等差数列的前项和概念解析推选优秀ppt

等差数列(děnɡchāshùliè)的前项和概念解析第一页，共27页。11．已知等差数列(děnɡchāshùliè){an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()CA．138B．135C．95D．232．在等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，已知S15＝90，那么a8等于()A．3B．4C．6D．12

C第二页，共27页。23．已知等差数列(děnɡchāshùliè){an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有()CA．a1＋a101＞0C．a1＋a101＝0B．a1＋a101＜0 D．a51＝514．在等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，已知a6＝a3＋a8，则前9项和S9等于()DA．3B．2C．1D．05．在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示(biǎoshì)数列{an}的前n项和，则S11＝()BA．18B．99C．198D．297第三页，共27页。3重点(zhòngdiǎn)等差数列(děnɡchāshùliè)前n项和的性质 (1)若{an}成等差数列(děnɡchāshùliè)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)也成等差数列(děnɡchāshùliè)．难点求等差数列的前n项和Sn

的最值

(1)根据项的正负来定：若a1＞0，d＜0，则数列的所有正数项之和最大；若a1＜0，d＞0，则数列的所有负数项之和最小．第四页，共27页。4第五页，共27页。5 等差数列(děnɡchāshùliè)的前n项和的性质及应用例1：等差数列(děnɡchāshùliè){an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．30B．170C．210D．260思维突破(tūpò)：(1)把问题特殊化，即令m＝1来解．(2)利用等差数列(děnɡchāshùliè)的前n项和公式Sn＝na1＋n(n－1)

2d进行求解．第六页，共27页。6(3)借助等差数列(děnɡchāshùliè)的前n项和公式Sn＝n(a1＋an)

2及性质(xìngzhì)m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq求解． (4)根据性质：“已知{an}成等差数列， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差数列”解题． (5)根据Sn＝an2＋bn求解． (6)运用(yùnyòng)等差数列求和公式，Sn＝na1＋n(n－1)

2d的变形式解题．第七页，共27页。7解法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70，∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210.第八页，共27页。8

由③－②及②－①结合④，得S3m＝210.

解法四：根据上述性质，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m

成等差数列． 故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)， ∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.第九页，共27页。9又a6＞0，a7＜0，事实上，本题要对n进行分类(fēnlèi)讨论．C．a1＋a101＝0当且仅当an≥0且an＋1＜0时，Sn有最大值．取最值时，应考虑答案(dáàn)：C列{|an|}的前n项和Sn.当n＝13时，Sn有最大值为169.＝S3＝12×3－32＝27；(4)根据性质：“已知{an}成等差数列，5．在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示(biǎoshì)数列{an}的∴设Sn＝a·n2＋b·n，解法五：∵{an}为等差数列，∴设Sn＝a·n2＋b·n，∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100，∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.解法六：由Sn＝na1＋n(n－1)

2d，第十页，共27页。10B1－1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27答案(dáàn)：C第十一页，共27页。111－2.等差数列(děnɡchāshùliè){an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(děngyú)()CA．12B．18C．24D．42 等差数列(děnɡchāshùliè)前n项和的最值问题例2：在等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最值．第十二页，共27页。12 等差数列前n项和的最值问题除了用二次函数求解外，还可利用(lìyòng)下面的方法讨论：①若d＞0，a1＜0，当且仅当an≤0且an＋1＞0时，Sn有最小值；②若d＜0，a1＞0，当且仅当an≥0且an＋1＜0时，Sn有最大值．取最值时，应考虑n在正整数范围内取值．由二次函数的性质(xìngzhì)可知，当n＝13时，Sn有最大值为169.第十三页，共27页。132－1.数列(shùliè){an}是首项为23，公差为整数的等差数列(shùliè)，且第六项为正，第七项为负．(1)求数列(shùliè)的公差；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn＞0时，求n的最大值．第十四页，共27页。14S6＝6×23＋，(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn

取得最大值，6×5 2×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋n(n－1)

2×(－4)＞0，整理得：n(25－2n)＞0，∴0＜n＜25 2又n∈N*，所求n的最大值为12.第十五页，共27页。15设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，列{|an|}的前n项和Sn.理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，等差数列前n项和的实际应用(yìngyòng)3．已知等差数列(děnɡchāshùliè){an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有((3)借助等差数列(děnɡchāshùliè)的前n项和公式Sn＝当n＝13时，Sn有最大值为169.解法(jiěfǎ)三：设等差数列的首项为a1，公差为d，前10项的和S10＝(列{|an|}的前n项和Sn.(20－5n)(n－5)C．a1＋a101＝0(2)求前n项和Sn的最大值；事实上，本题要对n进行分类(fēnlèi)讨论．(1)若{an}成等差数列(děnɡchāshùliè)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－∴S110＝－110. 等差数列前n项和的实际应用(yìngyòng) 例3：一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，求前110项之和．解法一：设等差数列(děnɡchāshùliè){an}的公差为d，前n项和Sn，则第十六页，共27页。16第十七页，共27页。17解法(jiěfǎ)二：设等差数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn，第十八页，共27页。18解法(jiěfǎ)三：设等差数列的首项为a1，公差为d，第十九页，共27页。19∴S110＝－110.第二十页，共27页。20 3－1.(年浙江)等差数列{an}的首项为a1，公差(gōngchā)为d，前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范围．第二十一页，共27页。21(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.第二十二页，共27页。22 例4：已知一个等差数列(děnɡchāshùliè){an}的通项公式an＝25－5n，求数列{|an|}的前n项和Sn.第二十三页，共27页。23 错因剖析：解本题易出现的错误就是(jiùshì)：(1)由an≥0得，n≤5理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，Sn＝(20－5n)(n－5)

2；(2)把“前n项和”认为(rènwéi)“从n≥6起”的和．事实上，本题要对n进行分类(fēnlèi)讨论．正解：由an≥0得n≤5，∴{an}前5项为非负，从第6项起为负，当n≥6时，第二十四页，共27页。244－1.已知Sn

为等差数列{an}的前n项和，Sn＝12n－n2.(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.第二十五页，共27页。25解：∵Sn＝12n－n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝11，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)