高中数学函数完美归纳讲解

.32/32第一章函数概念导入1、集合〔子集,真子集、空集、补集、全集等表示和关系2、映射〔定义,一一映射3、增函数、减函数4、轴对称5、单调性定义设x和y是两个变量,D是实数集的某个子集,若对于D中的每个值x,变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应,称变量y为变量x的函数,记作y=f<x>.自变量x、因变量y映射角度函数定义：定义在非空数集之间的映射称为函数要点1、对应法则和定义域是函数的两个要素2、函数是一种关系3、函数两组元素一一对应的规则〔这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集合里的唯一元素；第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量1、复合函数：y是u的函数,y＝ψ〔u,u是x的函数,u＝f〔x,y通过中间变量u构成了x的x→u→y,注意定义域。y＝lgsinx2、反函数：x→y,y→x,性质：1、一一映射2、单调函数分类：一次函数y=kx+b★二次函数y=ax2+bx+c〔a,b,c为常数,a≠0>反比例函数y=k/x<k为常数且k≠0>指数函数y=ax<a>0,a≠1>对数函数y＝logax〔a＞0幂函数y=xa★三角函数<正弦,余弦,正切,余切,正割,余割>常用方法：待定系数法平移变换法数形结合法注：注意自定义〔抽象函数等学习应用,培养逻辑思维。第一节函数的一般化应用解析1-1-1方法：1、巧用定理,整体变换。〔1函数的最小值；〔2已知：,α、β,求范围.2、借题发挥,分式转化双曲线。型求值域和画图的一般化应用。〔1作函数的图象〔2求函数的值域1-1-2函数的奇偶性要点判断函数的奇偶性前提是：函数的定义域必须关于原点对称。〔1若〔2奇函数〔3任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即例题：〔1定义在上的函数可以表示成奇函数g<x>与偶函数h<x>之和,若,那么〔A、B、C、D、1-1-3函数的单调性★常见于证明类问题,单调性证明一定要用定义。定义区间D上任意两个值,若时有,称为D上增函数,若时有,称为D上减函数。性质奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。证明办法：作差法：若x1<x2,f<x1>-f<x2>>0单调递减若x1<x2,f<x1>-f<x2><0单调递增作商法：若x1<x2,f<x1>/f<x2>>0单调递减若x1<x2,f<x1>/f<x2>>0单调递增讨论复合函数的增减问题ψ<x>为增函数,f<x>为增函数,y为增函数ψ<x>为增函数,f<x>为减函数,y为减函数ψ<x>为减函数,f<x>为增函数,y为减函数ψ<x>为减函数,f<x>为减函数,y为增函数〔1设为奇函数,且在区间[a,b]<0<a<b>上单调减,证明在[-b,-a]上单调减。〔2在上减函数,则a的范围：〔-4,4]1-1-4函数的平移和伸缩平移规则：左加右减上加右减伸缩规则：横向变倒数纵向成倍数1-1-5中心对称轴对称若对满足,则关于直线对称；〔由求得函数关于直线对称。〔由解得例题解析1、函数的反函数是〔A．B．C．D．2、函数对于任意实数满足条件,若则__________。3、设函数的图像过点,其反函数的图像过点,则等于〔C 〔A3〔B4〔C5〔D64、5、6、7、给出四个函数,分别满足①f<x+y>=f<x>+f<y>②g<x+y>=g<x>g<y>③h<xy>=h<x>+h<y>④t<xy>=t<x>t<y>,又给出四个函数图象正确的匹配方案是〔〔A①—丁②—乙③—丙④—甲〔B①—乙②—丙③—甲④—丁〔C①—丙②—甲③—乙④—丁〔D①—丁②—甲③—乙④—丙8．若对满足,则的对称轴为函数的对称轴为9．f<x>为定义在上的偶函数,且在上为减,①求证f<x>在上为增函数；10．已知有 A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值111．设函数为奇函数,则 A．0 B．1 C． D．512．为定义在R上的偶函数,且对恒成立,则的一个周期为：13．设为偶函数,则的一条对称轴为第二节二次函数定义,解析式,条件,定义域,值域。一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c则称y为x的二次函数。判定公式,求根公式,韦达定理等回顾掌握。表达式类型：1、一般式：y=ax2+bx+c〔a,b,c为常数,a≠02、顶点式：y=a<x-h>2+k[抛物线的顶点P〔h,k]对于二次函数y=ax2+bx+c其顶点坐标为<-b/2a,<4ac-b2>/4a>3、交点式：y=a<x-x₁><x-x₂>[仅限于与x轴有交点A〔x₁,0和B〔x₂,0的抛物线]性质关系：1、a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大2、图像为抛物线,是轴对称图形,对称轴为直线x=-b/2a3、2.抛物线有一个顶点P,坐标为P<-b/2a,<4ac-b2>/4a>4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时〔即ab＞0,对称轴在y轴左；当a与b异号时〔即ab＜0,对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于〔0,c6.抛物线与x轴交点个数Δ=b2-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点。Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴有0个交点7、当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f<-b/2a>=4ac-b2/4,在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}。相反亦然。例题应用解析：1．如图13-28所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为<>A、6B、4C、3D、12．心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x<单位：分>之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43<0＜x＜30>。y值越大,表示接受能力越强。<1>x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低？<2>第10分时,学生的接受能力是什么？<3>第几分时,学生的接受能力最强？3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克；销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题：<1>当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润；<2>设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式<不必写出x的取值范围>；<3>商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少？4．某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量〔件与每件的销售价〔元满足一次函数：〔1写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数关系式.〔2如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？5．如图,一边靠学校院墙,其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃,设矩形的边米,面积为平方米.〔1求：与之间的函数关系式,并求当米时,的值；〔2设矩形的边米,如果满足关系式即矩形成黄金矩形,求此黄金矩形的长和宽.第三节三角函数知识点回顾角①角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边。角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度,角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角这五种。锐角：小于90°的角叫做锐角直角：等于90°的角叫做直角钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角平角：等于180°的角叫做平角周角：等于360°的角叫做周角②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点,开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边。角的范围可扩大到实数R。A=a+2kπ<k∈Z>角的度量弧度与角度在数学中,弧度和角度是角的量度单位。定义：弧长等于圆半径的弧所对的圆心角为1弧度。弧长公式：弧度和角度变化公式〔r=1。1-3-正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为〔x,y有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y〔斜边为r,对边为y,邻边为x。1-3-函数名称第一象限第二象限第三象限第四象限正弦++--余弦+--+正切+-+-余切+-+-正割+-1+余割++--函数名称030456090正弦01余弦10正切01余切1正割12余割21特殊角的三角函数值例题1.sin<-π>的值是<>A.B.-C.D.-2.若sinθcosθ＞0,则θ在<>第一,二象限B.第一,三象限C.第一,四象限D.第二,四象限5．设tanα=,tanβ=,α、β均为锐角,则α+2β的值是<>A.B.πC.πD.π2．当x≠<k∈Z>时,的值是<>A.恒正B.恒负C.非负D.无法确定6．如果角θ满足条件sinθ>0,cosθ<0,则θ是<>A.第二象限角B.第二或第四象限角C.第四象限角D.第一或第三角限角7．若cotθ=3,则cos2θ-sin2θ的值是<>A.-B.-C.D.1-31.诱导公式

sin<-a>=-sin<a>sin<π/2-a>=cos<a>

cos<-a>=cos<a>cos<π/2-a>=sin<a>

sin<π/2+a>=cos<a>sin<π-a>=sin<a>

cos<π/2+a>=-sin<a>cos<π-a>=-cos<a>

sin<π+a>=-sin<a>cos<π+a>=-cos<a>2.两角和与差的三角函数sin<a+b>=sin<a>cos<b>+cos<α>sin<b>

sin<a-b>=sin<a>cos<b>-cos<a>sin<b>cos<a+b>=cos<a>cos<b>-sin<a>sin<b>

cos<a-b>=cos<a>cos<b>+sin<a>sin<b>

tan<a+b>=<tana+tanb>/<1-tanatanb>tan<a-b>=<tana-tanb>/〔1+tanatanb3.和差化积公式

sinA+sinB=2sin[<A+B>/2]cos[<A-B>/2]cosA+cosB=2cos[<A+B>/2]cos[<A-B>/2]

tanA+tanB=sin<A+B>/cosAcosBtanA-tanB=sin<A-B>/cosAcosB4.积化和差公式2sinAcosB=sin<A+B>+sin<A-B>2cosAsinB=sin<A+B>-sin<A-B>2cosAcosB=cos<A+B>+cos<A-B>2sinAsinB=-cos<A+B>cos<A-B>5.二倍角公式sin<2a>=2sin<a>cos<a>

cos<2a>=cos2<a>-sin2<a>=2cos2<a>-1=1-2sin2<a>6.半角公式7.万能公式8.辅助角公式9.降幂公式10.推导公式tanAtanBtan<A+B>+tanA+tanB-tan<A+B>=0例题1、sin15°sin30°sin75°的值等于<>A.B.C.D.已知θ∈﹝0,﹞,则3sinθ+3cosθ的取值范围<>﹝-3,3﹞B.﹝0,6﹞C.﹝3,6﹞D.﹝0,3﹞3、tan300°+cot405°的值为<>A.1+B.1-C.-1-D.-1+4.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=.则a,b,c的大小关系是<>A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.b＜a＜c5.的值为<>A.B.-C.D.-6.设f<sin+cos>=sincos,则f<cos>的值为<>A.B.C.-D.-7.sin7°cos37°-sin83°cos53°=________.8.tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________.9.sin<-α>=,cos2α=__________.10.已知tanα=3,=___________.11、化简:<1>sin50°〔1+tan10°<2>12、已知sin=,<,>,cos=-,<,>求sin<->,cos<+>,tan<+>.13、已知＜β＜α＜,cos<α-β>=,sin<α+β>=-.求sin2α1-3-3正弦函数定义对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为y=sinx,叫做正弦函数。正弦型函数解析式：y=Asin<ωx+φ>+b图像xyOxyO1-1O1BA<O1><B>y=sinx,x∈[0,2π]定义域与值域X∈R,y∈[-1,1]最值和零点①最大值：当x=2kπ+<π/2>,k∈Z时,ymax=1②最小值：当x=2kπ+<3π/2>,k∈Z时,ymin=-1零值点：<kπ,0>,k∈Z对称性：1>对称轴：关于直线x=<π/2>+kπ,k∈Z对称2>中心对称：关于点<kπ,0>,k∈Z对称周期性最小正周期：2π奇偶性：奇函数单调性：在[-<π/2>+2kπ,<π/2>+2kπ],k∈Z上是增函数在[<π/2>+2kπ,<3π/2>+2kπ],k∈Z上是减函数正弦型函数及其性质根据正弦型函数解析式：y=Asin<ωx+φ>+bφ：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离〔左加右减ω：决定周期〔最小正周期T=2π/∣ω∣A：决定峰值〔即纵向拉伸压缩的倍数b：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离〔上加下减正弦函数的作图"五点作图法"即取当X分别取0,π/2,π,3π/2,2π时y的值。例题1、函数y=2sinxcosx的最小正周期是<>A.2πB.πC.D.2、函数f<x>=cos4x-sin4x是<>A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数3.函数y=cos<3x+>的图象是由y=cos3x的图象怎样平移而来的<>A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位4.下列各区间中,函数y=sin<x+>的单调增区间是<>A.﹝,π﹞B.﹝0,﹞C.﹝,﹞D.﹝-π,0﹞5.<12分>用五点作图法作出函数y=sin-cos的图象,并指出这个函数的振幅,周期,频率,相位及最值。6.右图为的图象的一段,求其解析式。7设函数图像的一条对称轴是直线。〔Ⅰ求；〔Ⅱ求函数的单调增区间；〔Ⅲ画出函数在区间上的图像。8.设函数的图象经过两点〔0,1,〔,且在,求实数a的的取值范围.9.若函数的最大值为,试确定常数a的值.1-3-41-3-4-1正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。即〔2R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍1-3-4-1-1正弦定理的推广与应用一、三角形面积公式：1.典型公式2.海伦公式假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：而公式里的p为半周长二.正弦定理的变形公式<1>a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;<2>sinA:sinB:sinC=a:b:c;<3>相关结论:1-3-4-1余弦定理对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质1-3-51.试判断方程sinx=实数解的个数.2.已知函数〔Ⅰ将f<x>写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程〔Ⅱ如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f<x>的值域.3.已知△ABC三内角A、B、C所对的边a,b,c,且〔1求∠B的大小；〔2若△ABC的面积为,求b取最小值时的三角形形状.4.求函数y=的值域.5.求函数y=的单调区间.6.已知①化简f<x>;②若,且,求f<x>的值；7.已知ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列,且A<B<C,tgA·tgC,①求角A、B、C的大小；②如果BC边的长等于,求ΔABC的边AC的长及三角形的面积.8.已知,求tg<-2>.9.已知函数〔I求函数的最小正周期；〔II求函数的值域.10.在⊿ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且〔1求tanC的值;〔2若⊿ABC最长的边为1,求b。11.如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2。〔1求cos∠CBE的值；〔2求AE。12.在中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且。〔1求角B的大小；〔2若,求a的值。13.已知S△ABC=10,一个角为60°,这个角的两边之比为5∶2,求三角形内切圆的半径.14.已知△ABC中,,试判断△ABC的形状.15.求值：16.在△ABC中,a=,b=2,c=+1,求A、B、C及S△.17.已知：k是整数,钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c〔1若方程组有实数解,求k的值.〔2对于〔1中的k值,若且有关系式,试求A、B、C的度数.第四节指数函数1-41-4-1形如y=xa<a为常数的函数,称为幂函数。性质：〔1所有的图形都通过〔1,1这点.<a≠0>〔2当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。〔3当a大于1时,幂函数图形下凸；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。〔4当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。〔5显然幂函数无界限。〔6a=0,该函数为偶函数｛x|x≠0｝。1-4-1幂函数中,a=-1时,为双曲线。画图,研究渐进线。重温习本章1-1-1中的第二题。1-4指数函数的一般形式为y=ax<a>0,a≠1>性质：〔2指数函数的值域为大于0的实数集合。〔3函数图形都是下凹的。〔4a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的。〔5函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。〔6函数总是通过〔0,1点〔8显然指数函数无界。〔9指数函数既不是奇函数也不是偶函数。〔10当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。1-4比较大小以y轴为分界线分情况讨论1、同幂不同底以y轴为分界线分情况讨论2、同底不同幂方法1、比〔差商法2、函数单调性应用法3、中值法第五节对数函数1-5定义：一般地,如果a〔a大于0,且a不等于1的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。底数a则要大于0且不为1对数的运算性质

当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么：〔1〔2〔3〔n∈R〔4换底公式：<b>0且b≠1〔5〔6〔7〔8〔9对数与指数之间的关系

当a>0且a≠1时,对数函数的常用简略表达方式：〔1常用对数:〔2自然对数:e=2.718281828...通常情况下只取e=2.71828对数函数的定义。1-5对数函数的一般形式为y=㏒<a>x,它实际上就是指数函数的反函数<图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定〔a>0且a≠1,同样适用于对数函数。性质定义域：〔0,+∞值域：实数集R定点：函数图像恒过定点〔1,0。单调性：a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸；0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹。奇偶性：非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。周期性：不是周期函数零点：x=1例题1．的值是 〔A． B．1 C． D．22．若log2=0,则x、y、z的大小关系是 〔A．z＜x＜y B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x3.已知x1是方程的一个根,是方程的一个根,那么的值是<>A.6B.3C.2D.14.则的值为<>A.50B.58C.89D.1115.当时,在同一坐标系中,函数与的图象是图中的<>6．设,则〔 A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y27．在下列图象中,二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=<>x的图象可能是 〔8．已知函数f<x>的定义域是<0,1>,那么f<2x>的定义域是 〔A．<0,1> B．<,1> C．<－∞,0> D．<0,＋∞>9．若,则等于 〔A．2－1 B．2－2 C．2＋1 D．＋110．设f<x>满足f<x>＝f<4－x>,且当x＞2时f<x>是增函数,则a＝f<1.10.9>,b=f<0.91.1>,c＝的大小关系是〔A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a11.A.B.C.D.二.填空题12.已知,则.13.若函数的反函数定义域为,则此函数的定义域为.14.已知在上是x的减函数,则a的取值范围是.15.函数在上的最大值比最小值大,则a的值为.16.已知函数的反函数为,.<1>若,求的取值范围D;<2>设函数,当D时,求函数的值域.17.已知常数,变数x、y有关系.<1>若,试以a、t表示y;<2>若t在内变化时,y有最小值8,求此时a和x的值各为多少?18.已知函数判断f<x>是否有反函数?若有,求出反函数;若没有,怎么改变定义域后就有反函数了?19．设0≤x≤2,求函数y=的最大值和最小值．第六节函数与方程1-6１、函数与方程的思想方法是高中数学思想方法的主线,函数思想是指在解决某些问题时,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象出变量间的函数系,再利用函数的有关性质,使问题得以解决。２、方程思想是指将研究的变量设为未知数,根据题意布列方程,通过对方程的研究,使问题得以解决。方程与函数是两个不同的概念,但它们有着密切的联系。对于同一个问题,可以用不同的观点去分析,从而引出不同的方法。３、重要关系A、方程的解是两函数图象交点的横坐标；B、不等式的解集是函数的图象上方的取值集合；C、不等式的解集的区间端点值要么是函数的公共定义域的区间端点值,要么是相应方程的解。５．数形结合是重要的数学思想方法,借助函数的图象,再结合分析、推理来解决与函数有关的问题。６．函数的思想方法贯穿于高中数学理论和应用的各个侧面,解题时,一般据题意先建立目标函数,而后通过对函数性质的研究加以解决。７．解复杂的方程或不等式时,注意换元化归,分类讨论。例题解析函数问题方程化1、已知函数的定义域为R,值域为[0,2],求实数m、n。设方程问题函数化1、方程lgx+x=3的解所在区间为．〔A．<0,1>B．<1,2>C．<2,3>D．<3,+∞>２．如果关于的方程有一个根小于－１,另一个根大于1,求实数的取值范围.方程的实根即是的图象与轴交点的横坐标.原方程有一个根小于－１,另一个根大于1的充要条件是函数y=f<x>的图象与轴有两个交点分别在区间<－∞,－1>及〔1,+∞上.由于y=f<x>的图象是开口向上的抛物线,因此以上条件等价于即解得3、若关于x的方程lg〔x２＋20x-lg〔8x-6a-3=0有惟一的实根,求实数a的取值范围．原方程等价于x２＋20x＞0,x２＋20x=8x-6a-3,即：x＜-20或x＞0,①x２＋12x+6a+3=0.②令f〔x=x２+12x+6a+3.〔1若抛物线y=f〔x与x轴相切,有Δ=144-4〔6a+3=0,即a=〔11／2.将a=〔11／2代入②,得x=-6,不满足①．∴a≠〔11／2．〔2若抛物线y=f〔x与x轴相交〔如图2-12,注意到其对称轴为x=-6,故交点的横坐标有