现代控制理论第5章

5.6.3二次型最优控制问题现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为n仙+Bu(5.20)确定最优控制向量u(t)=-Kx(t)(5.21)的矩阵K，使得性能指标J=j8(xHQx+uHRu)dt(5.22)0达到极小。式中Q是正定(或正半定)Hermite或实对称矩阵，R是正定Hermite或实或实对称矩阵。注意，式(5.22)右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量u(t)是不受约束的。正如下面讲到的，由式(5.21)给出的线性控制律是最优控制律。所以，若能确定矩阵K中的未知元素，使得性能指标达极小，则u(t)=-Kx(t)对任意初始状态x(0)而言均是最优的。图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。图5.6最优控制系统现求解最优控制问题。将式(5.21)代入式(5.20)，可得X=Ax-BKx=(A-BK)x在以下推导过程中，假设A-BK是稳定矩阵，A-BK的所有特征值均具有负实部。将式(5.21)代入(5.22)，可得J=卜(xHQx+xHKHRKx)dt0=』8xH(Q+KHRK)xdt0依照解参数最优化问题时的讨论，取xH(Q+KHRK)x=-—(xHPx)dt式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。于是xH(Q+KHRK)x=—xHPx—xHPx=—xH[(A—BK)hp+P(A—BK)]x比较上式两端，并注意到方程对任意X均应成立，这就要求(A—BK)hP+P(A—BK)=—(Q+KhRK)(5.23)根据Lyapunov第二法可知，如果a—bk是稳定矩阵，则必存在一个满足式(5.23)的正定矩阵P。因此，该方法由式(5.23)确定P的各元素，并检验其是否为正定的(注意，这里可能不止一个矩阵P满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P，该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P不是正定的，必须丢弃)。性能指标可计算为广SJ=jxH(Q+KHRK)xdt=—xHPx=—xH(s)Px(s)+xH(0)Px(0)00由于假设A-BK的所有特征值均具有负实部，所以x(s)t0。因此J=xH(0)Px(0)(5.24)于是，性能指标J可根据初始条件X(0)和P求得。为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的R是正定Hermite或实对称矩阵，可将其写为R=THt式中T是非奇异矩阵。于是，式(5.23)可写为(AH—KHBH)P+P(A—BK)+Q+KhThTK=0上式也可写为AHP+PA+[TK—(TH)-1BHP]H[TK—(Th)-1BhP]—PBR-1BhP+Q=0求J对K的极小值，即求下式对K的极小值xH[TK—(TH)-1BHP]H[TK—(TH)-1BhP]x(见例5.21)。由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当TK=(Th)-1bhP时，才存在极小值。因此K=T-1(Th)-1bhP=R-1BhP(5.25)式(5.25)给出了最优矩阵K。所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22)定义时，其最优控制律是线性的，并由u(t)=—Kx(t)=—R-1BHPx(t)

给出。式(5.25)中的矩阵P必须满足式(5.23)，即满足下列退化方程AHP+PA-PBR-1BHP+Q=0(5.26)式(5.26)称为退化矩阵黎卡提方程，其设计步骤如下：1、求解退化矩阵黎卡提式(5.26)，以求出矩阵P。如果存在正定矩阵P(某些系统可能没有正定矩阵P)，那么系统是稳定的，即矩阵a-BK是稳定矩阵。2、将矩阵P代入式(5.25)，求得的矩阵K就是最优矩阵。例5.9是建立在这种方法基础上的设计例子。注意。如果矩阵a-BK是稳定的，则此方法总能给出正确的结果。确定最优反馈增益矩阵K还有另一种方法，其设计步骤如下：1、由作为K的函数的式(5.23)中确定矩阵P。2、将矩阵P代入式(5.24),于是性能指标成为K的一个函数。3、确定K的各元素，使得性能指标为极小。这可通过令aj/ak等于零，并解出k的最优值来实现J对K各元素k为极小。勺这种设计方法的详细说明见例5.11和5.12。当元素k的数目较多时，该方法很不便。^如果性能指标由输出向量的形式给出，而不是由状态向量的形式给出，即J='^(yHQy+uHRu)dt0则可用输出方程y=Cx来修正性能指标，使得J为J=j8(xHCHQCx+uHRu)dt(5.29)0且仍可用本节介绍的设计步骤来求最优矩阵K。［例5.9］研究如图5.7所示的系统。假设控制信号为u(t)=一Kx(t)试确定最优反馈增益矩阵K，使得下列性能指标达到极小=j8=j8(xTQx0+u2)dt由图5.7可看出，被控对象的状态方程为x=Ax+x=Ax+Bu图5.7控制系统以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。求解(5.26)，将其重写为注意到A为实矩阵，AHP+PA-PBR-1BHP+Q注意到A为实矩阵，Q为实对称矩阵，P为实对称矩阵。因此，上式可写为0010PiiP12P12P22-1该方程可简化为PPPPP11P0010PiiP12P12P22-1该方程可简化为PPPPP11P12■0-1]P11P12+-10一=■00-P12P221P12P220000012221112■00一■0P+11—P11P12_0P12P212P12P22■10-■00-+=_0_00_P12P22P222由上式可得到下面3个方程1—P21211—P12P22=0且要求P为正定的可得H+2=0且要求P为正定的可得"pP-<H+21】1112=:P12P22_1JH+2_P=将这3个方程联立，解出p、p12、pP=参照式(5.25)，最优反馈增益矩阵K为K=PiBhP

=[1=[1][01]p

12=[p.p]=[im+2]p12p22因此，最优控制信号为u=-Kx=-x-\币+p12p22图5.8图5.7所示对象的最优控制注意，由式(5.28)给出的控制律对任意初始状2态在给定的性能指标下都能图5.8图5.7所示对象的最优控制5.7二次型最优控制问题的MATLAB解法在MATLAB中，命令lqr(A,B,Q,R)可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。J=j8(xfQx+ufRu)dt0在约束方程x=Ax+Bu条件下达到极小的反馈控制律u=一Kx另一个命令〔K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)也可计算相关的矩阵黎卡提方程0=PA+AhP—PBRBhp+Q的唯一正定解P。如果A—BK为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或A—BK的特征值。对于某些系统，无论选择什么样的K，都不能使a—BK为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此情况，命令K=lqr(A,B,Q,R)〔K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)不能求解，详见MATLABPrgram5.1。MATLABProgram5.1%Designofquadraticoptimalregulatorsystem%*****DeterminationoffeedbackgainmatrixKforquadratic%optimalcontrol*****%*****EnterstatematrixAandcontrolmatrixB*****A=[-11;02]B=[1;0];%*****EntermatricesQandRofthequadraticperformance%index*****Q=[10;01];R=[1];%*****Toobtainoptimalfeedbackgainmatrix,K,enterthe%followingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)Warning:Matrixissingulartoworkingprecision.K=NaNNaN

［例5.10］考虑由下式确定的系统证明：无论选择什么样矩阵K，该系统都不可能通过状态反馈控制u=一Kx来稳定（注意，该系统是状态不可控的）。定义K=\kk]则12A—BK=■—11_—「11\kk]02012―1―k1―k1202因此特征方程为

||s+1+k—1+k0s—2=(s+1+k1)(s—2)=0闭环极点为s=-1-k],s=2由于极点s=2在s的右半平面，所以无论选择什么样的矩阵K,该系统都是不稳定的。因此，二次型最优控制方法不能用于该系统。假设在二次型性能指标中的Q和R为一10_Q=01，R=⑴并且写出MATLABProgam5.1。所得的MATLAB解为K=[NaNNaN]其中NaN表示“不是一个数”。每当二次型最优控制问题问题的解不存在时，MATLAB将显示矩阵K由NaN组成。010A='B=0—11x=Ax+Bu8J=jx=Ax+Bu8J=j(x'Qx+u'Ru)kt10Q=01'R=[1]u=一Kx性能指标J为这里假设采用下列控制u确定最优反馈增益矩阵K。最优反馈增益矩阵K可通过求解下列关于正定矩阵P的黎卡提方程得到A'P+PA—PBR-1B'P+Q=0其结果为将该矩阵P代人下列方程，即可求得最可求得最优矩阵K为K=RiB'P「21]=[顷。U11=UH因此，最优控制信号为u=一Kx=一x一x利用MATLABProgram5.2也能求解该问题。MATLABProgram5.2%Designofquadraticoptimalregulatorsystem%*****DeterminationoffeedbackgainmatrixKforquadratic%optimalcontrol*****%*****EnterstatematrixAandcontrolmatrixB*****A=[01;0-1];B=[0;1];%*****EntermatricesQandRofthequadraticperformance%index*****Q=[10;01];R=[1];%TheoptimnalfeedbckgainmatrixK(ifsuchmatrixK%exists)canbeobtainedbyenteringthefollowingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)K=1.00001.0000

x=Ax+Bu0B=0_1_dt[1]式中TOC\o"1-5"\h\z010A=001性能指标J为式中-35-27-98J=j(x'Qx+u'Ru)0「100-Q=010,R=0010B=0_1_dt[1]性能指标J为式中利用MATLABProgram5.3，可求解该问题。MATLABProgram5.3%Designofquadraticoptimalregulatorsystem%*****DeterminationoffeedbackgainmatrixKforquadratic*****EnterstatematrixAandcontrolmatrixB*****A=[00;001;-35-27-9];B-[0;0;1]%******EntermatricesQandRofthequadraticperformance%index*****Q=[100;010;001];R=[1];%******TheoptimalfeedbackgainmatrixK,solutionPofRiccati%equation,andclosed-looppoles(thatis,theeigenvalues%ofA-BK)canbeobtainedbyenteringthefollowing%command*****[K,P,E]=[qr(A,B,Q,R)]K=0.01430.11070.0676P=4.26252.49570.01432.49572.81500.11070.01430.11070.0676E=-5.0958-0.9859+1.7110I-1.9859-1.7110i[例5.13]考虑与例12.7中讨论的相同的系统。该系统的状态空间表达式为x=Ax+Buy=Cx+Du式中-010--0一A=001,B=00-2-3_1_假设控制信号u为C=h001D=[0]u=k(r一x)一(kx+kx)=kr一(kx+kx+kx)

1122331112233如图3.9所示。在确定最优控制律时，假设输入为零，即r=0。确定状态反馈增益矩阵K(k=\k1k2k3])，使得性能指标J=j(x'Qx+u'Ru)dt达到极小。这里-q1100一「x11「y1Q=0q220,R=1,x=x2=y00q33」x3_y_为了得到快速响应，q与q、q和R相比必须充分大。在该例中，选取q11q22q33q=100,q=q=1,R=0.01为了利用MATLAB求解，可使用命令*K=lqr(A,B,Q,R)由MATLABProgram5.14,可得到该例题的解。MATLABProgram5.4%Designofquadraticoptimalcontrolsystem%*****WeshalldeterminetheoptimalfeedbackgainmatrixKthat%minimizestheperformanceindexJ*****A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1]%*****EntermatricesQandRofthequadraticperformance%indexJ*****Q=[10000;010;001];R=[0,01];%*****ToobtaintheoptimalstatefeedbackgainmatrixK,%enterthefollowingcommand*****

采用确定的矩阵K来研究所设计的系统对阶跃输入的响应特性。所设计的系统的状态方程为x=Ax+Bu=Ax+B(一Kx+kr)=(A-BK)x+Bkr输出方程为xy=Cx=[100]y=Cx=[100]为求对单位阶跃输入的响应，使用下列命令[y,x,t]=step(AA,BB,CC,DD)式中AA=A-BK,BB=Bk,CC=C,DD=DMATLABProgram5.5可求出该系统对单位阶跃的响应。图5.10画出了输出y对时间t的响应曲线，图5.11在同一张图上画出了x,x和x对t的响应曲线。123MATLABProgram5.5Unit-stepresponseofdesignedsystem%*****Usingtheoptimalfeedbackgainmatrixkdeterminedin%MATLABProgram5.4,weshallobtaintheunit-stepresponse%ofthedesignedsystem*****%*****NotethatmatricesA,B,andKaregivenastollows*****A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1]K=[100.000053.120011.6711];K1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);%*****Thestateequationforthedesignedsystemis%xdot=(A-BK)x+Bk1randtheoutputequationis%y=Cx+Du,wherematricesCandDaregivenby******C=[100];D=[0];%*****Definethestatematrix,controlmatrix,outputmatrix,%anddirecttransmissionmatrixofthedesignedsystemsasAA,%BB,CC,andDD*****AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=D;%*****Toobtaintheunit-stepresponsecurvesforthefirsteight%seconds,enterthefollowingcommand*****t=0:0.01:8;[y,x,t]=step[AA,BB,CC,DD,l,t);%*****Toplottheunit-stepresponsecurvey(=xl)versust,%enterthefollowingcommand*****plot(t,y)gridtitle(‘UnitStepResponseofQuadraticOptimalControlSystem’)ylabel(‘Outputy=xl’)%*****Toplotcurvesx1,x2,x3versustononediagram,enter%thefollowingcommand*****plot(t,x)gridtitle(‘ResponseCurvesx1,x2,x3,versust’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘x1,x2,x3’)text(2.6,1.35,’x1’)text(1.2,1.5,’x2’)text(0.6,3.5,’x3’)图5.10二次型最优控制系统的单位阶跃响应曲线图5.11x,x和*对t的响应曲线123下面总结线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。给定任意初始条件x(tj，最优控制问题就是找到一个容许的控制向量u(t)，使状态转移到所期望的状态空间区域上，使性能指标达到极小。为了使最优控制向量u(t)存在，系统必须是状态完全可控的。根据定义，使所选的性能指标达到极小(或者根据情况达到极大)的系统是最优的。在多数实际应用中，虽然地于控制器在“最