材料力学讲义1128T28

第三章扭转

Chapter3Torsion第三章扭转(Torsion)

§3-1扭转的概念和实例(Conceptsandexampleproblemoftorsion)

§3-2扭转内力的计算(Calculatinginternalforceoftorsion)§3-3薄壁圆筒的扭转(Torsioninthin—wallcirculartube)

§3-4圆轴扭转的应力分析及强度条件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)§3-8开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转(Freetorsionofopenandclosedthin-walledmembers)§3-5圆杆在扭转时的变形·刚度条件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)§3-6密圈螺旋弹簧的应力和变形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)§3-7非圆截面杆的扭转

(Torsionofnoncircularprismaticbars)

§3-1扭转的概念及实例

(Conceptsandexampleproblemoftorsion)一、工程实例(Exampleproblems)MeMe二、受力特点(Characterofexternalforce)杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点(Characterofdeformation)杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.

§3-2扭转的内力的计算(Calculatinginternalforceoftorsion)从动轮主动轮从动轮一、外力偶矩的计算

(Calculationofexternalmoment)Me—作用在轴上的力偶矩(N·m)P—轴传递的功率(kW)

n—轴的转速(r/min)nMe2Me1Me3Me在n-n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算(Calculationofinternalforce)1.求内力(Calculatinginternalforce)截面法(Methodofsections)TMeMeMex••nnMeMe•xTMe•xT采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为负.2.扭矩符号的规定(Signconventionfortorque)3.扭矩图(Torquediagram)用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置;用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩,正的扭矩画在x轴上方,负的扭矩画在x

轴下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例题1一传动轴如图所示,其转速n=300r/min,主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.试做扭矩图.解:计算外力偶偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n计算CA段内任横一一截面2-2截面上的扭扭矩.假设T2为正值.结果为负号号,说明T2应是负值扭扭矩由平衡方程程ABCDMe1Me3Me222同理,在BC段内BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理,在BC段内在AD段内1133注意：若假假设扭矩为为正值,则扭矩的实实际符号与与计算符号号相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩图图4774.5N·m9549N·m6366N·m+_从图可见,最大扭矩在在CA段内.§3-3薄壁圆筒的的扭转(Torsionofthin-walledcylindricalVessels)1.实验前（1）画纵向线线,圆周线;（2）施加一对外外力偶.一、应力分分析(Analysisofstress)薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）dxx

Me

Me2.实验后（1）圆筒表面面的各圆周周线的形状状、大小和和间距均未未改变，只只是绕轴线线作了相对对转动；（2）各纵向线线均倾斜了了同一微小小角度；（3）所有矩形网网格均歪斜斜成同样大大小的平行行四边形.3.推论(Inference)（1）横截面上上无正应力力，只有切应力；；（2）切应力方方向垂直半半径或与圆周相切切.dxδ圆周各点处处切应力的的方向于圆圆周相切,且数值相等等,近似的认为为沿壁厚方方向各点处处切应力的数数值无变化化.MeMeABDC此式为薄壁壁圆筒扭转转时横截面面上切应力力的计算公公式.4.推导公式(Derivationofformula)薄壁筒扭转转时横截面面上的切应应力均匀分分布,与半径垂直直,指向与扭矩矩的转向一一致.Tττxdydzdxyz二、切应力力互等定理理(ShearingStressTheorem)ττ1.在单元体左左、右面（（杆的横截截面）只有有切应力,其方向于y轴平行.两侧面的内内力元素dydz大小相等,方向相反,将组成一一个力偶.由平衡方程程其矩为(dydz)dxxydydzzdxττ2.要满足平衡衡方程在单元体的的上、下两两平面上必必有大小相相等，指向向相反的一一对内力元元素它们组成力力偶，其矩矩为此力偶矩与与前一力偶偶矩数量相等而而转向相反反，从而可可得(dydz)dx3.切应力互等等定理(Shearingstresstheorem)单元体两个个相互垂直直平面上的的切应力同同时存在,且大小相等等,都指相（或或背离）该该两平面的的交线.4.纯剪切单元元体(Elementinpureshear)单元体平面面上只有切切应力而无无正应力,则称为纯剪剪切单元体体.MeMel式中,r为薄壁圆筒筒的外半经经.三、剪切胡胡克定律(Hooke’slawforshear)由图所示的的几何关系系得到薄壁圆筒的的扭转试验验发现,当外力偶Me在某一范围围内时,与Me（在数值上等等于T）成正比.三个弹性常常数的关系系TO从T与之间的线性性关系,可推出与间的线性关系系.该式称为材材料的剪切胡克定定律(Hooke’slawforshear)G–剪切弹性模模量O思考题：指指出下面图图形的切应应变2切应变为切应变为0变形几何关关系物理关系静力关系

观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式deformationgeometricrelation

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformulaExaminethedeformationthenproposethehypothesis

physicalrelationstaticrelation§3-4圆杆扭转的的应力分析析·强度条件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)1.变形现象(Deformationphenomenon)（1）轴向线线仍为直线线,且长度不变变；（2）横截面仍为为平面且与与轴线垂直直；一、变形几几何关系(GeometricalRelationshipofDeformation)（3）径向向线线保保持持为为直直线线,只是是绕绕轴轴线旋旋转转.2.平面面假假设设(Planeassumption)变形形前前为为平平面面的的横横截截面面,变形形后后仍仍保保持持为为平平面面.aabbdxO1O23.几何何关关系系(Getricalrelationship)倾角角是横横截截面面圆圆周周上上任任一一点点A处的的切切应应变变,d是b-b截面面相相对对于于a-a截面面象象刚刚性性平平面面一一样样绕绕杆杆的轴线转动动的的一一个个角角度度.经过过半半径径O2D上任任一一点点G的纵向向线线EG也倾倾斜斜了了一一个个角角度度r,也就就是是横横截截面面半半径径上上任任一一点点E处的的切切应应变变TTdADG'ρρD'GE同一一圆圆周周上上各各点点切切应应力力均相相同同,且其其值值与与成正正比比,与半半径径垂垂直直.二、物物理理关关系系(PhysicalRelationship)由剪剪切切胡胡克克定定律律aabATTdxDbDO1O2GG'ρρrOdAdAρρT三、、静静力力关关系系(StaticRelationship)1.公式式的的建建立立(Establishtheformula)结论ρρ代入入物物理理关关系系中中得得到到式中中：：T—横截截面面上上的的扭扭矩矩—求应应力力的的点点到到圆圆心心的的距距离离Ip—横截截面面对对圆圆心心的的极极惯惯性性矩矩Wt称作作抗抗扭扭截截面面系系数数，，单单位位为为mm3或m3.2.的计算(Calculationofmax)

rOTdAdAρρρmax（1）实实心心圆圆截截面面dO3.极惯惯性性矩矩和和抗扭扭截截面面系系数数的的计计算算(calculatingthepolarmomentofinertia§ionmodulusundertorsion)ρdρODdρdρ（2）空空心心圆圆截截面面其中例题题2图示示空空心心圆圆轴轴外外径径D=100mm,内径径d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料料的的切切变变模模量量G=80GPa.（1）画轴轴的的扭扭矩矩图图；；（2）求轴轴的的最最大大切切应应力力,并指指出出其其位位置置.M1M2ABCll解:（1）画画轴轴的的扭扭矩矩图图Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·mAB段（+）（-）T1=-4kN·m最大大扭扭矩矩发发生生在在BC段Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求求轴轴的的最最大大切切应应力力,并指指出出其其位位置置max最大大切切应应力力发发生生在在截截面面的的周周边边上上,且垂垂直直于于半半径径.M1M2ABCllmax1.数学学表表达达式式(Mathematicalformula)四、强度条件件(StrengthCondition)2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)强度校核(Checktheintensity)设计截面(Determinetherequireddimensions)确定许可载荷(Determinetheallowableload)ABC解：作轴的扭矩图图MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分别校核两段段轴的强度例题3图示阶梯圆轴轴,AB段的直径d1=120mm,BC段的直径d2=100mm.扭转力偶矩为为MA=22kN·m,MB=36kN·m,MC=14kN·m.已知材料的许许用切应力[]=80MPa,试校核该轴的强强度.因此,该轴满足强度度要求.例题4实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M和长度l均相等,最大切应力也也相等.若空心圆轴的的内外径之比比=0.8,试求空心圆截截面的外径和和实心圆截面面直径之比及及两轴的重量量比.ll(a)(b)分析：设实心心圆截面直径径为d1,空心圆截面的的内、外径分分别为d2、D2;又扭转力偶矩矩相等，则两两轴的扭矩也也相等，设为为T.已知：dd2D2因此解得两轴材料、长长度均相同,故两轴的重量量比等于两轴轴的横截面面面积之比在最大切应力力相等的情况况下空心圆轴轴比实心圆轴轴轻,即节省材料.1.圆轴扭转时的的变形是用相相对扭转角来度量的§3-5杆在扭转时的的变形·刚度条件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)一、扭转变形形(Torsionaldeformation)其中d代表相距为dx的两横截面间间的相对扭转转角.长为l的一段杆两端端面间的相对对扭转角可按下式计算算3.刚度条件（Stiffnesscondition)2.单位长度扭转转角(Angleoftwistperunitlength)—扭转角GIp称作抗扭刚度度称作许可单位长度扭转角(Allowableangleoftwistperunitlength)例题5图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹弹性模量G=80GPa，DB=1°.试求：（1）AD杆的最大切应应力;（2）扭转角CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：画扭矩图图计算外力偶矩矩MeDB=CB+DC=1°Tmax=3Me（1）AD杆的最大切应力（2）扭转角CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例题6某汽车的主传传动轴是用用40号钢的电焊钢钢管制成,钢管外径D=76mm,壁厚d=2.5mm,轴传递的转矩矩Me=1.98kN·m,材料的许用切切应力[]=100MPa,切变模量为G=80GPa,轴的许可扭角[′]=2/m.试校核轴的强度和刚度.DddMeMe解：轴的扭矩矩等于轴传递递的转矩轴的内、外径径之比由强度条件由刚度条件DddMeMe将空心轴改为为同一材料的的实心轴,仍使max=96.1MPad=47.2mm实心轴的直径为两轴材料、长长度均相同,故两轴重量比比等于两轴的的横截面积比比，在最大切应力力相等的情况况下空心圆轴轴比实心圆轴轴轻,即节省材料.其截面面积为为空心轴的截面面面积为例题7两端固定的圆圆截面杆AB,在截面C处受一个扭转转力偶矩Me的作用,如图所示.已知杆的抗扭扭刚度GIp,试求杆两端的的支反力偶矩矩.CMeabABl解:去掉约束,代之以约束反反力偶矩这是一次超静静定问题,须建立一个补充方程ACBMeMeAMeBC截面相对于两两固定端A和B的相对扭转角角相等.杆的变形相容容条件是CMeabABlCMeabABl（1）变形几何方方程（2）由物理关系系建立补充方方程解得ACBMeMeAMeB•AC=BC例题8图示一长为l的组合杆,由不同材料的的实心圆截面面杆和空心圆圆截面杆组成成,内外两杆均在在线弹性范围围内工作,其抗扭刚度GaIpa、GbIpb.当此组合杆的的两端各自固固定在刚性板板上,并在刚性板处处受一对矩为为Me的扭转力偶的的作用试求分分别作用于内内、外杆上的的扭转偶矩.MeMelAB解：列平衡方方程这是一次超静静定问题.变形相容条件件是内、外杆杆的扭转变形应应相同.变形几何方程程是物理关系是MeMeMelABMaMb代入变形几何何方程,得补充方程MbMaMeMeMelAB弹簧的螺旋角角5°,且D>>d,这样的弹簧称称为密圈螺旋旋弹簧.推导这种弹簧的应力力与变形的计计算公式.§3-6密圈螺旋弹簧簧的应力和变变形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)一、弹弹簧丝丝横截截面上上的应应力1.内力的的计算算(Calculationofinternalforce)F(Calculationofthestressonspringwirecrosssection)簧丝的的横截截面上上有两两个内内力分分量即即FSTFPF作为近近似计计算,通常可可略去去与剪剪力FS相应的的,且D/d很大时时,还可略略去簧圈曲曲率的的影响响,所以簧簧杆横横截面面上最最大切切应力力为2.应力的的计算算(Calculationofstress)为便于于分析析,将杆的的斜度度视为0°截面法法公式修修正的的原因因:（1）当D/d较小,会引起起很大大的误误差;（2）假定定剪切切引起起的切切应力力是均均匀分分布的的.式中c为弹簧簧指数数,k为曲度度系数数,可查教教材中中的表表3.13.强度条条件(Strengthcondition)FSTFPF若只考考虑簧簧杆扭扭转的的影响响，可可得簧簧杆内内的应应变能能为二、、弹弹簧簧的的变变形形(Deformationofthespring)1.应变变能能的的计计算算(Calculationofstrainenergy)3.功能能原原理理Vε=W(Work-energyprinciple)当弹弹簧簧的的变变形形为为l时，，外外力力所所做做的的功功为为FFOll2.外力力做做的的功功(Workoftheexternalforce)c—弹簧簧刚刚度度例题题9某柴柴油油机机的的气气阀阀弹弹簧簧,簧圈圈平平均均半半经经R=59.5mm,簧丝丝横横截截面面直直径径d=14mm,有效效圈圈数数n=5.材料料的的[]=350MPa,G=80GPa,弹簧簧工工作作时时总总压压缩缩变变形形（（包包括括预预压压变形形））为l=55mm试校校核核弹弹簧簧的的强强度度.解：：求求出出弹弹簧簧所所受受的的压压力力F为由R及d求出出查表表3.1查处处弹弹簧簧的的曲曲度度系系数数k=1.17弹簧簧满满足足强强度度要要求求.§3-7非圆圆截截面面杆杆的的扭扭转转(Torsionofnoncircularprismaticbars)非圆圆杆杆,如矩矩形形截截面面杆杆扭扭转转后后横横截截面面将将发发生生翘曲曲(warping)而不不再再是是平平面面.一、、基基本本概概念念(Basicconcepts)（2）若若杆杆的的两两端端受受到到约约束束而而不不能能自自由由翘翘曲曲，，则则相相邻邻两两横横截截面面的的翘翘曲曲程程度度不不同同,这将将在在横横截截面面上上引引起起附附加加的的正正应应力力.这一一情情况况称称为为约束束扭扭转转(constrainttorsion).（1）等等直直非非圆圆杆杆在在扭扭转转时时横横截截面面虽虽发发生生翘翘曲曲(warping)，但当当等等直直杆杆在在两两端端受受外外力力偶偶作作用用，且端端面面可可以以自自由由翘翘曲曲时时，，其其相相邻邻两两横横截截面面的的翘翘曲曲程程度度完完全全相相同同.横截截面面上上仍仍然然只只有有切切应应力力而而没没有有正正应应力力.这一一情情况况称称为为纯扭扭转转(puretorsion)，或自由由扭扭转转(freetorsion).bhT矩形形截截面面扭扭转转时时,横截截面面切切应应力力如如图图所所示示,边缘缘上上各各点点的的切切应应力力形形成成与与边边界界相相切切的的顺顺流流.整个个横横截截面面上上的的最最大大切切应应力力发发生生在在长边边的的中中点点.二、、矩矩形形截截面面(Rectangularcrosssection)短边中点的切应力是短边上的最大切应力,且hδ切应应力力在在沿沿长长边边各各点点处处的的方方向向均均与与长长边边相相切切其其数数值值除除在在靠靠近近顶顶点点处处以以外外均均相相等等.三、、狭狭长长矩矩形形（Longnarrowrectangle)狭长长矩矩形形截截面面的的It和Wt狭长长矩矩形形截截面面上上切切应应力力的的分分布布情情况况见