电磁场理论复习考试题

第1~2宗矢■分析宏观电磁现象的基本规律—►1.设：直角坐标系中，标量场u=xy+yz+zx的梯度为A，则M（l,1,1）处已知矢量场A=e（y+z）+e4xy2+/xz，则在M1,1,1处V-A=^。TOC\o"1-5"\h\zxyz—亥姆霍兹定理指出，若唯一土地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量—►—►的旋度VxA及散度V-A。4.4.——写出线性和各项同性介质中场量D、————————————D=£E,B=^H,J=cE

程）：:E、B、H、J所满足的方程（结构方卜J.dS=一色v-J=—坐Sdtdt电流连续性方程的微分和积分形式分别为和设理想导体的表面A的电场强度为E、磁场强度为B，则（a）E、B皆与A垂直。（b）E与A垂直，B与A平行。（c）E与A平行，B与A垂直。>>（d）E、B皆与A平行。答案：B两种不同的理想介质的交界面上，（A）E=E2,H=H2（B）"E2n，H1n=H2n—>—>—>—>（C）E广E21,H1t=H21（D）ElE21,Hn=H由答案：C—►设自由真空区域电场强度E=eyE°sin（如-窿（V/m），其中E0、力、月为常数。则►空间位移电流密度Jd（A/m2►空间位移电流密度Jd（A/m2）为:(b)esEcos(st-Pz)(c)egEcos(st-&z)(d)-e阳0cos(st-Pz)答案：C已知无限大空间的相对介电常数为£=4，电场强度E=epcos苴（V/m），其中

x02dPo、d为常数。则x=d处电荷体密度p为:(a)-埠(b)-V(c)-普

d(a)-埠(b)-V(c)-普

ddd（d）一¥答案：d已知半径为Ro球面内外为真空，电场强度分布为—(-ecos。+esin0)o—(e2cos0+e©sin0)(r<R°)(r>Rp求（1）常数B；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。Sol.(1)球面上由边界条件E=E得：一sin0=一sin0—B=2R21t2tRR3000(2)由边界条件D侦-D2n=P得：6s„p=s(E一E)=s(E一E)=—cos0s01n2n01r2rR0——(3)由V•D=p得：=SVE=S1a(r2E)+s18(E0sin0)=J0P00r28r0rsin080〔0(r<R)(r>Rp即空间电荷只分布在球面上。已知半径为R0、磁导率为H的球体，其内外磁场强度分布为2(ecos0-esin0)(r<R)H=」ar00一(e2cos0+esin0)(r>R)且球外为真空。求（1）常数A；（2）球面上的面电流密度JS大小,Sol.球面上(r=R°):H^为法向分量；气为法向分量(1)球面上由边界条件B=B得：^H二日H-A二栏R3"221r°2r口。。(2)球面上由边界条件H1?-H如=七得J=(H-H)1=-(2+上)sin6'1626F口°第3章静电场及其边值问题的解法静电场中电位©与电场强度E的关系为E=—V"；在两种不同的电介质（介电常数分别为8和£）的分界面上，电位满足的边界条件为'="2；Z否1=%盂。12—►—►—►设无限大真空区域自由电荷体密度为P，则静电场：VxE=0，—►V-E=—Q/%3.4.电位。和电场强度E满足的泊松方程分别为V2"=—§、V2E=¥.土土w=-SE2介电常数为£的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为——对于两种不同电介质的分界面电场强度的切向分量及电位移的法向分量总是连续的。3.4.如图，E］、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，弓=3£］，。1=30°，则02=60°，IE]LiE21=37.8.理想导体与电介质的界面上表面自由电荷面密度p与电位沿其法向的方向导数性的阈s前关系为'瓦——P，。如图，两块位于尤=0和7.8.理想导体与电介质的界面上表面自由电荷面密度p与电位沿其法向的方向导数性的阈s前关系为'瓦——P，。如图，两块位于尤=0和尤=d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体密度§=PO（1—ex-d）的电荷（设内部介电常数为£。）。（1）利用直接积分法计算0<x<d区域的电位©及电场强度E；（2）x=0处导体平板的表面"］=0电荷密度。Sol.为一维边值问题："=。⑴►-xdV2。=一区n空1=—K(1-ex-d)&dx2&0边界条件：1(x=0)=0,1(x=d)=U0(1)直接积分得：p/x2Up1(p/x2Up1(x)=0(ex-d———+e-d)+[—0s°2de(x)=-vi=-ex=-edx(2)由%为'曰一=-Ps得:p=-ss4(1—d2+e-d)]xs0d[—0(ex-d-x)+s08。8。08n08xgo--P^(1-d2+e-d)]ds0d=sE(x)|x=0=-p[S°U^-1—d~+e-d(1-项0pddd9.如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为匕。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。Sol.（略）见教材第82页例3.6.110.如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点电荷q0。利用镜像法求z轴上乙>a各点的电位分布。Sol.空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：无限大接地导体平面+接地导体球边界条件：1平面=*球面=0无限大接地导体平面+接地导体球边界条件：1平面=*球面=0使虹而平面使1球面球面=0，引入镜像电何：z'=—d,q'=—q0=0，引入镜像电荷：a2aq=-qd1d1q=aqd0z轴上z>a各点的电位:1=—4兀s012a31——Iz-dIz2d2—a4z+d11.已知接地导体球半径为R0，在X轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q.-q,位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x上X>2R0各点的电场强度。Sol.（1）引入两个镜像电荷：q-一鸟q=-堕，X—生-R,12R212R2_R「、_q一_R:q2=-我(-q)=2，x=—0R

=0_22R20fq+q+%-q]

lRRRRf]

V127R=d(X-2R)2+y2+z2，R=J(X—R/2)2+y2+z2R=.、:(x+R/2)2+y2+z2，R'=.<(x+2R)2+y2+z2(3)x轴上x>2R0各点的电场强度：1(2)巾3,y,z)=一4^80（略）q+-q/2+q/2+q(x-2R0)2(X-R°/2)2(x+R°/2)2(x+2R0)212.如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。Sol.q=-q,q2=+q°,q3=-q0，8(x,y,z)%0,0)(0,-i,0)(a,0,0)lR+R+牛+R]'0123/14赤0=(略)其中：R=』x2+(y-a)2+z2R=寸(X+a)2+y2+z2r2=Jx2+(y+a)2+z2R=J(X-a)2+y2+z2

第4章恒定电场与恒定磁场线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于，净余电荷只能分布在该导电媒质的上。—►—►线性和各项同性的均匀导电媒质中，V・J二—0；▽•D二0。在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件为:E-气t、On-J2n。p="E2在电导率为"的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小E的关系为。5.6.恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度B的关系为B=N*人；A所满足的泊松方程对线性和各项同性磁介质（磁导率设为H），恒定磁场日^磁场强度大小为H）的磁能密，V空间磁能wm=已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：A=平2y+七〉2X+eCxyz，c为常数，且A满足库仑规范。求（1）常数C；（2）电流密度J；（3）磁感应强度B。5.6.（直角坐标系中：Vxa=e（直角坐标系中：Vxa=ex（z5y8a沥-——)+e(—xdzydzSa—X)6y-八SA6ASA八八”Sol.(1)库仑规范：V•A=0—x++^z=2xy+2xy+Cxy=0nC=—4TOC\o"1-5"\h\z6x6y6zx1(62A62A62A++p^6x26y26z2/(2)由V2A=x1(62A62A62A++p^6x26y26z2/—y_—、p(3)B=VxA=—e4xz+e4yz+e(y2—x2)（P.136.习题4.2）在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（[q"和82，"2）,其厚度分别为气和d2。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位中、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。Sol.用静电比拟法计算。用电介质（气和弓）替代导电媒质，静电场场强分别设为E1、E2Ed+Ed1D1122=DT8E2=U0=8E22—►电位移：D—►=81E]Ex=1=-e82U0x8d+8d2112八8U

=-e1~0——x8d+8d£[8U0(0<x<d1)8U0x8d+8d

21128x+(8—12(0<x<d)Ed+E(x-d)11一bU^xbd+bd2112bx+(b-b)d=—121——1U0—►J=-ePlsx=01bd+bd-ewxbd+bd2112八bU—e1~0xbd+bdbbUxbd+bd-8—1=-8—11dn1dxPIsx=d1+d-8)d

—1——8d+8d2112°o们eoe，则导电媒质中的恒定电场：(0<x<d1)(0<x<d1)pIsx=d18*宁0bd+bd_de_de_8bu2dn2d(一x)bd+bd(d『^e):1M£2W)也-8丛]1dn2dn)x=d]x=d](8b-8b)U

bd+bd可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等■异号p|sx=0才有电容定义。，-Psi”只有理想电容器9.一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、夕卜半径分别为a、2a，电导率为b。如图建立圆柱坐标，若电位e|皿=u（常量）及e|=0。求（1）导电媒质上电位分布以司0啊及恒定电场的电场强度E;（2）该情况下导电媒质的直流电阻R。(1)V2gon上迎=0ngAp+8

p2dq)2（第9题图）(2)/=』</•dS=fj・(sdp)=f—►—►—►Saa2oU1z_(1)V2gon上迎=0ngAp+8

p2dq)2（第9题图）(2)/=』</•dS=fj・(sdp)=f—►—►—►Saa2oU1z_FB・(Q・dp)=2(JaUe71In2U直流电阻：R=t

—A—A大712biln210.—横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、夕卜半径分另！J为1、2a,电导率为。o如图建立圆柱坐标，若电位8|=U（常量）及81=0。求（1）导电媒质上电位分布p=a0p=2a以及导电媒质上恒定电场的电场强度E；（2）该情况下导电媒质的直流电阻RoSol.由边界条件可知，导电媒质上电位©仅与坐标P有关，即。=8（P）(1)V2(|)=0n—PrPdp^dp二0n(|)=AInp+B7由8|="o及8|2=0得：8(P)=-焉lnp+焉ln(2o)如U1E=—V(p=—e—e-―er—pdpPln2p"U1eiQ—pln2p（第10题图）J[JJz听QU/=JJdS=J・(q・^-)二o—►—►S一nu21n2直流割且项=芋=顽由叫兀="及们=°得:<b(<p)=—(p=20(p=0兀「。n如1伽如2U1E=—V(p=—e^—-e—————e——e—©-—pcp<ppc(pzdz<p兀p2oU19-——71P第5章电磁波的辐射1.复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为2.A坡印亭矢量S的瞬时表示式是，平均值是1.复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为2.A坡印亭矢量S的瞬时表示式是，平均值是—►3.-,工、,一、，_-二d2E一、、一、自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为V2E-3亍=0,这个方程在正弦dt2电磁场的情况下变为V2E+k2E=0。3.4.在无损耗的均匀媒质G四)中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为4.TOC\o"1-5"\h\z••—A—AV2H+k2H=0,其中⑦T。(A)k2=32日8(B)k2=32日282-■32.1(C)k2=——(D)k2=日832日85.在时变电磁场中，磁感应强度B与位的关系为B=Vx在，办5.E=-VO-—电场强度E与位的关系为所.6.已知某一理想介质(8=4七卜5烦顼6.已知某一理想介质(8=4七卜5烦顼0-流复矢量为Jd=eJ0cos2e-j禺(A)e£cos阻e-假J^yn(C)e.0sin—e-j&，a、P、(B)(D)中))时谐电磁场的角频率为①，位移电J0皆为常数。则电场强度复矢量E为e—cos-^e—j&xj4咬aJ•nyqe-~0—sin——e-j&xj4咬a答案：B7.电偶极子天线的功率分布与。的关系为—a7.(a)sin20(b)sin0一(c)cos20(d)cos08.自由空间的原点处的场源在t时刻发生变化，此变化将在—b8.自由空间的原点处的场源在t时刻发生变化，此变化将在—b函数中和Z。r(a)t——；cr(b)t+—；(c)t；c(d)任意.时刻影响到「处的位9.在球坐标系中，电偶极子的辐射场(远区场)的空间分布与坐标的关系―c9./、sin20sin0sin0sin20x(b)次(c)x(d)x——rr2rr2一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则(A)不再是均匀平面波。(B)空间各点电磁场振幅不变

(C)(A)不再是均匀平面波。(B)空间各点电磁场振幅不变(C)电场和磁场不同相。。(D)传播特性与波的频率无关。答案：C(A)E—e10-e-/z+e10j-e-/z(C)E—(A)E—e10-e-/z+e10j-e-/z(C)E—e10-e一j兀z—e10-e-j兀z(D)E—e10-e-jz+e10-e+加z答案：C12、已知真空中某时谐电场瞬时值为E(x,z,t)—e-sin(10m)cos皿―kz)。试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。一一_解：所给瞬时值表示式写成下列形式—►E(x,z,t)—Re[e》sin(1Ckx)e—jkzzej^t]因此电场强度的复矢量表示为E(x,z)—esin(10ix)e—安y由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为H(x,z)—-^(VxE)——-L-H(x,z)—-^(VxE)——-L-j即j即0.0exddxEeyddyEyezddzEzxk、—sin(1皈x)—e叩z010兀j即0cos(1皈x)e—jkzJ功率流密度矢量的平均值§破等于复坡印廷矢量的实部，即exExexExH*x_—2Re(eEH^-eEH*S—Re(S)—：Re(ExH*)—2ReeyEyH*yezEzH*z-^Ree2元kj^sin(20兀x)+e-e一sin2(10^x)z2叩0

13、已知真空中时变场的矢量磁位为A(z,r)=e%Aocos(or-fe)求:-^Ree213、已知真空中时变场的矢量磁位为A(z,r)=e%Aocos(or-fe)求:(1)电场强度。和磁场强度日；(2)坡1|3廷矢量及其平均值。解：⑴把矢量磁位的瞬时值表小为4(z，r)=Re[/Ae-jkzex0则矢量磁位的复数形式为A(z)—eAe-jkz

x0根据磁场强度复数形式丑与矢量磁位复数形式人之间关系可以求出11H(z)=—(VxA)=—R一R.o.o磁场强度的瞬时值为_H(z,t)—e(么°)cos(cof-kz—号)根据麦克斯韦方程组的第一个方程VxH=J+加。，此时，=0,电场强度与磁场强度之间关系为・.eXdxAXeyddyAyezdAeee11xy‘E(z)二——(VxH)=旦uaJCOSJCDS6xdy&,HHH一X一y一z电场强度的瞬时值为E(z/)=Re归幻s=e(—jkA)e-jk乙yo一1dHk^A

——e=e9-e-jkzxjcosdzxjcosk^Az7兀、

COS((D?-KZ-—)

co2TOC\o"1-5"\h\zZ二占八八*3人27冗、八*3人271S=ExH=&xegos2(cdz-kz~—)-ecos2(co?-kz~—)\o"CurrentDocument"xyCOE2%CD82坡印廷矢量的平均值为1>42S二Re(S)=土Re(ExH*)=—/—什⑶2乙2co8第6章、均匀平面波的传播两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们的振幅相同，相位相差土兀/2。均匀平面波垂直入射到理想导体表面上反射波电场与入射波电场的振W如相^_，相位相差土。均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质G=2.25,卜=1q=0)表面上，则电场反射系数为—-115。''在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为E=eJ00cos0t-20kz)V/m，则波的传播方向为+z，频率为3乂109Hz，波长为0.1m，波的极化方式为卫X方向的线极化波，对恳的磁场为H=与^ss"'20lz"Am，平均坡印亭矢量S为馥zE。均匀平面波电场方向的单位矢量弓、磁场方向的单位矢量e,以及传播方向的单位矢量e三者满足的关系是一'广孔*七。n损耗媒质的本征阻抗为，表明损耗媒质中电场与磁场在空间同一位置存在—A—►—A着相位差，损耗媒质中不同频率的波其相速度不同，因此损耗媒质又称为J色散媒质。1设海水的衰减常数为a，则电磁波在海水中的穿透深度为_^，在此深度上电场的振1幅将变为进入海水前的e。在良导体中，均匀平面波的穿透深度为a(d)成(d)成......—e—e—e—e—e—e9.在无源的真空中，已知均匀平面波的E=E0e-j^z和H=H0e-人，其中的E0和H0为9.常矢量，则必有-.••—►—►—►—►(a)eXE=0；(b)eXH=0；(c)E-H=0；(d)ExH=0z0z00000以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的—b不再是平面波电场和磁场不同相振幅不变以TE波的形式传播11、已知空气中存在电磁波的电场强度为E=eyE0cos(6兀x1081+2芯)V/m试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H。解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量E=eEejkz该式的电场幅度为e0，相位和方向均不变，且E-e=0nE1e，此波为均匀平面波。传播方向为沿着-z方向。.七.七由时间相位血=6兀x1081n3=6kx108波的频率f=3x108Hz-一-_波数k=2丸2兀波长人=—j~=1mk相速v=%=#=3x10m/s由于是均匀平面波，因此磁场为H=[(-exE)=e；ejkzTOC\o"1-5"\h\zZzxZWW12、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为E=exE0sin(2Kx1081-2丸z)，已知介质的目广1，求£r，并写出H的表达式。一一解：根据电场的瞬时表达式可以得到①=2kx108，k=2k，而7.一..3国一k=3甲=3非r日r<£0日0=n8r电场强度的瞬时式可以写成复矢量为kE=eEe-j2kz-j2

波阻抗为ZW=言=烦Q，则磁场强度复矢量为TOC\o"1-5"\h\z1E正H=七伫xe)=e诚尸"2因此磁场为.WE._…「、_H=ey40^sin(2吨x1081-2兀z)13、铜的电导率。=5.8x107S/m,Rr=£r=1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗。-一''_H=eyf=1MHz；(2)f=100MHz；(3)f=10GHz解：已知£0r品/X10-9F/m和r0=4kx10-7H/m，那么—=—-—=—x1.044x1018os2酒£r£0f⑴当f=1MHz时，—=1.044x1012〉〉1，则铜看作良导体，衰减常数以和相位常数P分别为以=0=V——=15.132%：f=15.132x1032相速"=o=4.152x10-4/7=0.4152m/sp0'波长：X=W=4.152x10-4m透入深度：5=-1=6.6x10-5maJ波阻抗：Z=「呼(1+j)=2.61X10-7(1+认f=2.61X10-4(1+j)w\2。当f=100MHz时，色=1.044x1010>>1，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数a和O£相位常数0分别为a=0=、：一2—=15.132tf=15.132x104相速"=0=4.152xU打=4.152m/s波长：X=21=4.152x10-5m透入深度：5=-1=6.6x10-6ma波阻抗：Z=.「理(1+j)=2.61X10-7(1+j)打=2.61X10-3(1+j)w2a⑶当f=10GHz时，0-_=1.044x108>>1，则铜看作良导体，衰减常数a和相位常数0分别为a=0=、：一2—=15.132tf=15.132x105

相速"=号=4.152x10—4行=41.52m/s波长：X=舍4.152x10—6m透入深度：8=-1=6.6x10-7m波阻抗：Z=「塑(1+j)=2.61x10-7(1+j)打=2.61x10-2(1+j)wV2brr=1，求频率为10kHz、10MHz和10GHz时14、海水的电导率rr=1，求频率为10kHz、10MHz和10GHz时解：已知s0牝3^1~x10-9F/m和r0=4兀x10-7H/m，那么遇=f|x109。⑴当f=10kHz时，氽=f9x109=8x105>>1，则海水可看作良导体，衰减常数-和相位常数P分别为-=p-orq=3.97x10-3(f=0.3971乙相速：vp=p=1.582x103打=1.582x105波长：X=希=15.83m透入深度：8=1=2.52m-波阻抗：Z=.「塑(1+j)=0.316^x10-3(1+j)打=0.099(1+j)w\2b(2)当f=10MHz时，旦=-x102=88.89>>「则海水也可近似看作良导体，衰减常数