线面、面面关系的判定与性质

线面、面面关系的判定与性质一、线面关系的转换网络图（6）公理4（6）公理4线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直（1）（2）（3）（4）（5）（11）（12）（13）（14）（7）（9）（8）（10）1﹒线线平行：（1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒（4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行→线线平行）﹒（12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒2﹒线线垂直：（9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒3﹒线面平行：（2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（线线平行→线面平行）﹒（5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线面平行）﹒4﹒线面垂直：（7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线垂直→线面垂直）﹒（11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面﹒（14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面（面面垂直→则线面垂直）﹒5﹒面面平行：（4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面平行→面面平行）﹒（13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒6﹒面面垂直：（8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直（面面垂直→则线面垂直）﹒7.直线与平面所成的角PAB（1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角PAB这个角的范围为.（2）斜线与平面成角计算一般步骤：=1\*GB3①找过斜线上一点与平面垂直的直线；=2\*GB3②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；=3\*GB3③把这个角放在三角形中计算.注：斜线与平面所成的角为，其中.二、典型例题例1：三棱锥中，，，证明：.CBAPCBAPCDAPB变式1：三棱锥中，，满足，，D是边PC的中点，CDAPB证明：.（判定定理、定义、等腰三角形的高）CDAPB变式2：三棱锥中，，，，，D是边PC的中点，证明：.CDAPB（判定定理、定义、勾股定理）变式3：三棱锥中，，满足，D是边PC的中点，.证明：.（判定定理、定义、面面垂直性质定理）CCBAPD例2：【信宜市2023届高三10月统测】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱,,是的中点，作,交于点F.（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积；PABCPABCDEF三、巩固训练、能力提升1.【2023高考北京卷节选】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.求证：平面平面.2.【2023高考江苏卷节选】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.证明：平面平面.3.【2023年高考北京节选】如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:（1）底面；（2）平面平面.4.【肇庆市2023届高中毕业班第一次统一检测】如图，已知PA⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC=PA，E是PC的中点，F是PB的中点.（1）求证：EF//平面ABC；（2）求证：EF平面PAC；（3）求三棱锥B—PAC的体积.5.【广东2023届高三第一次六校联考】直角梯形中，，平面平面，为等边三角形，分别是的中点，.（1）证明：；（2）证明：平面；（3）若，求几何体的体积.6.【广州六中2023届9月高三第二次月考】如图，在三棱柱中，⊥底面，且为正三角形，，为的中点．（1）求证：直线∥平面；（2）求证：平面⊥平面；（3）求三棱锥的体积．7.【广州市荔湾区2023届高三11月调研测试】如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且.（1）求证：⊥；（2）求点到平面的距离．8.【韶关市2023届高三模拟底考试】如图，长方体的底面是正方形，，，线段上有两个点，.（1）证明：；（2）证明：；（3）若,是线段上的点，且，求三棱锥的体积.9.【2023届中山七校联考】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点O是对角线与的交点,是的中点,.（1）求证：平面；（2）平面平面；（3）当四棱锥的体积等于时,求的长.10.【2023高考浙江卷】如图，四棱锥中，平面平面,，，，.ADEBC（1）证明：ADEBC（2）求直线与平面所成的角的正切值.11.【深圳市2023届高三