1992年全国高考数学试题及其参考答案

1992年全国高考数学试题及其参考答案数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题)．满分120分．考试时间120分钟．用钢笔或圆珠笔直线答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后的括号内(1)的值是()(A)(B)1(C)(D)2(D)(2)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π，那么常数ω为()(A)4(B)2(3)极坐标方程分别是=cosθ和=sinθ的两个圆的圆心距是()(C)(A)2(4)方程sin4xcos5x=－cos4xsin5x的一个解是()(A)10°(B)20°(B)(C)1(D)(C)50°(D)70°(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是()(A)6：5(B)5：4(C)4：3(D)3：2(6)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为()(A)－2，－，，2(B)2，，－，－2(C)－，－2，2，(D)2，，－2，－(7)若loga2<logb2<0，则()(A)0<a<b<1(B)0<b<a<1(C)a>b>1(C)110°(D)b>a>1(8)直线(t为参数)的倾斜角是()(A)20°(B))70°(D)160°(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(10)圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是()(A)x2+y2－x－2y－=0(C)x2+y2－x－2y+1=0(B)x2+y2+x－2y+1=0(D)x2+y2－x－2y+=0(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为()(A)160(B)240(C)360(D)800(12)若0<a<1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是()(A)[0，arcsina](B)[arcsina，π－arcsina](D)[arcsina，(C)[π－arcsina，π]+arcsina](13)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0)，那么l2的方程是()(A)bx+ay+c=0(C)bx+ay－c=0(B)ax－by+c=0(D)bx－ay+c=0(14)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)(15)已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为(A)1(B)2的反函数()()(C)(D)3(16)函数y=(A)是奇函数，它在(0，+∞)上是减函数(B)是偶函数，它在(0，+∞)上是减函数(C)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数(D)是偶函数，它在(0，+∞)上是增函数(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2－t)，那么()(A)f(2)<f(1)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1)(B)f(1)<f(2)<f(4)(D)f(4)<f(2)<f(1)(18)长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为()(A)(B)(C)5二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(19)方程的解是_________________(D)6(20)sin15°sin75°的值是(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为___________________(22)焦点为F1(－2，0)和F2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是__________(23)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是____________________三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤．(24)已知z∈C，解方程z－3i=1+3i．(25)已知，cos(α－β)=，sin(α+β)=．求sin2α的值．(26)已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．(27)设等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a3=12，S12>0，S13<0．(Ⅰ)求公差d的取值范围．(Ⅱ)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．(28)已知椭圆0)．证明(a>b>0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，．1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．(1)A(2)D(3)D(4)B(5)D(6)B(7)B(8)C(9)D(10)D(11)B(12)B(13)A(14)D(15)D(16)C(17)A(18)C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．(19)x=－1(20)(21)(22)(23)三、解答题(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识．解：设z=x+yi(x，y∈R)．将z=x+yi代入原方程，得(x+yi)(x－yi)－3i(x－yi)=1+3i，整理得x2+y2－3y－3xi=1+3i．①②根据复数相等的定义，得由①得x=－1．将x=－1代入②式解得y=0，y=3．∴z1=－1，z2=－1+3i．(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．解：由题设知α—β为第一象限的角，∴sin(α—β)=由题设知α+β为第三象限的角，∴cos(α+β)=∴sin2α=sin[(α－β)+(α+β)]=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)=．(26)本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．解法一：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．∵AA1⊥b，∴AA1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．∵AG=m，∴在△AFG中，FG2=m2+n2－2mncosθ．∵EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2－2mncosθ．如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧，则EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．因此，EF=解法二：经过点A作直线c∥a，则c、b所成的角等于θ，且AA1⊥c．根据直线和平面垂直的判定定理，AA1垂直于b、c所确定的平面a．在两平行直线a、c所确定的平面内，作EG⊥c，垂足为G，则EG平行且等于AA1，从而EG⊥α．连结FG，则根据直线和平面垂直的定义，EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．(以下同解法一)(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力．(Ⅰ)解：依题意，有①②即由a3=12，得a1=12－2d．③将③式分别代①、②式，得∴<d<－3(Ⅱ)解法一：由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．由于S12=6(a6+a7)>0，S13=13a7<0，即a6+a7>0，a7<0．由此得a6>－a7>0．因为a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．(Ⅱ)解法二：＝．∵d<0，∴最小时，Sn最大．当<d<－3时，∵正整数n=6时最小，∴S6最大．(Ⅲ)解法三：由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．注：如果只答出S6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给2分．(28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．证法一：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P(x0，0)，故|PA|=|PB|，即(x1－x0)2+=(x2－x0)2+∵A、B在椭圆上，①∴，．将上式代入①，得2(x2－x1)x0=②∵x1≠x2，可得③∵－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，∴－2a<x