空间向量的数乘运算(与“向量”有关的文档共41张)

空间向量的数乘运算第一页，共41页。1.回顾1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa

,称平面向量共线定理.第二页，共41页。1.回顾2.必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．第三页，共41页。回顾aOBb结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.ba第四页，共41页。一、空间向量数乘运算1.实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.当时，

当时，与向量方向相同；与向量方向相同；是零向量.当时，（1）方向：（2）大小：的长度是的长度的倍.第五页，共41页。2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律第六页，共41页。二、共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作问题2：平面向量中，的充要条件是：存在唯一的实数，使能否推广到空间向量中呢？问题1：若则所在直线有那些位置关系?零向量与任意向量共线.第七页，共41页。由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

共线向量定理:对空间任意两个向量，，的充要条件是存在唯一实数λ，使性质判定第八页，共41页。如图，l

为经过已知点A且平行已知非零向量的直线，若点P是直线l上任意一点，则a对空间任意一点O,所以即若在l上取则有①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线。alABPO由知存在唯一的t,满足①②第九页，共41页。因为

所以

特别的，当t=时，则有进一步，t1-tP点为A,B的中点alABPO第十页，共41页。※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：（1）只需得到存在实数，使（2）对空间任意点O，存在实数t,使特别地，当t=1/2时，此时，点C恰为线段AB的中点第十一页，共41页。A、B、P三点共线结论1:第十二页，共41页。练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A.若，则P、A、B共线B.若，则P是AB的中点C.若，则P、A、B不共线D.若，则P、A、B共线A、B、P三点共线AOABP第十三页，共41页。分析:

证三点共线可尝试用向量来分析.第十四页，共41页。例2第十五页，共41页。第十六页，共41页。第十七页，共41页。三、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac第十八页，共41页。由平面向量基本定理知，如果，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有那么什么情况下三个向量共面呢？第十九页，共41页。反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？C第二十页，共41页。2.共面向量定理：如果两个向量

，不共线，

则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x,y使推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使C第二十一页，共41页。对空间任一点O,有填空：1-x-yxyC③

式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.③由此可判断空间任意四点共面第二十二页，共41页。P与A,B,C共面第二十三页，共41页。1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面第二十四页，共41页。1．下列命题中正确的个数是(

)①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面．③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.A．1

B．2C．3D．0解析：

①中若b＝0，则a与c不一定共线．②中共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面．③中若b＝0，a≠0，则不存在λ.答案：

D第二十五页，共41页。第二十六页，共41页。2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()第二十七页，共41页。练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，且有

则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（）A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件C第二十八页，共41页。得证.为什么?第二十九页，共41页。解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？第三十页，共41页。利用共面向量的推论是证明四点共面的依据．考点二证明四点共面例2第三十一页，共41页。第三十二页，共41页。第三十三页，共41页。第三十四页，共41页。例1

如图，在空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，求证：BMNADC第三十五页，共41页。第三十六页，共41页。证明三个向量共面的常用方法：(1)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．向量共面问题考点三例3第三十七页，共41页。【思路点拨】利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明．第三十八页，共41页。第三十九页，共41页。(例2

)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,

,

,,求证：⑴四点