广州大学高数考试题目2005-06(下)(a)完整

一．填空题（每空2分，本大题满分20分）4.幂级数∞xnn的收敛半径R=2收敛域x∈[2,2)−.n=02(1)n+5.微分方程yyy′′′−+=560的通解为y=CeCe1223xx+，微分方程yyyxe′′′−+=562x的待定特解形式为y*=xaxbe()+2x.二．选择题(每小题2分,本大题满分10分)1.fxy(,)在点(,)xy00连续是偏导数fxyx(,)00和fy(,)x00y存在的(D).(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件;(D)无关条件.sinxy2.lim=(B).xy→→02x(A)1;(B)2;12(C);(D)∞.二．选择题(每小题2分,本大题满分10分)5.方程2()0xydxyxdy++=32是(D).(A)可分离变量的微分方程;(B)一阶齐次微分方程;(C)一阶线性微分方程;(D)全微分方程.三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1.求zfxyxy=+(,2)2的偏导数和全微分(其中fuv(,)具有连续偏导数).解:∂∂∂∂∂zzuzv∂∂∂∂∂xuxvx=⋅+⋅=+yff12′′2∂∂∂∂∂zzuzv=⋅+⋅=+xfyf12′′2∂∂∂∂∂yuyvy∂∂zz∂∂xydzdxdyyffdxxfyfdy=+=+++(2)(2)1212′′′′三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）2.已知zfxy=(,)是由方程ezxyz+=sin2确定的隐函数,∂z∂2z求和2.∂x∂x解:记Fezxy=+−zsin2，则z∂zFxyx2Fx=−2,xyFz=+ezcos,=−=z∂+xFezzcos∂2z∂x2(cos)2(sin)yezxyezzzz+−−x2=z2(cos)ez+2(cos)4(sin)yezxyezzz+−−222=z3(cos)ez+三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）y23.求fxyxxyx(,)32ln=+−−的极值.2fyx=−−=302解:令x,得驻点(1,1),(2,2)fyxy=−=02Cf==yy1Af==xx2,Bf==−xy1,x22DACB=−=−21x5在点(1,1)处，D=>10，且A=>20，f(1,1)=在点(2,2)处，D=−<0，f(2,2)不是极值为极小值122四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1.设二次积分Idxfxydy=10(,).22xx−21)画出二次积分I中的积分区域D;2)改换二次积分I的积分次序;3)将二次积分I化为极坐标形式的二次积分.解:1）积分区域如图y2y=−2xx111+−y22）I=01dyf(,)xydxOθπ2cosθx43）I=0secdθθf(cos,sin)ρθρθρρd四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）2.计算()xydxdydz+,其中Ω是由曲面x+=yz22222Ω及平面z=2所围成的有界闭区域.22z解:()x+ydxdydzΩ3=ρρdddzθΩ222π3=00dddzθρρρ2Oy22ρ5316x=−2(2)π0ρρ2d=3π四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）3.计算曲线积分I=(2)xyydxxdy−+,其中L是由曲22L线yx=−12与x轴所围区域D的正向边界曲线.解:由格林公式得yI=2ydxdyyx=−12D=11dxydy−x22D−10Ox12=−−1(1)xdx43=五．解答下列各题（本大题满分14分）1.(本题6分)1)判别级数∞nn的敛散性；n=12∞nn2)判别级数ncos是绝对收敛,条件收敛,还是发散?n=122nun+112解1）记un=n,因lim1=<2n→∞un∞所以级数un收敛n=1nn∞2）因vunn=≤|ncos|,而级数un收敛，22n=1∞由比较审敛法知级数vn收敛,原级数绝对收敛n=1五．解答下列各题（本大题满分14分）1+x1−x2．将函数fx()ln=展开成x的幂级数,并求级数∞1n的和.n=14(21)n−xx231(1)−n−n解:ln(1),+=−++++xxx(11)−<≤x23nxx231nnln(1),−=−−−−−−xxx(11)−≤<x231+x1−xfx()ln==+−−ln(1)ln(1)xxx3121n−=++++2(),xx(11)−<<x321n−五．解答下列各题（本大题满分14分）1+x1−x2．将函数fx()ln=展开成x的幂级数,并求级数∞1n的和.n=14(21)n−21n−∞1111∞2(21)2n=1n−解:n=n=14(21)n−111424==f()ln31+x1−xfx()ln==+−−ln(1)ln(1)xxx3121n−=++++2(),xx(11)−<<x321n−2.设L是一条平面曲线,其上任意一点Pxyx(,)(0)>到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,12且L过点(,0).求曲线L的方程.解设曲线L上点P(x,y)处的切线方程为Y−y=y′(X−x)令X=0得该切线在y轴上的截距为y−xy′由题设知x2+y2=y−xy′yxdudx令u=,方程化为2=−1+ux解得y+x2+y2=C2.设L是一条平面曲线,其上任