解析函数(1)(共32张PPT)

第二章解析函数

1解析函数的概念第1页，共32页。1复变函数的导数定义1设函数在包含的某区域D内有定义，当变量在点处取得增量时，相应地，函数取得增量若极限

（或）（2.1）存在，则称在点处可导第2页，共32页。此极限值称为在点处的导数，记作或，即如果函数在区域D内每一点都可导，则称在D内可导.第3页，共32页。例1求函数的导数（为正整数）.解因为

所以，由导数定义有

第4页，共32页。例2求的导数.解由例1第5页，共32页。2可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处必连续.证因为知，故在点处连续.第6页，共32页。导数运算法则复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：（1）其中为复常数；（2）其中为正整数；（3）；（4）（5）；第7页，共32页。（6）；

（7）是两个互为反函数的单值函数，且..第8页，共32页。3复变函数的微分定义2称函数的改变量的线性部分为函数在点处的微分，记作

或，即第9页，共32页。当时，，所以在点处的微分又可记为

亦即由此可知，函数在点处可导与可微是等价的.第10页，共32页。注意虽然复变函数和实变函数的导数定义在形式上一样,实质上却有很大差别.这是因为实变函数自变量只能沿实轴趋近于零,而复变函数却沿复平面上的任意一曲线趋近于零第11页，共32页。

4解析函数1.解析函数的定义定义:如果函数不仅在点处可导，而且在点的某邻域内的每一点都可导，则称在点处解析，并称点是函数的解析点；如果函数在区域D内每一点都解析，则称在区域B内解析或称为区域D内的解析函数，区域D称为的解析区域.第12页，共32页。如果f(z)在z0不解析,那么我们说z0为f(z)的奇点.由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点解析和在一点处可导是两个不等价的概念,这就是说,函数在一点处可导,不一定在该点处解析,函数在一点处解析比该点处可导的要求要高得多.第13页，共32页。2.解析函数的运算性质：定理(1）若函数和在区域D内解析，则、、在

D内也解析；（2）若函数在区域D内解析，而在区域G内解析，且，.则复合函数在D内也解析，且.第14页，共32页。复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：则、、在此极限值称为在点处的导数，记作（2）其中为正整数；知，故在点处连续.（1）其中为复常数；解因为定义2称函数的改变量的线性部分例2讨论函数的可导性.处可导.例4讨论下列函数的解析性.由此可知，函数在点处可导与可微是等价的.（2）；由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.由此可知，函数在点处可导与可微是等价的.2函数解析的充要条件第15页，共32页。第16页，共32页。第17页，共32页。1.函数可导的充要条件定理１

设函数在区域D内有定义，则在D内解析的充分必要条件为在

内任一点处（1）（2）满足上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R条件（或方程）.D第18页，共32页。第19页，共32页。2函数解析的充要条件定理１

设函数在区域B内有定义，则在B内解析的充分必要条件为在B内任一点处（1）可微；（2）满足上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R条件（或方程）.第20页，共32页。例1讨论函数的可导性，并求其导数.解由得则

显然，在复平面内和的偏导数处处连续，第21页，共32页。且即和处处满足C—R条件且处处可微，所以，在复平面内处处可导且.第22页，共32页。或，即定理(1）若函数和在区域D内解析，若函数在点处可导，则在点处必连续.当时，，所以在点为函数在点处的微分，记作（2）其中为正整数；当时，，所以在点且这四个偏导数处处连续，故若函数在点处可导，则在点处必连续.即和处处满足C—R条件且处处可微，所以，在复平面内处处可导且定理１设函数在区域D内有定义，则在D内解析的充分必要条件为在内任一点处或，即当时，，所以在点例2讨论函数的可导性.解因为得

显然，、处处具有一阶连续偏导数，但仅当时，、满足C—R条件.因此，仅在点处可导.第23页，共32页。例3证明在复平面上不可微.证由于，于是，从而

显然，对复平面上任意一点，都不满足C—R条件，所以在整个复平面上不可微.第24页，共32页。例4讨论下列函数的解析性.（1）；

（2）；（3）.解（1）设因为且这四个偏导数处处连续，故在复平面上处处解析.第25页，共32页。（2）因为，设，而所以在复平面上处处不解析．（3）因为设，由于