电磁场与电磁波课后答案

电磁场与电磁波课后答案-郭辉萍版1-6章

第一章习题解答1.2给定三个矢量云,A求•⑴矢量A的单位矢量厂;aa⑵矢量云和万的夹角。；ABAB。AB•万和-B•()和•()和)和解•⑴厂=A

(一+2-一3-)aaa⑵cos0ABAIIB135.5oAB⑶A*B=-11AB⑶A*B=-11，10-a)•42⑸云Ax)=55a4411xc=2a-407+5a1.3有一个二维矢量场F(r)(-y)+r(x)，求其xy矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。解•由dx/(y)=dy/x,得2+=c—y2

1.6求数量场w=ln(,2+y2+z2)通过点P(L2,3)的等值面方程。解：等值面方程为In(，+y+z2)=c则c=ln(l+4+9)=lnl4那么2+2+2=14X2y2[21.9求标量场w(x,yjZ)=62y+ez在点P(2,-1,0)的梯度。|~1~|=-*8\f+—伽+-=12x-+18-+—1V\|/aaay3a%2yiae^.adxydydzxyz得w=24—+72—+-V\|/aaaXyz1.10在圆柱体+=9和平面x=0,y=0,z=0及•Azyz=2所包围的区域，设此区域的表面为S:⑴求矢量场.沿闭合曲面S的通量，其中矢量场的表达式为；=一3+—(3y+z)+—(3zx)Aaa/ax-zTOC\o"1-5"\h\zxy⑵验证散度定理。JA^dSyoz上=156.4解：(1)侦•赤=JA^dSyoz上=156.4\A^dS^\(3p2cos30+3psin20+zsin6)dp』C曲曲__==6f(3y+z)dxdz-XOZXOZfA9dS~-f3x^dydz~^yozyozyozTOC\o"1-5"\h\zJA•dS+JA•dS=J(6-pcos0)pd0dp+Jpcos0dpd0=27-上下上下23厂=193JA•ds⑵JV・AdV=J(6+6x)dV=6J(pcos0+1)dpdedz=193VVV即：Ja•d?=Jv・AdV1.13求矢量；=—x+?x沿圆周+=Q2的线积Aaay2x2y2a2xy分，再求VxA对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。解：』A•成％xdx+%y=W4L一==-VxAay2乙JVxA•正—』y2dS—4p2sin20pdpdB~—a4s4ss即：JA•di=JvxA•d投得证。1.15米下列标量场的梯度：(l)u=xyz+X2=一伽+—伽+一伽=(yz+zx)+xz+xyVua——a——a——aaa〜xdxydyzdzxyz(2)u=4y+z4xzx2y2-=一du+—du+—du=一(8xy-4z)+—(4+2yz)+Vua—a—a—aax2一(4x)ay2-(3吐=一du+—du+—du=3x+5z+5yVua——a——a——aaaxdxydyzdzxyz1.16求下列矢量场在给定点的散度⑴v.冒=普+普+普=3j+3+31)=6oxdyoz⑵v"=2xy+z+6zh°)=21.17求下列矢量场的旋度。vxl=6vx/=f(x-x)+公(y-y)+云(z-z)=61.19己知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x',y',z‘),求：⑴P的位置矢量;和Q点的位置矢量7；⑵从Q点到P点的距离矢量z；⑶Vx；和V.户；(4)V(1)OK解：(l)；=fx+云y+iz;F=2x'+私y'+Wz，辰(x-xO(y-y9)+Z(z-z9)Vxr=65V•r=3⑷J1夏1)=(匚区+是2+云£)上Rvxdxydyzdz7R12(x-x')12(y-y')12(z-z')=；2R丁2R丁2R、祀yR2zR2-*x—x1—•y—y1—z—z'久&3-⑶顶~-%r3"(x—x')+匚(y-y?)+i(z-z9)]K=R一无即：▽（*）=-*第二章习题解答2.5试求半径为a,带电量为Q的均匀带电球体的电场。解：以带电球体的球心为球心，以r为半径，作一高斯面，由高斯定理铲.云=Q,及万=赤得，①r<a时，由—x—jrr29得Js4237ia3万二四4几，E=-^4隔。°②r>a时,由争D^dS=Q9万=四物广

Qr4k8r302.5两无限长的同轴圆柱体，半径分别为a和b(a<b),内外导体间为空气。设同轴圆柱导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为P和P,求：rrSs⑴空间各处的电场强度;两导体间的电压；柱的轴为轴做一个半径为r的圆柱万.丞=q⑶要使p>b区域内的电场强度等于零，则？和P应满足什么关系？麻:⑴以II柱的轴为轴做一个半径为r的圆柱万.丞=qI三

1=1及万=£丘得，当0<r<b时,=0>E=0,b时,由".丞=q=°，得S由』万质q，得万x2tirxZ=px2kaxlp一，Dferr当b<rDx2tirx/=px2naxlp—=pa+pb-DSSi一p。一8rr0时p一，Dferr当b<rDx2tirx/=px2naxlp—=pa+pb-D52一9er「£rro⑵［》P"z7P。］"0E^dr=J—5—€Zr=—5—In—aba&r8b00⑶要使p>0的区域外电场强度为0,即：一=pa+pb_=0,得=bE‘1sr寻，PS~aP勾02.9一个半径为a的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量为Q的电荷，已知内部的电场为声儿r，计算：E_a（—）4ra⑴球内电荷分布；⑵球的外表面的电荷分布；⑶球壳的电位；⑷球心的电位。6sr3——0—

a6sr3——0—

a4⑵无十E=eErp_e•D_e•sE=ssrr00⑶由高斯定理6D•dS=4kr2D=qS当qa时，q=2Q，q=4ka2s02Q9=—=2ar2krs0⑷「Fc9=JaEdl=—2aa0=2-2a9=9+9ra2.17一个有两层介质（s，s）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为。和。，电容器极板的bb12

面积为S。当外加压力为U时，求:⑴电容器的电场强度;⑵两种介质分界面上表面的自由电荷密度;⑶电容器的漏电导;⑷当满足参数是胄=。/问G/C=?（C为电容器电1221容）解：⑴由Ed+eD-"J—J，得丁,°U，E—叩2d°+d°⑵两介质分界面的法线由1指向2由£E-6E—p，得p2211s=&°U6°Usd°+d°d°+d°21122112⑶由/J川，知J—sE°U

□2S°d°+d°G=i=°°s1—2Ud°+d°U

□2S°d°+d°~U~Ud°+d°2112G/C=°613.1设一点电荷与无限大接地导体平面的距q离为』，如图3.1所示。求：d空间的电位分布和电场强度;导体平面上感应电荷密度；点电荷所受的力。q(1)r=(x,y,z-d)ir=(x,y,z+d)iq,11、©=(———)4k£rr=J(,14k£0Jx2+y2+(z一d)2)x2+y2+(z+d)2E=-叫q4ksxxyyz+d[(———)a+(———)a+(r3r3xr3r3yr302121(2)在导体平面上有z=0,则r=r=i：‘x2+y2+d2e=—qda3z2k£(x2+y2+d2)20一亍qdp=aZE=—32兀(x2+y2+d2)2⑶由库仑定律得q2一a3.6牝矗限大接地平行板电极，距离为/电位d分别为0和%，板间充满电荷密度为p°xd的电荷，如题3.60图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。一IPX解：板间电位满足泊松方程V2。=-：与0边界条件为。（0）二0,侦d）=U对方程进行两次积分得=0,c=U+里21d80d0。=-溢+q=0,c=U+里21d80d680dd680e=-ve=e=-ve=疝H-U-

x'28ddPd68二二一zpX28UPd、D=8E=a(——一~0—0—)0x'2dd6x=0极板上的电荷密度为—-—*8Updp=a•D=—脂°—~0~x=d极板上的电荷密度为一"、二8Updp=(-a)•D=^0~~2~3.8一个沿z方向的长且中空的金属管，其横截面为矩形，金属管的三边保持零电位，而第四边的电位为U，如题3.8图所示。求：（1）当Ju时，管内的电位分布；U—U0（2）当u_u3位叮时，管内的电位分布。u—u0oin（1）电位分布满足拉普拉斯方程V2©=0即#+具=0边界条件为'I=0,0£y疽0，L,*y疽"0©I。,。e广。①L,欠推广。分离变量,设©=f(x)g(y)代入方程并且两边同时除以f(x)g(y)得f”(x)工g‘‘(y)+=0f(x)g(y)设3=人则3=一人f(x)g(y)方程可写成以下形式f"(x)-人f(x)=0⑴g"(y)+入g(y)=0⑵解方程(2)并要求满足边界条件"=°,0<x<广。"L,08广。得只有人>0时方程满足要求wwn2兀2n冗、解得人=^2g(y)=sm(-^y)将代入方程⑴，并满足边界条件©=0x=0,0<y<b冗解得f(x)=Asinh(；x)nnn贝U。=Asinh^^x)sin^^y)义一一nn一nnn=1则电位的通解为。=产Asmh(bx)sin(；n=1代入边界条件eix=a,0<y<b^=£Asinh(竺a)sin(竺y)=Un=1两边同时乘以sin(m—y)并对y从0到b积分，并由bn。m时fbsin(竺y)sin(m—y)dy=00bbn=m时fbsin(竺y)sin(m—y)dy=—得0bb代入边界条件eib5n—n冗、』，Asinh(——a)sin(——y)dyTOC\o"1-5"\h\z0nbbn=1=£Afbsinh(n—a)sin(竺y)dyn0bbn=1bm—、=2Asinh(-^a)=fbUsin(m—y)dy(3)0b⑴U=U0时，由方程(3)得bbm—、U(1-cosm—)=2Asinh(-^a)贝DA=—0(m=1,3,5...)mm—m—、sinh(a)b代入电位的通解求得电位为n—、sinh(—x)e=井也—sin(竺y)n—n—、bn=1,3,5sinh(——a)b(2)U=U0sin导时jbUsin(^^y)dy=fbUsin—^sin(^^y)dy0b0obbb,v=2U0(m=1)由方程(3)得bbn2U=方Asinh(-^a)贝°A=柘in、sinh(—a)b代入电位的通解求得电位为sinh(至)©=U二sin(竺)0sinh(na)bb3.9一个沿+y方向无限长的导体槽，其底面保持电位为u,其余两面的电位为零，如图3.9所示。求槽内的电位函数。电位分布满足拉普拉斯方程V2©=0即尹+尹=0边界条件为洲=0©I=0©!y=0=U/©!y疽C分离变量,设©=f(x)g(y)代入方程并且两边同时除以f(x)g(y)得f"(xhg"(y)+=0f(x)g(y)设空=-X则芟)以f(x)g(y)方程可写成以下形式f"(x)+人f(x)=0⑴g"(y)-入g(y)=0⑵解方程(1)并要求满足边界条件©I=0©|=o得只有人＞0时方程满足要求念刀4曰1"27C2£(、•兀、解侍人=f(x)=sm(——x)na2na将代入方程(2),并满足边界条件洲=cy=oo”IT解得g(y)=Ae~aynn7TxtZL则(|)=Asin(——x)e~aynna则电位的通解为IV4-,"兀、一％(|)=乙Asm(——x)eay«an=l代入边界条件©I=u得y=0°U=£Asin(—x)0nan=l两边同时乘以sin(—x)并对x从0到a积分，并由aTOC\o"1-5"\h\zm=〃时"sin(竺■x)sin(空^x)dx=—A0aa2-sin(—x)sin(x)dx=0得oaaaUsin(00amn、fV.aUsin(00ax)二J乙Asm(——x)sm(x)dx=—A0naa2mn=l既〃—(l-cosm7i)=-A0mn2477贝豚=—9-(zn=1,3,5...)mrnJi代入电位的通解方程得,亍4〃mi皿(I)="——sm(——x)eaynna”=1,3,5'''4.3若半径为a、电流为I的无线长圆柱导体置于空气中，已知导体的磁导率为，求导体内、外%的磁场强度H和磁通密度Bo

解：（1）导体内：0*<a由安培环路定理，所以，所以，5=捋，H=丑，H广芸弓，vc<+<P8I艾，22兀p中（2）导体外：aLH•d产Lvc<+<P8I艾，22兀p中i=jIW如果是，与它相应的电流密度J为多少？（1）背一F=appliiJ解：瞬=将叫）=河=2*O所以"不是磁通密度（2）F=%y+axxyliii解：V.尸=8y+办=0所以F是磁通密度VF—dxdyVxB—pJ

0JJliiJliiiVxB—pJ

0JJJeee888dx8y8z—yX0所以j—2jjep0z⑶FfLayxyV•F—0liiJV•F—0liiJVxB=日J=0jjjeeexyz8888x8y8zx—y0=0所以了=0(4)j=jrF—a中v.J=0所以J是磁通密度VFF—»—a中liiJaaaar9^r2sin9rsin9r8888r898中00—r2sin9二co"+,=口0j所以j=—cot9j+2jJa—aprH94.6已知某电流在空间产生的磁矢位是j=j之Aax2x求磁感应强度jBy+ax,2+a(y—z)yz解：B=VxX=jjjeee888dx8y8zx2yxy2y2—Z=2yJ+j(,2二2)xz4.13已知钢在某种磁饱和情况下的磁导率为,=2000.，当钢中的磁通密度为B1=0.沁皿T,10=75°时，试求此时的磁力线由钢进入自由空liiJ91间一侧后，磁通密度6的大小及£与法线的夹B、B、22解：由折射定律得竺％匕所以TOC\o"1-5"\h\ztan0日tan0匕tan000.107。*2B=当B2cos012即——「Bcos0=Bcos0112B=当B2cos012=TB0.13x10-22liiJ4.15通有电流/的平行直导线，两轴线距离为d,liiJ两导线间有一载有电流,的矩形线圈，求两平行2直导线对线圈的互感。解：左边长直导线作用:所以解：左边长直导线作用:所以甲=jB・d孑=jsRX.cd^m1sa+R2兀p=*0I1clnb+R2兀a+R右边长直导线作用jB.d咤=jd-a-RX-cd?右边长直导线作用m2sd-b-R2丸p*Icid—a—R2冗d—b—Rm2合成后甲=?+甲mm1m2=*Uln[U丫d—a—R、2兀"a+RJvd—b—R/M=?=—mI1*c(b+R丫d—a—R)Sin2兀Va+RJVd—b—RJ4.17无限炒年糕直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面。证明：它们之间的互感为M=-四a1—ln2丸M=-四a1—ln2丸2b(R2-C2)2+b2+R2解:B_虹，甲」声d彳』S"F'站.adP02兀pmsr2丸pln(7—InR)L\=ln(7—InR)L\=-Ral—o~ln2丸2b(r2-C2)2+b2+R2所以互感M=9=-Ram—inI2冗iR[2b(r2一C2)2+b2+R25.3设y=0为两种磁介质的分界面,y<0为媒质1，其磁导率为口，y>0为媒质所以互感M=9=-Ram—inI2冗i界面上有电流密度了-2aA/m分布的面电流，已知媒质1中磁场强度为h-a+2a+3aA/m求媒质2中磁场强度"yZ解：2：设电磁波由媒质1到媒质2则由亓X(H2-H1)-Js其中亓--ah—a+2切a+5aa/m2xRy二5.6已知在空气中，电场强度矢量为E-a0.1sin顷5X109挪泸/m求磁场强度H和相位常y

数p解■由VXE=-jwB,B=RH得H=-a0.23x10-3sin(10冗x)cos(6冗x1091-54.41z)-a0.13x10-3cos(10冗x)sin(6冗x1091-54.14z)相位常数：门二①七甲8=①+V=20冗rad/m5.7自由空间中，已知电场强度矢量为I心血y*皿"Z）求（1）磁场强度的复数表e—a4cos（st-pz）+a3cos（3t-pz）达式（2）坡由廷矢量的瞬时表达式（3）平均坡印廷矢量解:•⑴—►E—a4e-jpz+a3e-jpz——由VxE—-jsB得—1—1H—B—(—3-—4)e-jPzV/mR120兀xy(2)—a4cos(st-Pz)+a3cos(st-Pz)X]y——E(z,t)—H()=120-(a3—a4)cos(st-Pz)aaaa5所以，—ExH=acos2(st-Pz)w/^H2z24-(3)—a4cos(st-Pz)+a3cos(st-Pz)X]y=k4+a3)x(a3-a4」2120—xyx一5=a乙48兀5.9达式，(1)将下列复数形式的场矢量变换成瞬时表或作用反的变换E=a4e-jPz+a3je-jPz兀、E()=a4Re[ej(®t-pz)]+a3Re[e，伽一PP+亍]丸、=a4cos(3t—Pz)+a3cos(3t-Pz+,)=a4cos(3t-Pz)一a3sin(3t-Pz)1(2)-.兀兀E=a4sin(一])sin(①t-Pz)+acos(一i)cos(①t-Pz)E=a4sin(生x)cos(①t-Pz一?)，兀+acos(—x)cos(①t-Pz)=a4sin(—x)Re[ej(wt-Pz-2)]+acos(—x)Re[ej(wt-pz)]xaza兀、j-p；).—/兀、八E=a4sin(—x)ej(Pz2)+acos(—x)e-jPz(z)xaza兀兀.c=a-4jsin(—x)e-jPz+acos(—x)e-jPz(3)E=acos(wt-Pz)+a2sin(wt-Pz)E=acos(wt-Pz)+a2cos(wt-Pz丸=aRe[ej(①t-Pz)]+a2Re[e，(①—眼一如]E=ae-jpz-a2je-jpz(4)E=a3jcos(kcoso)e-jkzsinoK_E=a3cos(kcos0)e-j(kzsin―2)兀E=a3cos(kcos0)Re[eJ(®t-kzsin0+7)]兀=a3cos(kcos0)cos(31-kzsin0+—)=a-3cos(kcos0)sin(31-kzsin0)y(5)E=a2sin(3t-Pz+中)E=a2cos(①t—3z+$——)

(z,t)y2=a—2jRe[ej(饥-pz+8)]yE=a—2jej(-3z+8)(z)y5.12对于线性，均匀和各向同性导电媒质，设媒质的介电常数为，磁导率为电导率为，试证明无源区域中时谐电磁场所满足的波动方程为V2E=jw^GE-k2E式中kV2H=jw^GH-k2H解:•xH=J+j3D=GE+j38ETOC\o"1-5"\h\z—►—►—►xVxH=Vx(GE+j38E)———将V(V-H)=V2H+VxVxHxE=—j3口H代入上式———(V-H)—V2H=(G+j38)•(—j3口)H—•H=0—►—►—►2H=j3^GH—32口8H—►—►—►即V2H=j3^GH—k2H.'・.——————同理：V2E=j3.GE-k2E5.15设电场强度和磁场强度分别为E=Ecos(3t+8)H=Hcos(3t+8)求其平均坡印廷矢量。1S=——Re[Ex//*]TOC\o"1-5"\h\z一2——1=——Re[Ee冲°xHe-m]2->o—o1=—(ExH)Re[。j(虹一、，)]2—o—o=—(ExH)cos(8-8)2—>0—>0emH=(a+a)Hcos(w^-tu)Almyz0求：(1)H=(a+a)Hcos(w^-tu)Almyz0求：(1)波的传播方向；(2)波长和频率；(3)电场强度；(4)瞬时坡印廷矢量。解.-一一用,H=(a+acos(w^-tu)Alm(1)波滔+X°方向传播⑵由题意得：k=兀rad/m,频率c必十/=-=1.5x108Hzl=JL==i波长kE=v\Hxa=(a-a)120TiHcos(yvt-Kx)v/mxyzo\o"CurrentDocument"——-一S=ExH=a240k7/cos2(n—JU)w/m2■X06.3无耗媒质的相对介电常数＞4,相对磁导率1，一平面电磁波沿+z方向玲播，其电场强度H=1的表达式为色=1Ecos(6x1O8S0z)yo求：(1)电磁波的相速；(2)波阻抗和°；(3)磁场强度的瞬时表达式；(4)平均坡印廷矢量。解.nrr*(1)(2)(3)，"巫=60-(。)8881__—e(1)(2)(3)，"巫=60-(。)8881__—eH=—axE=-a60—cos(6，P=wR8=w，-卢,=4rad/m

cx1081-4z)A/m—1--.E2S=^Re[ExH*]=S120-（4）—1--.E2S=^Re[ExH*]=S120-E=a100cos（107兀t）v/m，8=80，R=1，Y=4s/m。求:'（1）衰减常数、相位甯数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度；（2）写出海水中的电场强度表达式；（3）电场强度的振幅衰减到表面值的1%时，波传播的距离；（4）当x=0.8m时，电场和磁场得表达式；（5）如果电磁波的频率变为f=50kHz，重复（3）的计算。比较两个结果会得到什么结论？解：（1）

—=一=180>>1TOC\o"1-5"\h\z08088OLIV=2^2兀a8.9(Np/m)2…,。=户；丫=8.9(rad/m)门=\'~=\'°~(1+j)=；(1+j娘\’8、:2<2O，v=—=3.53x106m/sX=芹=0.707m5=—=0.11mca二…_E=a100e-8.9%cos(107兀t—8.9x)v/m・.・e-8.9x=1%...x=0.52m(4n勺e)*:v2—>E=a100e-8.9xe-j8.9x—1_—_100正H=-axE=a——e-8.9xe一j&9x—j4A/m—.—、—100一„„冗、一H=Re[Hejot]=a一e-8.9xcos(107兀一8.9x一—)A/m当x=0.8m时，——E=a0.082cos(107兀t-7.11)v/mH=a0.026cos(107兀t-7.9)A/m(5)当f=50KHz时,,o四=气顽7=0.89Np/me-0.89X=1%•x=5.2m结论：频率越大，电磁波衰减越快。6.5判断下面表示的平面波的极化形式:(1)(2)cos(wt-pz)+a2sin(wt-pz)(3)sin(wt—pz)+acos(wt—pz)V(4)sin(wt-Pz)+a5sin(wt-Pz)cos(wt-Pz-：)+asin(wt-Pz+彳)解：(1)E=acos(wt-pz)+a2sin(wt-pz)X•E=cos(wt-pz)，E=2sin(wt-Pz)=2cos(wt-Pz-—)X'y2E—E2+丹=1,p-p=—X4Xy2I极化波。所以，该平面波为右旋椭(2)e=asin(wt-pz)+acos(wt—pz)•E=sin(wt-Pz)=cos(wt-Pz-—),E=cos(wt-Pz)所以，该平面波为左旋椭—•・E2+E2=1,8-(p=-—I极化波。(3)E=a——一JXsin(wt—Pz)+a5sin(wt—Pz)...p=p所以；该平面波为线极化波。Xy(4)—————E=acos(wt-Pz-—)+asin(wt-Pz+—)=acos(wt-Pz-—4)+acos(wt-Pz-—4)...所以，该平面波为线极化波。..甲一.xy6.6均匀平面电磁波频率f=100MHz,从空气垂直入射到x=0的理想导体上，设入射波电场沿+y方向，振幅s6*/m。试写出：（1）入射波电场E—6fmV/fm和磁场表达式；（2）入射波电场和磁场表达式；（3）空气中合成波的电场和磁场；（4）空气中1^1离导体表面最近的第一个波腹点的位置。1^1解：（1）k-心诉-迎-空8-竺（rad/m）'c3X1083.2E6e~J3x(mV/m)—1—a口H=