk(Stoltz公式)nr+3nk+1nr+3nk+1—(n—1)k+1nk-lim"(二项式定理)nr+3C1nk一C2nk-1+...—(—1)k+1k+1k+1=1=1CT-k+1k+12.8几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多舟，*类型的数列极限可以用此方法来简化其求法.n例2.8.1同例2.1.1—样求limna,其中a>0.ns解：令a1=a,%=%=...=a〃=1，由定理1.2.4(2)知lim新=lima=1.n—3nsn例2.8.2同例2.3.2-样求lim而.n—3解：令1=1，。广土(n=2,3,...)，由定理1.2.4(2)知limnn=lima=lim^=1-n—3n—3nn—3n一1例2.8.3同例2.6.1相似求临二-n—3nn!解：令a(1、1+一(n+1)n，则nn213243a•a••••a1212233nn—(n+1)n

nn(n+1)nnn所以••••a也即二nn!.•.•a，而由定理1.2.4（2）知nn+1lim(a-ans12••••a=lima=lim1+—nnT8limnns.•.•a例2.8.3求lim1+'2+窘+…十眼-nT8解：令a=nn,（n=1,2,3...），则由定理1.2.4（1）知n1+‘2+33+…+nn'lim=lima=limnn=1-nsnnT32.9级数法若一个级数收敛，其通项趋于0（nT0），我们可以应用级数的些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思根例2.9.1用级数法求例2.1.3注lim空(c>0).n*n!解：考虑级数£竺，由正项级数的比式判别法，因n!Cn+1CnClim-/-=lim——=0<1，n*An+1』n!n“n+1n!故级数£竺收敛，从而lim竺=0（->0）.n*nn!例2.9.2用级数法求例2.3.3,即设a>1及keN*，求lim也•nsan解：考虑正项级数£也，由正项级数的比式判别法，因an「(n+1)k,nk1(n+1\lim/—=lim—-n*an+1a…aan故正项级数£竺收敛，所以lim竺=0.annsan例2.9.3例2.9.3求极限limns11+^r++，rn2(n+1)2(2n)2解:因级数£L收敛由级数收敛的柯西准则知对旌>0，存在N>0,n2n=1使得当n>N时,£1_£1k2k2k=1k=1此即1+1++V…+y-+...+^-V£n2(n+1)2(2n)2所以limnT3111Ln见+(^+…*麻1=0例2.9.4求极限lim(a>limnT3111Ln见+(^+…*麻1=0例2.9.4求极限lim(a>1).nxn，解：令X=1，所以|x|v1.考虑级数芝an=1nxn，nxn因为limh=lim(+1'"1=xv1nxnnsan—sn令s(x)=£nxn，则s(x)=x•£nxn-1•再令f(x)=Enxn-1，n=1n=1n=1「f(t新=HnE=工0n=10n=1xXn=1-X所以11-xJ而s(x)=x-f(x)=_=n=1n=1n=1「f(t新=HnE=工0n=10n=1xXn=1-X所以11-xJ而s(x)=x-f(x)=_=V(1-x)2(1-a-1:a-1所以「12nlim一+—+…+——n-八aa2a-1anJ2.10其它方法除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子.例2.10.1求limsin2（\n2+n）.n—s解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性.limsin2（履2+n）=limsin2+n-n兀）n—sn—s—nK冗limsin2=limsin2n—s、jn2+n+nn—s1+-+1n—sin2—=1.2解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛.首先用数学归纳法可以证明事实上,。<a广-<c.假设0<气<-<1，Mlleca2cc2cc0<a=-+-n<—+—<—+—=c-n+1222222令f(x)=%+三，则f'(x)=x.a-an+1n（1）|=|f(a)-f(aa-an+1n（1）—ann—1其中&介于七和九之间.由于0<c<1，再由（1）式知｛"为压缩数列，故收敛.设lima=1，则-<1<c.TOC\o"1-5"\h\zn*n2由于ca2a=+—n/n+122所以c121=-+—,12-21+c=0.2解得i=1+JT-c(舍去)，l=1-x1-c.综上知lima=1-盘二.nnT3注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.

第三章数列极限在现实生活中的应用3.1几何应用-计算面积在论文开始时，我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积，现在我们再来介绍如何求抛物线“y2与两直线y二0和“1所围的面积.先将区间[0,1]等分为n个小区间F0,1]J1,2],...[土,1]，以这些小_n」|_nn」|_n」为高，作n个小矩形.区间为底边，分别以讪it,[2tIn)"为高，作n个小矩形.这n个小矩形的面积之和是气空"n)i=1=1寸1-•乙i2气空"n)i=1=1寸1-•乙i2=n3i=1i=11(n-1)n(2n-1)n36=11——2n这样我们就定义一个数列{a},对每个A而言，它都小于欲求的〃面积”，但是这两者之间的差别别不会大于长为1,宽为1的矩形面积，n即1,所以，当〃越来越大时，a将越来越接近于欲求的“面积”，因n此，我们可以定义此面积为limAnnT3这种定义面积并求面积的方法简单又朴素，它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分：积分学.3.2求方程的数值解我们都知道，泓是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近<2，以达到事先指定的精确度？巨是二次方程x2-2=0的正根，所以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.把问题提得更一般一些.设a>0是任意给定的，我们来求挣的近似值.给定成的一个近似值x>0，在两个正数xa中，一定有一个大00’x0于*另一个小于妒，除非x0正好就是0有理由指望这两个数的算术平均值x=1fx+旦］可能更加靠近如，这便得到了更好的近似.事1210xJ'07实上ya一1C2+a一2x、a)=_L(x-打)>0-2x002x000这表明：不论初值x。如何，得出的第一次近似值气是过剩近似值.不妨设初值％本身就是过剩近似值，因此x0>x0-插>0.由此得出0<x一、a=—C一\a_^-^<—C一a)•120x020这个不等式告诉我们：第一次近似值x1到有的距离至多是初值x0到打的距离的一半.重复施行上述的步骤，便产生数列x,x，…,x，…，其中01n

0vx—\：av—，—w’a）v—，—\：a）v...v—，—’fa）,n2n-122n-22n0可见limx=打.对于充分大的n，数x与据的距离要多小有多小.n*nn让我们看看实际应用起来有多方便，设想我们需求摆的近似值.取初值x°=2（这是相当粗糙的近似值槌复迭代的结果是x=2.0,x=1.5,x=1.4166…，x=1.4142566…，，x3=1.41421356…，x4=1.41421356…，这已是相当精确的近似值.3.3市场经营中的稳定性问题投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素，以股票为例，为尽量避免出现羊群行为，减少非理性投资，我们需要对股票的内在价值（即未来收入现金流的现值）有较清晰的认识，从而决定是该购买还是该售出，作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值.3.3.1零增长模型（1）假定股利增长率为0,因其内在价值如下V=D+/气、+...+/D、+...*Dt、1+1；(1+i2J2(1+i).=1(1+i)(v-内在价值，D-股息(红利)，i—贴现率)，现由假定知d=D]=气=...=D,i=i]=七=...=i/所以此时股票内在价值为TOC\o"1-5"\h\zDDDD浦+确+…+顽…iwt=l1+，111+，刀D（2）lim；=—•7I,（1）r—>co]I1+7知道股票的内在价值后，可求出其净现值（修V）,即内在价值减去市场价格，也即:NVP=V-P-NVP>0,该股票被低估，可买入；当NVP<Q/被高估，不益购买.例：某公司在未来无限期支付每股股利为8元，现价65元,必要收益率10%,评价该股票.解：利用（2）式结论可求得该股票的内在价值为：V=—=——=80,A^VP=V-P=80-65=15>0-i10%故该股票被低估，可以购买.3.3.2不变增长模型假定股利永远按不变增长率（/增长，即D=D（1+g）=...=/）（1+g）itt-lo代入（1）式得此时内在价值为D（1+g）^fl+g/wVDyD（l+g>l+i〔"1+少D（1+g）D（3）日（1+D日（1+》*i~gi~g

例：去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每年5%增长，假设必要收益率为11%，当每股股票价格为40元，评价该股票.解：利用（3）式的结论，由于巳=1.80x（1+5%）=1.89，可知股票内在价值y—1・8。x（l+5%）—3150，故11%-5%^NVP=V-P=31.50-40<0/该股票被高估，建议出售.3.4购房按揭贷款分期偿还消费贷款的还款（即按揭）大多为年金方式，故存在一些年金计算问题.下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析设P表示总的房款金额一表示首次付款比例，i表示年利率，〃表示分期付款（贷款）的总年数，R表示每月底的还款金额，则有如下的价值方程(1-k)P=12Rafi2)，进一步有其中（4）(1-k)P(1-k)i(12)PR==TOC\o"1-5"\h\z12勺(12)12/进一步有其中（4）1—Vna^=。一|=