2020-2021学年新教材高中数学课时素养评价六必要条件与充分条件含解析北师大版必修1

课时素养评价六必要条件与充分条件(15分钟35分)1.(2020·天津高考)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】首先求解一元二次不等式,然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立.【解析】选A.解一元二次不等式a2>a可得:a>1或a<0,据此可知:“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.2.有以下说法,其中正确的个数为()(1)“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.(2)“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选D.(1)由于“m是自然数”⇒“m是整数”,因此“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等,所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)由(a+b)·(a-b)=0,得:|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.当a=3时,A={1,3},故A⊆B,若A⊆B⇒a=2或a=3,不一定有a=3,故“a=3”是“A⊆B”的充分条件.4.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以是以是<1的一个必要条件的所有序号为.<1的一个充分条件的所有序号为,可【解析】由于<1,即-1<x<1,①-1<x<1⇒x<1;②0<x<1⇒-1<x<1;③-1<x<0⇒-1<x<1;④-1<x<1⇒-1<x<1,所以②③④是<1的一个充分条件,①④是<1的一个必要条件.答案:②③④①④5.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:(1)“ax2+bx+c=0有实根”是“ac<0”的.(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的.【解析】(1)因为ax2+bx+c=0所以Δ=b2-4ac≥0,ac<0不一定成立;但ac<0时,Δ=b2-4ac≥0一定成立,有实根,所以“ax2+bx+c=0有实根”是“ac<0”的必要条件.(2)△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′,△ABC∽△A′B′C′不能推出△ABC≌△A′B′C′,所以“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件.答案:(1)必要条件(2)充分条件【补偿训练】用“充分”或“必要”填空:(1)“x≠3”是“|x|≠3”的条件.(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的条件.【解析】(1)因为|x|≠3时,x≠±3,所以“x≠3”不能推出“|x|≠3”,“|x|≠3”⇒“x≠3”,所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件.(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除,所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”;“这个自然数能被5整除”不能推出“个位数字是5的自然数”,所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.答案:(1)必要(2)充分6.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?哪些命题中的p是q的必要条件?(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除.(2)p:x>1,q:x2>1.(3)p:b2=ac,q:=.(4)p:A∩B=A,q:UB⊆UA.【解析】(1)数a能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立.即p⇒q,q不能推出p,所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.(2)因为x2>1⇒x>1或x<-1,所以p⇒q,且q不能推出p.所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.(3)b2=ac不能推出=,如b=0,c=0时,b2=ac,而,无意义.但=⇒b2=ac,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(4)画出Venn图(如图).结合图形可知,A∩B=A⇒A⊆B⇒UB⊆UA,反之也成立,所以p是q的充分条件,且p是q的必要条件.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在如图电路中,条件p:开关A闭合,条件q:灯泡B亮,则p是q的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若开关A闭合,则灯泡B亮,所以p⇒q;若灯泡B亮,则开关A闭合或开关C闭合,所以q不能推出p,所以p是q的充分条件,故选A.2.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆UC”是“A∩B=∅”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.依题意,若A⊆C,则UC⊆UA,当B⊆UC,可得A∩B=∅;若A∩B=∅,不妨令C=A,显然满足A⊆C,B⊆UC,故满足条件的集合C是存在的.所以“存在集合C使得A⊆C,B⊆UC”是“A∩B=∅”的充要条件.3.若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.-1<x-m<1⇔m-1<x<m+1,由题意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件,所以{x|m-1<x<m+1},所以解得-≤m≤.4.“b=c=0”是“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.b=c=0⇒y=ax2,二次函数一定经过原点;二次函数y=ax2+bx+c经过原点⇒c=0,b不一定等于0.【误区警示】解答本题容易忽视对二次函数y=ax2+bx+c经过原点的含义(即c=0)理解错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列条件中是“a+b>0”的充分条件的是()A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a=3,b=-2D.a>0,b<0且|a|>|b|【解析】选ACD.问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件;因为“a>0,b>0”⇒“a+b>0”,“a<0,b<0”不能推出“a+b>0”,“a=3,b=-2”⇒“a+b>0”.“a>0,b<0且|a|>|b|”⇒“a+b>0”,所以A,C,D中的条件均是“a+b>0”的充分条件,B中的条件不是“a+b>0”的充分条件.6.对任意实数a,b给出下列命题,其中真命题是()A.“|a|=|b|”是“a=b”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【解析】选CD.若a=1,b=-1,则|a|=|b|,但a≠b,所以“|a|=|b|”推不出“a=b”,A错误;若a=1,b=-1,则a>b,但a2=b2;所以“a>b”推不出“a2>b2”,所以B错误;“a<3”可推出“a<5”,所以C正确;“a+5是无理数”⇔“a是无理数”所以D正确.【补偿训练】(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是()A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件【解析】选A、B、D.A正确,Δ=b2-4ac≥0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;B正确,Δ=b2-4ac=0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;C错误,Δ=b2-4ac>0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;D正确,Δ=b2-4ac<0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根.三、填空题(每小题5分,共10分)7.用“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”填空:(1)“x=1”是“(2)“x≠1”是“x2+2x-3≠0”的条件.【解析】(1)设A={1},B={x|则B={-1,1},因为AB,所以“x=1”是“=1”的条件.=1},=1”的充分条件.(2)设A={x|x≠1},B={x|x2+2x-3≠0},则B={x|x≠1且x≠-3},因为BA,所以“x≠1”是“x2+2x-3≠0”的必要条件.答案:(1)充分(2)必要8.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的条件.(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分也不必要”)【解析】当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.显然图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴.由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=>0,因为b<5,所以k>4.故填“充要”.答案:充要四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?【解题指南】可将r,p,q,s的关系用图表示,然后利用关系图解答.【解析】r,p,q,s的关系如图,(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充分条件,同时s是q的必要条件.(2)因为r⇒q,q⇒s⇒r,所以r是q的充分条件,同时r是q的必要条件.(3)因为q⇒s⇒r⇒p,pq,所以p是q的必要条件,p不是q的充分条件.10.(2020·青岛高一检测)已知P={x|-2≤x≤10},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.(1)若x∈P是x∈S的必要条件,求出m的取值范围.(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.【解析】(1)因为x∈P是x∈S的必要条件,所以S⊆P,所以解得0≤m≤3,所以m的取值范围是{m|0≤m≤3}.(2)x∈P是x∈S的充分条件时,P⊆S,所以解得m≥9,由(1)知,x∈P是x∈S的必要条件是0≤m≤3,由此知x∈P是x∈S的充要条件时,m的值不存在.1.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是()A.m=-2C.m=-1B.m=1D.m=0【解析】选A.当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.2.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【证明】设p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1.(1)充分性(p⇒q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,因为ab≠0,a2-ab+b2=所以a+b-1=0,即a+b=1.(2)必要性(q⇒p):+b2>0,因为a+b=1,所以b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,综上所述,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【补偿训练】设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|.(1)充分性(p⇒q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.当