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文档简介

§1.3逆矩阵

一、伴随矩阵二、逆矩阵一、伴随矩阵由Laplace定理知

设A

(aij)为n

阶方阵,Aij

为元素aij

的代数余子式,当ij

时,取b1

a1i,,bnani

,则i,j

列相同,于是

代数余子式的性质代数余子式的性质可写成两个矩阵等式

代数余子式的性质

伴随矩阵

称

A

为方阵A

的[转置]伴随矩阵.

设Aij

为n

阶方阵A

的(i,j)元的代数余子式,记代数余子式的性质可写成两个矩阵等式

n阶方阵A

的伴随阵

A

具有下列性质:

伴随矩阵的性质(1)(2)证明由(1)两边取行列式,得当|A|0时,由上式即得(2).注:

当|A|0时,记则

当|A|0时,|A

|0:从而A

O,与|A

|0矛盾.若不然,则(A)-1

存在,于是

方阵A可逆时,其逆矩阵唯一,记为

A-1.证明

逆矩阵

如果存在矩阵B,使AB=BA=E那么称方阵A为可逆的,并称B

为A

的逆矩阵.二、逆矩阵设C

也为方阵A的逆矩阵,则E

AC,注:

当|A|0时,记则于是

逆矩阵计算公式

非奇异矩阵A

可逆,且其逆矩阵为

如果|A|0,那么称方阵A为非奇异矩阵.

如果|A|=0,那么称方阵A为奇异矩阵.

可逆方阵A

为非奇异矩阵,且|A-1|=|A|-1.证明由AA-1

=E,得|A||A-1|=1.于是|A|0,方阵A

为非奇异矩阵,且注:

当|A|0时,记则解

例1

设矩阵求

A-1

.解

例2

设且AX

A2X,求

X.由AX

A2X,得(A

2E)X

A,

设A可逆,则矩阵方程AX=B

有唯一解X=A-1

B.

设A可逆,则矩阵方程XA=B

有唯一解X=BA-1

.

设A可逆,则矩阵方程AX=B

有唯一解X=A-1

B.

设A可逆,则矩阵方程XA=B

有唯一解X=BA-1

.注:当|A|

0时,A可逆,方程组Ax=

b

有唯一解因此记

则

——Cramer法则解例3求线性变换的逆变换.线性变换的系数矩阵所求逆变换为

设A可逆,则线性变换

y=

Ax

的逆变换为x=A-1

y.证明由AB=E,

得|A||B|=1,

定理1

设A,B为n

阶方阵,若AB=E,则A,B

可逆,且因此A,B可逆.于是|A|0,|B|0,例4

设A3

=O,证明

证明

因此等式E=AB

两边左乘A1

及右乘B1,得提示例5

设方阵

A满足关系式A2

-2A-4E=O,证明A+2E可逆,并求其逆.证明

因此A+2E可逆,且

定理1

设A,B为n

阶方阵,若AB=E,则A,B

可逆,且

逆矩阵的性质

设A,B为n

阶可逆矩阵,则有下列性质:

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