线性代数试题4

《线性代数》试卷A一.填空题（每小题4分，共20分）。1.已知正交矩阵P使得，则2.设A为n阶方阵，是的个特征根，则det()=3.设A是矩阵，是维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：4.若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=5.，则的全部根为：二.选择题（每小题4分，共20分）行列式的值为（）。1，B，-1C，D，对矩阵施行一次行变换相当于（）。左乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵若A为m×n矩阵，，。则（）。A，是维向量空间，B，是维向量空间C，是m-r维向量空间，D，是n-r维向量空间若n阶方阵A满足，=0，则以下命题哪一个成立（）。A，，B，C，，D，若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（）。A，矩阵AT为正交矩阵，B，矩阵为正交矩阵C，矩阵A的行列式是1，D，矩阵A的特征根是1三，解答题（每小题6分，共30分）1．若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，求det()2．计算行列式。3．设，求矩阵B。4、求向量组的一个最大无关组。5.求向量=（1，2，1）在基下的坐标。6、（12分）求方程组的通解（用基础解系与特解表示）。7、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵四、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系，是线性方程组的一个解，求证线性无关。《线性代数》试卷A参考答案填空题20-22006λ12···λn2r(A)=r(A,B)<nt=-81,2,-3二选择题(1)D(2)A(3)D(4)D(5)D三解答题(1)A·A*=|A|·E,|A|·|A*|=|A3||A*|=|A|2=|A·A’|=|A·A-1|=1(2)(3)由AB=A-B，有，（4）而故{，，}为一个极大无关组（5）令ω=（1，2，1）=xα+yβ+zγ，则有：解得：ω的坐标为6解：原方程组同解下面的方程组：即：令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。齐次方程组基础解系为：。7.解：当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则。六，证明证：设，则，于是：,即：但，故=0。从而=0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。《线性代数》试卷B填空题（每小题4分，共20分）。已知正交矩阵P使得，则2．设A为n阶方阵，是的个特征根，则det()=3．设A是矩阵，则方程组对于任意的维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩不为3，则t=5．，则的全部根为：二、选择题（每小题4分，共20分）1．n阶行列式的值为（）。，B，C，D，2．对矩阵施行一次列变换相当于（）。左乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵3．若A为m×n矩阵，，。则（）。A，是维向量空间，B，是维向量空间C，是m-r维向量空间，D，是n-r维向量空间4．若n阶方阵A满足，=E，则以下命题哪一个成立（）。A，，B，C，，D，5．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（）。A，矩阵-AT为正交矩阵，B，矩阵-为正交矩阵C，矩阵A的行列式是实数，D，矩阵A的特征根是实数三、解下列各题（每小题6分，共30分）1．若A为3阶正交矩阵，求det(E-)2．计算行列式。3．设，求矩阵A-B。4、求向量组的的秩。向量在基下的坐标（4，2，-2），求在下的坐标。四、（12分）求方程组的通解（用基础解系与特解表示）。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系，是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数a，线性无关。《线性代数》试卷B参考答案一填空题（1）2-2-5*22005（2）λ1···λn（3）m=r(A)=r(A,B)<n（4）t=-8（5））1,2,-3二选择题(1)D(2)D(3)D(4)A(5)D三解答题(1)3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1，所以det(E-)=det（E-A）·det（E+A）=0（2）(3)由AB=A-B，有，（4）而故秩为3。（5）令ω=α+2β+γ=x（α+β）+y（β+γ）+z（γ+α），则有：解得：所求的ω的坐标为四解：原方程组同解下面的方程组：即：令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。齐次方程组基础解系为：。五．解：当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则。六，证明证：设，则，于是：,即：但，故=0。从而=0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。姓名学号学院姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…华南理工大学期末考试（A卷）《2007线性代数》试卷填空题（共20分）设A是矩阵，是维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：已知可逆矩阵P使得，则若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，则=设A为n阶方阵，是的个特征根，则=选择题（共20分）将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A：乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵（2）若A为m×n矩阵，是维非零列向量，。集合则A，是维向量空间，B，是n-r维向量空间C，是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足，，则以下命题哪一个成立A，，B，C，，D，（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵为正交矩阵，B，矩阵-为正交矩阵C，矩阵为正交矩阵，D，矩阵-为正交矩阵（5）4n阶行列式的值为：A，1，B，-1C，nD，-n解下列各题（共30分）1．求向量，在基下的坐标。2．设，求矩阵-A3．计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。5.设计算detA证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵六、（8分）取何值时，方程组有无数多个解？并求通解七、（4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。《2007年线性代数A》参考答案一填空题每个四分rankA<rank(A|B)或者rankArank(A|B)t=0二选择题(1)D(2)D(3)C(4)都对(5)A三解答题(1)设向量在基下的坐标为，则（4分）（6分）(2)（2分）（6分）(3)（6分）（4）（4分）（6分）（5）（6分）四证明：五、A=,(2分)||=（5分）P=（7分）+（8分）六，证明七姓名学号学院姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…华南理工大学期末考试（B卷）《2007线性代数》试卷填空题（共20分）设A是矩阵，是维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：已知可逆矩阵P使得，则若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩r不为3，则r=若A为2n+1阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，则=设A为n阶方阵，是的个特征根，则=选择题（共20分）将矩阵的第i列乘c相当于对A：左乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵（2）若A为m×n矩阵，。集合则A，是维向量空间，B，是n-r维向量空间C，是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足，，则以下命题哪一个成立A，，B，C，，D，都不对（4）若A是n阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵为初等矩阵，B，矩阵-为初等矩阵C，矩阵为初等矩阵，D，矩阵-为初等矩阵（5）4n+2阶行列式的值为：A，1，B，-1C，nD，-n解下列各题（共30分）1．求向量，在基下的坐标。2．设，求矩阵-A3．计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。5.设计算detA证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵六、（8分）取何值时，方程组无解？七、（4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。《2007年线性代数B》参考答案填空题每个四分rankA=rank(A|B)=n（2）（3）r=2（4）1（5）0二选择题(1)D(2)C(3)D(4)A(5)B三解答题(1)设向量在基下的坐标为，则（4分）（6分）(2)（2分）（6分）(3)（6分）（4）（4分）（6分）（5）（6分）四证明：五、A=,(2分)||=（5分）P=（7分）2（8分）六，证明七_____________________…诚信应考,_____________________…华南理工大学期末考试（A卷）《2007线性代数-1》试卷填空题（共20分）1．设行列式，则方程的所有解是：2．已知矩阵，则矩阵分别等于：3．设是n阶对称方阵的个特征值，是对应的特征向量，若，则向量的夹角是：4．若方程组有解，则的值等于：若矩阵是n阶实矩阵，且，这里为零矩阵，则矩阵的所有特征值为：二、选择题（共20分）若矩阵和都是n阶正定矩阵，若n是任意自然数，则A，，