流体流动数值模拟

流体流动现象普遍存在于自然界及多种工程领域中。所有这些流动过程都遵循质量守恒、动量守恒、能量守恒和组分守恒等根本物理定律；而且流动假设处于湍流状态，那么该流动系统还要遵守附加的湍流输运方程。本讲座将依据流体运动的特性阐述计算流体动力学的相关根底知识及任务；在流体运动所遵循的守恒定律及其数学描述的根底上，介绍数值求解这些根本方程的思想及其求解过程。第一节计算流体动力学概述计算流体动力学〔CFD〕技术用于流体机械内部流动分析及其性能预测，具有本钱低，效率高，方便、快捷用时少等优点。近年来随着计算流体力学和计算流体动力学及计算机技术的开展,CFD技术已成为解决各种流体运动和传热，以及场问题的强有力、有效的工具，广泛应用于水利、水电，航运，海洋，冶金，化工，建筑，环境，航空航天及流体机械与流体工程等科学领域。利用数值计算模拟的方法对流体机械的内部流动进行全三维整机流场模拟，进而进行性能预测的方法越来越广泛地被从事流体机械及产品性能取决于各种场特性的设计、科研等科技人员所使用；过去只有通过实验才能获得的某些结果或结论，现在完全可借助CFD模拟的手段来准确地获取。这不仅既可以节省实验资源,还可以显示从实验中不能得到的许多场特性的细节信息。一、什么是计算流体动力学计算流体动力学〔ComputationalFluidDynamics，简称CFD〕是通过计算机数值计算和图像显示，对包含流体流动和有热传导等相关物理现象的系统所做的分析。CFD的根本思想可以归结为：把原来在时间域及空间域上连续的物理场〔如速度场和压力场，以及热力场等〕，用一系列有限个离散点上变量值的集合来代替；并通过一定的原那么和规律建立起关于这些离散点上的场变量之间关系，从而组成这些场变量之间关系的代数方程组；然后求解这种代数方程组，来获得这些场变量的近似值[1-3]；这就是流动的数值计算。或者直观地说，通过数值计算中的各种离散方法，把描述连续流体运动的控制偏微分方程离散成代数方程组，由此建立该流动的数值模型；再根据问题的具体情况，设定边界条件和初始条件封闭方程组；然后通过计算机数值计算求解这种代数方程组，从而获得描述该流场场变量的某些运动参数的数值解。计算流体动力学是在经典流体力学、数值计算理论、计算方法，以及计算机科学与技术的根底上建立和开展起来的多学科、多领域交叉的流体力学中的一个新分支；或可以说是一门新学科。他将科学的理论知识与实际工程计算紧密地结合在了一起，是我们流体机械及流体工程学科和工程领域中目前科学研究与工程计算、分析或设计的高质、高效，短周期、低费用的强有力不可或缺的重要工具。所谓CFD，从实质上讲就是对流体运动状态的一种分析方法；可以被看作是对在流动根本方程〔质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程〕控制下的流动进行数值模拟描述的一种方法。通过这种数值模拟，我们可以获得复杂流场内各个位置上的根本物理量 〔如速度、压力、温度、浓度等〕的分布及其随时间的变化情况。据此可以描述出其流动的特征，如旋涡分布、空化特性及脱流区等；还可以计算出其它相关的物理量，如对于旋转流体机械的转矩、水力损失、效率和空蚀系数等。此外，结合CAD还可以进行结构上的优化和可靠性设计等。CFD方法与传统的理论分析方法、实验测量方法组成了研究流体运动问题的完整体系,三者之间的互补关系如图1所示。理论分析方法的优点在于所得结果具有普遍性和一定准确性，各种影响因素清晰可见，是指导实验研究和验证数值计算方法正确与否及其计算精确度的根底。 但是，它往往需要对计算对象进行抽象和简化，且只有对较简单的流动问题才可能得出理论上的解析解；对于复杂的特别是非线性的问题，很难求解。因此，对存在于自然界和实际工程中的流动问题，只有其中的极少数才能给出解析结果。实验测量方法所得到的实测结果一般真实可信，它是对理论分析和数值计算结果的验证依据。然而，实验往往受到试验条件〔如模型尺寸、形状，流场扰动和测量精度等〕的影响和限制，有时也很难得到很准确的结果。此外，实验还会遇到人力和物力的巨大消耗而受到经费投入及周期长等许多因素的制约。而CFD方法恰好克服了前面两种方法的弱点，它是在计算机上实现对某一流动系统或某一流动现象的一个特定的计算。这个特定的计算，就是用数值的方法所作的近似计算，即通过数值求解各种简化的或非简化的流体动力学根本方程， 以获得流动在各种条件下的状态参数和作用在形成流道的边壁或绕流物上的力或力矩等数据， 以及流场的分布与流动的状态等。这种计算就好似在计算机上做一次物理实验。例如，机翼的绕流，通过计算并将其结果在屏幕上显示，就可以看到流场分布的各种细节，如激波的运动及其强度，涡的生成与传播，流动的别离及其外表的压力分布、受力的大小及其随时间的变化等。数值模拟实质上就是在计算机上进行的数值试验，可以形象地再现流动的场景。在本质上讲，与做物理实体实验没有什么区别。与实验方法相比，其突出的优点是：1、CFD方法所需要的设备与条件只是计算机和相应的CFD软件，因而，所需花费与损耗小，试验与产品开发周期短；2、 在计算机上可以方便地任意改变流场中固体结构件的形状和尺寸以及流动条件， 即可马上进行计算，且流场不受试验装置与测试仪器仪表的干扰。即很容易实现各种条件下的流动计算，且保持了流场的原态；3、可定量地刻画、详细地描述出流动随时间的变化以及总体流场与局部细节，并能定量地给出各种物理量的物性参数值；同时，还可随意进行流场的重构和分析、诊断，等。二、流体动力学计算的根本内容和步骤所有流动或流场的计算与模拟工作，首先都应根据所要求解的物理问题及预期目标拟定出合理、周密的技术路线与求解方案，以保证顺利地实现意图，到达预期的目的。为此，在拟定流场数值模拟求解方案时，主要应考虑如何选定以下一些必须解决的问题：1、物理模型的流型：根据所要研究的问题，分析该流动是可压缩流还不可压缩流，是有粘流动还是无粘流动，是层流还是湍流，流动是稳态还是瞬态？由此确定该流动的流型；2、CFD方法的模型目标：即确定要建立什么样的CFD计算模型，并要从该模型中获得怎样的模拟结果？获取这些结果的使用目的，由此确定计算模型是按二维还是三维构造及需要什么样的计算精度；3、计算域确实定：根据确定的流型和计算模型，分析该问题的流动特征是否对称或存在回流与尾迹流或射流，即考虑对于该问题计算域是否需要外延，或取其一局部；4、网格的类型及其划分方式：即根据物理模型和计算域决定是采用结构网格还是非结构网格，以及其单元体的选择与划分方式确实定；网格划分的适宜与否，即网格划分的质量对流动计算的精度和稳定性有重大影响。网格的质量内容包括：节点的分布情况〔密集度和聚集度〕光滑型与正交性，等。而且有限体积法的突出优点是其计算效率高，因而，目前它在CFD领域中得到了广泛地应用，大多数CFD商用软件，包括FLUENT在内，都使用有限体积法编制的。5、计算方法与求解过程的选择与确定：6、湍流模型的选择与确定：两方程模型中有三种常用模型，即1〕、标准k模型；2〕、RNGk模型〔重整化群模型〕；和3〕、Realizablek模型7、离散方法与格式的选择与确定：离散包括两局部内容，即计算域空间的离散和控制方程与湍流模型在网格节点上的离散两个局部；离散的方法根据因变量在节点之间分布的假设及推导离散方程的方法不同而不同；有有限差分法〔 FDM〕、有限元法〔FEM〕、有限体积法〔FVM〕，等等。8、定解条件〔边界条件与初始条件〕确实定；9、求解器的选择。在考虑并确定上述的九个主要问题时，既要考虑计算资源的硬件条件实现的可能性，又应考虑计算结果精度与计算所需机时的经济性来综合决定采用CFD的方法对流体的运动进行数值模拟，通常包括以下的内容与步骤：1、建立反映工程或物理问题本质的数学模型所谓建立数学模型，具体地说就是要建立能完善、准确地反映问题各个物理量之间关系的微分方程及其相应的定解条件；流体运动的根本控制方程通常包括质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程。没有较准确、完善的数学模型，数值模拟就毫无意义；这是数值模拟的根本出发点与最根本的要求。2、 寻求并采用高精度、高效率的计算方法寻求高精度、高效率的计算方法是为获得满意的计算结果奠定根底。这里所说的计算方法，不仅包括选用针对性较强、精度高的控制微分方程的离散化方法〔如有限差分、有限元、有限体积等方法〕和求解的方法；还包括贴体坐标系的建立，边界条件的处理等。这是CFD模拟计算中的核心与关键的内容和步骤。3、 编制程序和进行计算这局部工作包括计算网格的划分、初始条件和边界条件、控制参数的设定以及具体的计算等。这是整个CFD模拟计算中最繁杂、最费时的工作内容和过程。由于Navier-Stokes方程就是一个十分复杂的非线性方程，数值求解的方法在理论上也不是绝对完善的，所以还需要通过实验加以验证。正是从这个意义上讲，数值模拟又叫作数值试验。应该指出，这局部工作不是轻而易举就可以完成的，需要耐心细致地反复修改和调整的过程。4、显示计算结果。计算结果一般是通过各种图形、图表或曲线等方式显示，这对检查和分析计算结果及其计算质量具有直接的作用和重要的参考价值。以上这些内容与步骤构成了CFD数值模拟的全过程；其中数学模型的建立属于根底理论研究性的课题。三、计算流体动力学的特点CFD的长处是适应性强、应用面广。首先，流动问题的控制方程一般是非线性的，且自变量多，计算域的几何形状和边界条件复杂，很难求得解析解；而用CFD方法那么有可能找出满足工程需要的数值解。其次，可以利用计算机进行各种数值试验，例如，选择不同流动参数进行物理方程中各项有效性和敏感性的试验，从而进行方案比拟。再者，它不受物理模型和实验模型的限制，省钱、省时，有较大的灵活性，能给出流动的详细而完整的资料和信息，并能很容易地模拟特殊尺寸、高温、有毒、易燃等真实条件和物理实验中只能接近而无法到达的理想条件。但CFD也存在着一定的缺陷或局限性。首先，数值解法是一种离散的、近似的计算方法，依赖于物理上的合理性、数学上的适用性；而且，适合于在计算机上进行离散与计算的数学模型有限；同时，又不能提供任何连续的解析表达式形式的最终计算结果，而只能是有限个离散点上的数值解，且有一定的计算误差；第二，它不像物理模型实验那样，一开始就能给出流动的各种现象和定性地描述，往往需要由原体观测或物理模型试验提供某些流动参数，并需要对建立的数学模型进行验证；第三，程序的编制及资料的收集、整理与正确地利用，在很大程度上要依赖于经验与技巧。此外，由于数值处理方法等原因，有可能导致计算结果的不真实〔例如产生数值粘性和频散等伪物理效应〕，以及由于CFD涉及巨大数量的迭代计算过程，而需要较高的计算机软硬件配置等。当然，在上述的这些缺陷或局限性中，有些可采用相应的方法加以克服或弥补。这在相关的文献中有相应的介绍。数值计算与理论分析、实验观测相互联系、相互促进；但不能完全替代，三者各有各的优势和适用场合。CFD方法有其自己的原理、方法和特点，在实际使用中要注意三者的有机结合，使其优势、长处互补。四、计算流体动力学的应用领域近些年来，CFD有了很大的开展，替代了经典流体力学中的一些近似计算方法和图解法。过去的一些典型教学实验，如ReynoIds实验，现在完全可以借助CFD手段在计算机上实现。计算流体动力学的应用领域极为广泛，所有涉及流体的流动、热交换、分子输运等现象的问题，几乎都可以通过计算流体动力学的方法进行分析和模拟。目前，CFD的方法不仅可作为一种分析、研究问题的工具，而且还可作为设计工具在热能与动力工程、水利水电工程、石油化工与流体输运工程、船舶工程、海洋工程、环境工程、食品工程、土木工程以及工业制造等领域中正发挥着巨大的作用。其主要的应用领域及所涉及的相关工程问题包括：锅炉中燃烧的计算；换热片的换热计算与形状的选取，以及换热器整体性能的分析与预测；水轮机、泵与风机等流体机械的内部流动问题及其内特性的研究；飞机和航天飞行器等的设计；船舶、鱼雷等水中航行器的外形设计；河、渠流中的水能计算；洪水涉及河口的潮流计算；河流中污染物的扩散；油、气以及石油化工物品等的管道输送；电子元器件的冷却；室温、室内湿度及其空气流通的计算与调节，以及其环境的分析；汽车尾气对街道环境的污染；食品中细菌的运移；风载荷对高层建筑物稳定性及其结构性能的影响；汽车的外型的设计及其对性能影响的分析；等等。对这些问题的分析与处理，过去主要借助于理论分析和反复大量的物理模型实验的验证；而现在大多采用CFD的方法加以分析和解决。CFD技术现已开展到了完全可以对粘性湍流及旋涡运动等复杂的流动与传热问题进行三维的分析与计算的程度。五、计算流体动力学的计算方法经过四十多年的开展，CFD出现了多种数值解法。这些方法之间的主要区别在于对控制方程的离散方式。根据离散的原理不同，CFD的计算方法大体上主要分为三种：有限差分法(FiniteDifferenceMethod，FDM)有限元法(FiniteElementMethod，FEM)有限体积法(FiniteVolumeMethod，FVM)有限差分法是应用得最早、最经典的CFD计算方法。它将求解域划分为差分网格，用有限的网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程的导数用差商来代替，推导出含有离散点(即网格的节点)上有限个未知数的差分方程组。求出差分方程组的解，就作为描述这个连续求解域内定解问题的偏微分方程的数值(近似)解。它是一种直接将微分问题变换为代数问题的数值近似解法。这种方法开展较早，比拟成熟，较多地用于求解双曲型和抛物型问题。在此根底上开展起来的方法有PIC(Particle-in-Cell)法、MAC(Marker-and-Cell)法，以及由美籍华人学者陈景仁提出的有限分析法(FiniteAnalyticMethod)等。有限元法是20世纪80年代开始应用的一种数值解法，它吸收了有限差分法的离散处理思路，又采用了变分计算中选择逼近函数对区域进行积分的方法。所以，采用有限元法，特别是在用其求解非定常流动问题时，每一步都要解大型代数方程组，计算工作量大，其求解速度较有限差分法和有限体积法慢，且占用计算机内存大。因此应用不是特别广泛。在有限元法的根底上，英国C.A.Brebbia等提出了边界元法和混合元法等方法。有限体积法首先是将计算区域划分为一系列的控制体积，其离散方程的建立，是将待求解的微分方程通过对每一个控制体的积分而得出离散方程的。用有限体积法导出的离散方程可以保证流动具有守恒特性，而且离散方程中的系数物理意义明确，其计算量也相对较小。但有限体积法的关键是在于其导出离散方程的过程，即在推导过程中需要先对界面上的被求函数本身及其导数的分布作出某种形式的假定。1980年，在其专著?NumericalHeatTransferandFluidFlow?中对有限体积法作了全面的阐述。此后，该方法得到了广泛应用，是目前CFD软件中应用得最为普遍的一种方法。当然，对这种方法的研究和扩展也在不断地进行着，如P.Chow提出了适用于任意多边形非结构网格的扩展有限体积法。目前大多数CFD商用软件都是采用有限体积法编制的。第二节流体机械内部流动数值计算概述何为流动的数值计算？所谓流动的数值计算，就是通过数值计算中的各种离散化的方法，把描述连续流体介质运动的控制方程〔数学模型〕离散成代数方程组，从而建立起各种数值计算的数学模型，再根据具体问题，给定初始条件和边界条件；然后通过计算机进行数值计算或数值试验，得到定量描述该流动的流场数值解。这就是流动的数值计算。或者直观地说，就是通过各种离散化的方法，把描述连续流体运动的偏微分控制方程离散成代数方程组，以此建立起该运动的数值模型，并通过计算机进行数值计算，从而获得描述流场的运动参数的定量数值解。对流体机械内部流动进行数值计算的目的和意义：了解和掌握所计算的工况下其内部流动的状况和流态，为进一步改良设计和改善与提高其性能提供依据。所谓CFD，从实质上讲就是对流体运动状态的一种分析方法；可以被看作是对在流动根本方程〔质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程〕控制下的流动进行数值模拟描述的一种方法。通过这种数值模拟，我们可以获得复杂流场内各个位置上的根本物理量〔如速度、压力、温度、浓度等〕的分布及其随时间的变化情况。据此可以描述出其流动的特征，如旋涡分布、空化特性及脱流区等；还可以计算出其它相关的物理量，如对于旋转流体机械的转矩、水力损失、效率和空蚀系数等。此外，结合CAD还可以进行结构上的优化和可靠性设计等。一、流体机械内部流动数值计算的根本出发点由于流动的复杂性和直接求解三维流动的困难性，流体机械内部流动数值计算的根本出发点是：1、将复杂和难于计算的三维流动降维所谓降维即是将三维的问题降为二维的来计算或将二维的问题降为一维的来计算。如对叶〔转〕轮内部流动的数值计算，就是将其内部复杂的三维流动化为 S1〔回转〕流面和S2〔子午〕流面内的两个二维流动来求解的；由于这两个二维流动共同描述的是同一个复杂的三维流动，是人为地将其分解为两个二维流动，所以这两个流面上的二维流动是相互关联的。如回转面S1的形状、位置和流层的厚度将由子午面S2上的流动计算来确定〔在子午面上常采用势流计算来确定S1流面的位置〕；而子午面上流动计算所需的速度W0、Wm和液流角B等值又需要在回转面的流动计算中来求得和提供〔在回转的 S1流面上一般采用湍流计算来确定出S2流面计算所需要的参数。〕。因此，计算中须将这两个二维流动相互迭代计算，不断相互修正、调整进行，才能到达收敛，得到其准三维解。如采用边界元法，可直接进行降维计算，这是它的最大优点。边界元法是将全计算域的计算化为了只在区域边界上的计算，这就使得计算的维数减少了一维。2、简化描述流动的根本控制方程；所谓简化流动的根本控制方程，即依据某一具体流动，从流体运动连续方程、欧拉〔Euler〕运动微分方程、纳维—斯托克司〔Navier-Stokes〕方程出发，推导出描述该流动的更直接、更简明和便于求解的实用控制方程。二、流体机械内部流场数值计算中常用的主要方法目前对湍流的瞬时运动控制方程〔N－S方程〕的求解，有直接求解的数值模拟方法以及非直接数值模拟法的雷诺平均法和大涡模拟法等。所谓直接解法。就是直接求解瞬时湍流控制方程。其优点是：无需对湍流运动作任何近似或简化，可以得到理论上的准确解或计算结果；但目前其只能求解一些简单流动；对于稍复杂的湍流流动〔存在两方面的困难〕就无能为力了。而非直接模拟，就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对流动做出某种程度的近似和简化处理后再进行数值计算。并且依据所采用的近似和简化方法的不同，非直接的数值模拟又分为大涡模拟法和统计平均法与雷诺〔ReynoIds〕平均法。雷诺〔ReynoIds〕平均法雷诺〔ReynoIds〕平均法的核心不是直接求解瞬时的Navier-Stokes方程，而是设法将其瞬态的脉动量通过某种表达式〔模型〕在时均化的Navier-Stokes方程中表现出来，从而求解时均化的Reynolds方程。这样，不仅可以防止DNS方法的计算困难和计算工作量大的问题；而且完全可以满足工程实际的精度要求，并可以取得良好的效果。在N－S方程的雷诺〔Reynolds〕平均解法中，脉动局部对平均运动的奉献〔影响〕是通过雷诺应力项来模化的；依据对雷诺应力模化方式的不同，模化又分为雷诺应力模式和涡粘模式两类。由于雷诺应力模式计算量很大，受到计算条件的约束和限制，应用范围较窄。因此，目前在湍流工程中得到广泛应用的是涡粘模式。大涡模拟法〔LES〕我们知道，湍流包含有一系列大大小小的涡团，涡的尺度范围相当宽广。为了模拟湍流流动，我们总是希望计算网格的尺度小到足以分辨最小涡的运动；然而，就目前的计算机能力来讲，能够采用的计算网格的最小尺度仍比最小涡的尺度大许多。由于流动系统中的质量、动量、能量和其它物理量的输运，主要是由与所求解问题密切相关的大尺度涡来实现的；而小尺度涡趋向于各向同性，其运动具有共性，又小尺度涡不像大尺度涡那样与所求解的特定问题密切相关，且几乎不受几何及边界条件的影响；又包括脉动在内的湍流瞬时运动也必须遵循动量守恒的规律，即流动的描述也服从 N—S方程；而N—S方程本身本来就是封闭的，就其本身求解而言，本来就不需要补充方程或再建立什么模型。由此产生一种想法，即是否可以在不引入任何湍流模型的情况下，把包括脉动运动在内的湍流瞬时运动通过某种滤波方法分解成大尺度涡的运动和小尺度涡运动两局部；然后，对大尺度涡的运动通过数值求解其运动微分方程的方法直接计算出来；对于小尺度涡的运动对大尺度涡运动的影响将以类似于雷诺ReynoIds平均法中的Reynolds应力的应力〔称为亚格子尺度应力〕项在大尺度涡的瞬时运动方程中表达出来，并通过建立近似模型来模拟和求解。这就是大涡模拟理论与方法的根本思想。大涡模拟是介于直接数值模拟〔DNS〕与Reynolds平均法〔RANS〕之间的一种湍流数值模拟的方法。但要实现大涡模拟，首先必须要完成两项重要的工作环节：一是要建立一种数学滤波函数，可从湍流瞬时运动方程中将尺度比滤波函数的尺度小的涡滤掉，从而分解出描述大涡流场的运动方程；而这时被滤掉的小涡对大涡运动的影响，那么通过在大涡流场中的瞬时运动方程中引入附加应力项来表达；二是要建立小涡影响的应力项数学模型〔这一数学模型称为亚格子尺度模型〔SubGrid-Scalymodel〕，简称SGS模型〕。大涡模拟法的优点在于：〔1〕 、方程本身是精确的，计算结果的误差只是由于采用的计算方法及数值计算本身所带来的误差；〔2〕 、数值模拟可以提供每一瞬间流场中的全部信息，而且特别有重要意义的是能提供很多在实验上目前还无法测量的量，这就使得可以用直接数值模拟所得到的计算结果来检验各种湍流模型的正确性和实用性，并为新的湍流模型开发提供根底数据；〔3〕 、在数值模拟中，流动条件可以得到精确的控制，可以对各种因素单独的或交互作用的影响进行系统的研究，这在实验中是难以做到的；〔4〕 、在某些情况下，，物理实验模拟非常昂贵和危险，而且有时由于实验条件的要求达不到，甚至是不可能实现对真实流动条件的完全相似，于是，直接大涡的数值模拟就成了提供预测的唯一手段；〔5〕〕计算结果对建立的小涡计算模型的可靠性不敏感，即小涡影响的计算结果对总体计算结果影响不大。大涡模拟法的缺点在于：计算工作量巨大，要求计算机硬件配置较高、计算速度快〔但要低于DNS方法的要求〕；而且目前只能进行低雷诺数和简单几何边界条件的湍流直接模拟。这是因为：湍流脉动运动中包含着大大小小不同尺度的涡运动，湍流统计理论已证明，

这种湍流运动中的最大涡尺度L可与平均运动特征长度相比拟，而其中最小尺度的涡运动那么1取决于粘性耗散速度，即为柯尔莫戈洛夫〔Kolmogorov〕定义的内尺度〔3「〕4。而且这大小尺度的比值随着雷诺数的增高而迅速增大，即L~R34o由此，为了模拟湍流流动，一方面要求计算域的尺度应到达足以包含最大尺度的涡；另一方面又要要求计算网格的尺度应小到足以分辨最小尺度的涡运动。 这样一来，计算域就得很大，而且在计算域的范围内网格结点数至少应为与 n~rL4同一量级；而且计算模拟的时间长度又要大于大涡的时间长度Lj,而计算的时间步长又应小于小涡的时间长度 .。故总的计算量正比于R3°因此，就目前世界上现有计算速度最快的计算机计算速度水平，用直接数值模拟的方法求解工程中的复杂湍流问题与要求的速度还差 3个数量级。总之，在一定意义上讲，大涡模拟是介于直接数值模拟与采用湍流模型模拟之间的一种折衷方法。上述所提到的计算方法的具体计算过程与计算实例，请参见有关书籍或文章。在非直接模拟的统计平均法中，由于对描述流动控制方程所采取的离散方法的不同，因而也就出现了许多不同的流动数值计算方法。其中在流体机械内部流场的数值计算中，常用的主要方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、有限分析法和有限体积法，等。有限差分法该方法是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点〔即离散点〕代替连续的求解域，然后将控制流动的微分方程中的所有微分项均用相应的差商来代替， 从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，即导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组；求解这个差分方程组，所得到的解就作为该流动问题的数值近似解，也就是得到了该流动在网格节点处流动变量的数值解。它是一种直接将微分问题转化为代数问题的近似数值解法。这种近似的数值解法关键在于针对所研究的流动问题选择适宜的差商来代替微商。优点：①这种方法出现与开展的较早、成熟；适用于求解非定常流动问题〔抛物型、双曲型问题〕。有限差分法只须构造偏导数的离散方法，这使得它比拟容易推广到高阶精度；对于多维问题也是如此。对于网格拓扑奇点，有限差分法更容易取得高的精度。缺点：①在曲线坐标系中，有限差分法要对几何量和物理量给出确定的组合关系才能进行差别离散，这样做的后果之一是有限差分法可能产生所谓几何诱导误差〔geometryinducederror〕。②不善于表现复杂的边界；用它来求解椭圆型问题时，不如有限元法方便。有限元法有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的假设干个单元，并于各单元分片构造插值函数，然后根据极值原理〔伽辽金Galerkin法〕，由流动问题的控制微分方程构造积分方程，对各单元积分得到离散了的单元有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各结点上待求的函数值，从而求得该流动问题的数值解。有限元法是将微分方程转化为积分方程来求解的，其实质是分段〔或分片、分块〕逼近，即将整个求解区域划分为有限个子区域，构造分区插值函数，以逼近真解。与有限差分法相比，其优点：适用于求解几何、物理条件比拟复杂的流动问题，且便于程序标准化，也适于求解椭圆型的流动问题。缺点：由于求解非定常流动问题时，每一时步都要解大型代数方程组，故其计算工作量大、占用计算机内存大。有限边界元法所谓有限边界元法，是先将流体运动控制微分方程化为边界积分方程，再用有限元的基本思想与方法、步骤〔在求解域的边界上划分有限单元〕来处理边界积分方程。与有限差分法和有限元法不同，它在域内满足微分方程，而在边界上近似满足边界条件。优点：它是将全域的计算化为了在区域边界上的计算，使计算域的维数减少了一个，使三维问题化为二维问题，二维问题化为一维问题，给计算带来一系列的简化和方便。由于边界元法的近似范围仅在区域的边界上，与有限元法相比，其精度较高。缺点；由于边界元法要采用解析函数的根本解，因而目前还只适用于线性问题以及根本解的问题；对于非线性问题、半无限域问题，以及区域的角点处理等，边界元法还不成熟。有限体积法有限体积法又称控制体积法，其理论依据是基于物理守恒原理。对于 N－S方程采用有线体积法离散，其根本思路是：首先根据高斯散度理论，将计算域划分为一系列不重叠且不随时间而变的网格，并使每个网格节点周围有一个控制体积；将待求解的微分方程对每一个控制体积进行积分，得出一组积分形式的离散方程。其中未知数是网格节点的因变量①的数值。为了求出控制体积的积分，必须先假定①值在网格节点之间的变化规律，即设定①值的分段分布剖面。优点：①这种方法对任意一组控制体积都满足积分守恒；当网格尺度有限时〔粗网格的情况下〕，它也可以比有限差分法更好地、且准确地满足质量、动量和能量的守恒；对拟一维或轴对称流动，守恒性更容易实现。②在复杂区域上容易实现。缺点：①对多维问题，高精度〔高于二阶〕有限体积法的构造和实施比拟困难。②与有限元法类似，计算工作量大。有限分析法有限分析法是一种改良了的有限元法。其根本思路是：离散单元上的解不再用插值函数来表达，而是用方程局部线性化后的解析解。它首先将待求问题的总体区域划分为许多小的子区域，在这些子区域中求局部解析解；然后从局部解析解中导出一个代数方程，使子区域上的内结点值与相邻的结点值联系起来；再把所有的局部解析解聚集在一起，就得到了所要求解问题的有限分析的数值解。优点：它比拟好地保持了原有问题的物理特性，能准确地模拟流动的对流效应，同时不存在数值扩散现象，计算稳定、收敛快，计算所需机时与差分法相当。缺点：对于不同的问题子区域的划分须依靠经验。在流体机械内部流动或流场的计算中主要采用的是有限差分法和有限体积法。两者的异同点在于：有限差分法是微分类的离散方法；有限体积法是积分类的离散方法；但二者是密切相关的。已经证明，在几何度量系数处理适当的条件下，在一般曲线坐标系中的守恒型流动方程的有限差分法等价于物理空间的有限体积法或通量和类方法。 也就是说，在对几何度量系数的处理适当的条件下，进行曲线坐标变换后的计算空间里的有限差分法， 同不进行变换的物理空间里的有限体积法或通量和类的方法是等价的。事实上，在矩形网格上，二者可以做到完全等价。Vinokur的研究证明：微分类的有限差分法和积分类的有限体积法由于两类方法的不同，导致了对几何项处理上的不同；但这只会对计算精度和效率产生影响，而不会对计算产生本质上的影响的。也就是说，有限差分法和有限体积法的不同主要是对网格的几何处理方法不同，而两者没有本质的区别。一般来说，有限差分法和有限体积法有如下不同之处：有限体积法中对几何量〔度量系数〕和物理量的计算式是独立的；而有限差分法是要对几何量〔度量系数〕和物理量必须有确实定组合才能进行差分运算。所以，在有限差分法中采用不同的差分格式，其几何量对计算结果的影响是不同的。用有限差分法计算得到的是网格节点上的物理量，而用有限体积法计算得到的是单元的平均值。有限体积法的特点是：当网格尺度有限时，它可以比有限差分法更好地保证对质量守恒、动量守恒和能量守恒定律的满足；对拟一维或轴对称流动，守恒性更容易实现。在复杂区域上容易实现。对多维问题，高精度〔高于二阶〕有限体积法的构造和实施比拟困难。有限差分法的特点是：有限差分法只须构造偏导数的离散方法，这使得它比拟容易推广到高阶精度；对于多维问题也是如此。对于网格拓扑奇点，有限差分法更容易取得高的精度。在曲线坐标系中，有限差分法要对几何量和物理量给出确定的组合关系才能进行差分离散，这样做的后果之一是有限差分法可能产生所谓几何诱导误差。U例如，考虑一流动是定常的无界均匀流场，那么？i，j，巴0。在由一般曲线坐标构成的网格〔求解域可以是有界的，也可以是无界的，计算边界条件是给定的均匀流动参数〕U上采用有限差分方法计算此流动，可能有 匕0；而采用有限体积法，那么恒有？i,j,t

Ui,jUi,j0;这就是几何诱导误差所引起的现象之一第三节转〔叶〕轮内流动的降维计算对于转〔叶〕轮内流动的降维在Si和S2流面上的数值计算，可分为粘性和非粘性的两种方法计算。一、非粘性计算在S1流面内的数值计算方法有：流线曲率法、有限差分法、奇点分布法、有限元法，以及有限差分和松弛法相结合的方采用流线曲率法计算时，由于在叶片上下游没有固定的边界，因而必须对叶片进出口前后缘区域内的流动作一些假设。这就影响了这种计算方法解的精度和可靠性，其计算精度在某种程度上取决于计算者对边界条件处理及前后缘处流动假定条件给定的经验； 另外，由于流线曲率法计算所用的坐标系在每次流线迭代时都要随流线的不同而改变， 因而使用中很不方便，故现在多采用准正交曲线坐标系。再者，由于流线是由对很多离散点进行曲线拟合而拟合出来的，因此很难保证拟合的曲线完全光滑，尤其是在流速变化较大处，流线曲率的计算精度将急剧下降，从而导致计算不稳定。但流线曲率法具有物理概念清晰，所需数学知识及程序较简单，计算所占计算机内存少等优点。在有限差分法中，一般采用Katsanis的在叶片前缘附近加密计算网格，用松弛法求解；该方法可适用于叶〔转〕轮形状复杂的内部流动计算。Senoo的奇点分布法是先将Si流面保角地影射成平面环列叶栅，然后用奇点分布法求解。由于这种方法中的奇点是分布在翼型的骨线上，所以这种方法原那么上只适用于薄翼；对于厚翼，那么在平均流动中用考虑厚度排挤的方法来进行修正。在S2流面上的数值计算方法有：流线曲率法、有限差分法、有限元法，以及流线曲率法和松弛法相结合的方法等。二、考虑粘性影响的粘性计算1、死水区的非粘性计算方法这种计算是将叶片背〔负压〕面出口处的边界层别离区定义为死水区，该局部的计算仍然用无粘性的计算方法进行，然后用修正叶片出口局部形状的方法来考虑粘性的影响。 这种计算方法的缺点是不能给出明确的边界层别离点的判别标准。

2、主流一边界层组合计算的方法这种计算方法是把流体机械内的液流分成四个流动区域，即主流区、顶部与底部壁面边界层区〔离心泵的前、后盖板，水轮机的上冠、下环〕、侧壁面〔叶片外表〕边界层区和叶片外表与盖板间的转角区。主流区采用非粘性计算，边界层区采用Moses的条形积分法进行旋转边界的三维计算。这种计算方法的主要优点是可以顾及到回转流道内的二次流对边界层开展的影响。3、粘性方程的直接解法这种计算方法目前只有Moore的混合长度模型局部抛物线方程的解法和 Fraser的用k—&模型的湍流计算法，以及Hah的用代数模型对N—S方程进行压力修正后得到椭圆型方程的直接求解方法。目前在工程上较成熟和实用的粘性计算方法是主流一边界层的组合算法〔详见?现代水泵设计方法?P204~256〕。总括起来说，在流体机械内部流动的准三维数值计算中，尤其是对旋转的转〔叶〕轮内部的流动计算，采用了回转的S1流面和平均的子午面S2流面的分解，使其相互迭代求得解的精度受到了一定影响；其计算精度不如采用前述粘性方程的三种直接计算方法。按描述流体运动的控制方程数学性质的不同,一种是双曲线方程：如一维对流方程， -t按描述流体运动的控制方程数学性质的不同,一种是双曲线方程：如一维对流方程， -t在流体力学中将其分为三种类型，分别为:u0，其中为常数;一种是抛物形方程：如一维对流扩散方程,2岁，其中一种是抛物形方程：如一维对流扩散方程,2岁，其中x为常数;再一种是椭圆形方程：如不可压有势流动的控制方程一拉普拉斯〔 Laplace〕方程,2 2~22 2~2 2x y2—0。z三、数值计算中必须注意的问题误差分析在数值计算中是一个既重要而又复杂的问题，因每步计算中都可能产生误差，而一个问题的解决往往要经过成千上万次运算，不可能〔也没必要〕对每一步都加以分析。这里只提出在数值计算中应该注意的几个问题，以防止某些误差危害现象的产生。1、要防止两相近数值的相减两相近数值的相减会使有效数字严重损失。例如， x*=4.312,y*=4.308都具有四位有效数字，但x*-y*=0.004，却就只有一位有效数字了。有效数字的数目严重损失，减少了 3位；这说明应尽量防止出现相近数值的相减。其方法是改变计算方法。如在下面的情况中，用

如果难于改变算式的形式，也可采用增加有效数位的方法。右端算式代替左端算式，有效数字就不会损失。当x0很大时,-x'x(x1)'arctg(x1)arctgxarCtgarctg(x1)arctgxarCtg厂姑)；当x很小时,1cosxex1 (11ex1 (11x(1x22x

x2!12

x6),当x,y很接近且都为正时,xlnxInyIny2、要防止除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法在计算过程中，如计算-,假设0y|Ix时，即用绝对值很小的数作除数，会使商的数量y级增加，从而舍入误差会增大，给计算结果带来严重的影响或失真；故应尽量防止。3、要防止大数“吃掉〞小数为了说明这一点，下面举个例子例1、计算二次方程x2(1091)x1090的根。解：显然方程的二个根为X1 109,X2 1O但如果我们用求根公式x1,2x1,2b-b24ac2a在能将规格化的数表到达小数后八位的计算机上进行运算，那么b类似地分析有b2b类似地分析有b2故 为X2X2c 109ax111091.TOC\o"1-5"\h\z9 9 10b109 1 0.1109 0.0000000001 10由于第二项最后两位数“01〞在机器上表示不出来，故在上机运算时〔用表示〕0.110100.0000000010100.110101094acb2小__4acb,；~2 9 9bPb4ac10 10何2a 2 'b b24ac1091090.2a 2显然根X2严重失真。产生这种错误的主要原因是在计算机上进行加减运算要对阶， b的第二项0.0000000001109在第八位，计算机中表示为机器 0,那么小数1被大数109“吃掉〞了，结果当然就不可靠。为防止大数“吃掉〞小数，对于该类问题可采取的措施是利用根与系数的关系cx「x2a来计算X2，这时有4、要尽量简化计算步骤以减少运算次数对一个计算问题，如能减少运算次数，不但能节省计算所用的时间，还能使计算中的100例如要计算和式100例如要计算和式n1n〔h的值，如果直接逐项求和，不但其运算次数多，而且误差积累严重。但假设把和式简化为100100n1眉环n1(1訂1而那么整个计算就变成了只要求一次倒数和一次减法了。又如计算多项式f(x)n n1f(x)n n1a°x a〔xan1xan的值。假设直接计算的值。假设直接计算aiXi再逐项相加，总共需做n(n1)n(n1)n(n1)2次乘法和n次加法。但假设将前n项提出x，那么有n1 n1 n2f(x) (a°x a〔xan1)x an.于是括号内是n-1次多项式，对它再施行同样的手续，又有f(x)[(a°xn2qxn3La.2)xanJxa..这样内层括号为一n-2次多项式，这样每做一步，最内层的多项式降低一次，最终可将多项式表示为如下嵌套形式f(x)((a°xai)xa2)x an1)xan.利用此式结构上的特点从里往外一层一层地计算。设boao,b1boxa1,b2b1xa2,L,bnbn1Xanf(X),得递推公式boao,-Jbiaixbi1,1in.Lbnf(x),按递推式求f(x)的值只需作n次乘法和n次加法，计算量节约了一半，且逻辑结构简单。多项式求值的这种算法称为秦九韶方法，它是我国宋代一位数学家秦九韶最先提出的。它的特点在于通过一次式的反复计算， 逐步得出高次多项式的值，这种化繁为简的处理方法在数值计算方法中是常见的。例2、用秦九韶方法求多项式3 2f(x)4x2x5x7在X。3的值。解：把f(x)的系数按降幕排成一列，按下表计算：

a0bosoaia0bosoaibaMabaManbnanX)boX)biXobnlf(x))-54bo414t237b118f(3)本数二左数+x0上一数第四节相对圆柱坐标系中流体参数及其运动的描述我们在进行旋转流体机械转〔叶〕轮内的三维流动数值计算时，为了方便和简化计算，

一般都选用相对圆柱坐标系，并且坐标轴固定在转〔叶〕轮上；其三个坐标轴分别为r、〔或〕、z；转〔叶〕轮转动的角速度 const。由于坐标系的改变，那么描述流体运动的参数、控制方程或表达式必然要改变；所以我们在采用旋转的相对坐标系进行转〔叶〕轮中流体运动的计算时，必须要知道描述流体在相对圆柱坐标系中的运动参数、控制方程或表达式。为此，分别简介于下。一、单位质量流体的能量1•单位质量流体的势能单位质量流体的势能以Yp表示之，它等于TOC\o"1-5"\h\zYpgZ- ……〔1〕求上式的微分，对于不可压缩流体有：dYpgdz1dp 〔2〕在流体力学中，符号 称为微分算于，它表示为ir—i—iz—r z一个量的微分d〔〕可以写成这个量的梯度 〔〕与dRirdridizdz的点乘积〔标量积〕，即d()(严d一dz)()(irdr id izd()(严z(ir匚i厂iz：)( )dR'()于是公式(6-2)就可写成dr-(Ypdr-(Ypgz-P)0因为dr可任意给定，与小括号中所表示的向量不垂直，得Ypgz—p0 (3)2、单位质量流体的能量——比能 丫丫2、单位质量流体的能量——比能 丫丫gz刁丫卩23、相比照能Yw我们把相对运动伯努利(Bernoulli)2/、2Y〞 gzE即吕下面推导相比照能Yw与比能Y之间的关系2222rW2r(r从上式可得w2 2r2 2222ur上式等号两边均加gzP，即得……(4)方程中的四项之和称之为相比照能：……(5)根据余弦定理，从叶轮的速度三角形可得到u)YwYur ……(6)二、旋转坐标系中与数值计算有关的流体运动表达式1、相对运动中的随流导数我们在推导式(6-3)的过程中曾得到d()dR-() ……(7)对于相对定常运动，我们可把上式写成dLAdR.()dtdt如果取dR为相对运动的流线方向，那么得到咛w() ……(8)dt2、方向导数公式(6-7)中的向量dR可以写成它的模dR与它的单位向量dR的乘积，故得dRdRd( )dR ()dtdR.() ……(9)dRdt3、相对圆柱坐标系中流体的运动方程如果流体是理想流体，相对运动是定常运动，而且忽略流体的质量力，那么运动方程为:dWr U 丄_PTOC\o"1-5"\h\zdt r rd(訂) 1_p ……(10)~d!dwz 1p"dT z上述这些在相对圆柱坐标系中描述流体运动的表达式，在我们进行三维流动计算中推导计算公式时都将要用到。第五节流动控制方程组的数学性质及分类流体力学中的流动控制方程都是拟线性偏微分方程， 其时间导数项是线性的，而空间导数项往往是非线性的；因此，在绝大多数情况下无法求得这些偏微分方程的精确解。为此，为求得流动或流场的近似解，只有采用各种计算方法，通过CFD勺手段求得满足一定精度的这些偏微分方程的数值解。流动的数值解法即是偏微分方程数值解法的一局部，因而，必须清楚所要求解的控制方程的数学性质，它是属于哪种类型的方程。不同类型的离散方程，其数值处理方法各异，这些相异点包括解的适定性、稳定性、收敛性、物理性质及差分格式的适用性等。那么，何为微分方程的适定性，差分方程(格式)的稳定性和收敛性，以及差分方程与其微分源方程的相容性呢？微分方程的适定性是指：该微分问题的解存在，并且唯一。差分方程的稳定性是指：在利用推进(递推)法数值求解差分方程的过程中，如果初始误差的增长有界，即这些误差在传播过程中逐渐减小或只控制在某一个有限的范围内， 那么称差分方程或差分格式是稳定的；否那么即使不稳定的。差分方程或差分格式的稳定性是适定的线性初值问题及与它相容的差分方程收敛的充分必要条件。差分方程(格式)的收敛性是指：当时间步长和网格间距t0，x0时，差分方程的解趋近源微分方程的解，那么称差分方程〔格式〕是收敛的。其定义为：设微分源方程的解为u〔x,t〕，其差分方程的离散近似解为uinj,k，假设当xi 0和t0时，使得Xjjk X，tnt；那么有lim。卜人u〔x,t〕ii0那么称该差分方程或差分格式具有收敛性。在实际计算中，当Xi和t足够小时，假设Uinj,ku〔x,t〕0〔Xigi tp〕那么认为该差分方程或差分格式即是收敛了。其中， 称为离散化误差；gi和p分别称作空间和时间坐标上的收敛率。差分方程与其微分源方程的相容性是指：当t与x不管以任何方式趋近于零时，方程解的截断误差总是趋向于零，即R： 0，那么称该差分方程或差分格式与微分源方程是无条件相容；假设当t与x在某种条件下趋近于零时，截断误差才趋向于零〔 R； 0〕，那么称差分方程或差分格式与微分源方程为条件相容；否那么即称为不相容。实质上，相容性是说明差分方程是否能真正替代源微分方程的可行性。 这里再顺便指出一点：差分方程的相容性，并不能替代其收敛性；即满足相容性，并不一定满足收敛性。也就是说，相容性只是收敛性的必要条件之一，而不是充分必要条件。流体运动控制方程的离散，目前差分格式的种类繁多，但都有一定的适用范围。不同数学性质的控制方程只能使用相应的差分格式。所以，在求解某一流动问题时，首先应弄清描述该流动控制方程的性质，然后根据其不同的属性分别选择相应〔适用〕的数值求解的计算方法。在流体力学中，一般将描述流体运动的偏微分方程分为椭圆型、抛物型和双曲型三种型式的方程。方程的型式不同，所描述的流场主要特征及其物理背景也不一样，求解的定解条件提法也不同；而在一些特殊的问题中，甚至还可以通过差分格式的特殊技巧来改变方程的数学性质。所以，所采用数值计算的处理方法也不同，千差万别。以一般二维根本形式的线性偏微分方程为例，如：axx+bxy+cyy+dx+ey+f=g〔x,y〕式中，a,b,c,d,e,f都不是及其偏导数的函数。对于求解域内的任一点〔X。，y〕，假设满足1、如果b2-4ac<0,那么偏微分方程为椭圆型方程，且过该点无实的特征线，例如 Laplace方程；2、如果b2-4ac=0，那么偏微分方程为抛物型方程，且过该点有一条实的特征线，例如边界层方程；3、如果b2-4ac>0,那么偏微分方程为双曲型方程，且过该点有两条实的特征线，例如波动方程。一般而言，在抛物型和双曲型控制方程所描述的流场中，某一点的影响范围〔区域〕是有界的，可以采用步进的方式求解。因此，对抛物型和双曲型方程的求解时，为了保持与影响区域特征的一致性，采用应风格是离散较为适宜；而由于椭圆型描述的流场中，某一点的影响区域是普及全场的范围，因而必须对全厂进行计算，所以，对偏微分方程的差分采用中心差分的格式较为适宜。这三种类型方程的比拟见下表:偏微分方程的分类比拟类型物理意义应用实例求解特征椭圆型椭圆型方程相当于平衡问题或稳态问题，影响区域是全场，与时间无关；且是空间内的闭区域，故又称为边值问题。稳态导热问题，稳态扩散问题所有点联立求解，如可用直接法或迭代法抛物型抛物型方程是时间步进性冋题或相当于时间的步进性问题，又称为初值问题。影响区域以特征线为分界线，与主流方向垂直。具体说来就是，解的分布与瞬时以前的情况和边界条件相关〔时间步进〕，下游的分布仅与上游的变化相关〔主流步进〕。其示意图如下。一维非稳态导热问题〔时间步进〕，二维稳态边界层型的流动和换热问题〔扩散忽略，主流方向步进〕从的初值开始，逐步推进，依次获得适合定边界的解。求解代数方程的量可为一维的，以节约计算机存储量?(Xo,y(T^^ t,x步进前一时刻tt+△t双曲型双曲型方程也是步进问题，但依赖区域仅在两条特征区域之间。其示意图如下。〔xo,yo〕惨t,x无粘性流体的非稳态问题，无粘性流体的稳态超声速流动在特征依赖区内步进求解，如常用的时间推进法三种类型微分方程的根本差异如下：三种类型微分方程解的适定性要求对定解条件有不同的提法:以椭圆方程为例，其一般形式是2ux222ux22u2f(x,y)[(x,y)y€D](1)提第一类边值问题，即u(x,y)=g(x,y) (x,yD)式中，D是边界为D的有界区域。这样的问题是适定的，即解存在且唯一；并且解稳定，即解连续依赖于定解条件或其他附属数据。但如果对式( 1)提柯西问题，即纯初值问题，通常是不适定的。阿达玛(Hadamard指出，此时只要初始条件稍有变化，解就会出现大的变动，即不适定。在数值求解过程中，定解条件表达中误差的出现是不可防止的，假设较小的误差引起解的很大变动，将会使解失去意义。另外，对双曲型方程如果只提边值问题，也是不适定的。总之，三种类型不同的方程，其定解条件有相应的正确提法，进而对数值解的定解条件也有相应的规那么。假设违背这些规那么，就得不到正确的解。三类方程解的光滑性不同，对定解条件的光滑性要求也不一样椭圆型和抛物型方程的解是充分光滑的，因此对定解条件的光滑性要求不高。而双曲型方程允许有所谓弱解存在(如流场中的激波)，即解的一阶导数可以不连续，所以对定解条件的光滑性要求甚高。这也正是采用有限元法解双曲型方程困难较多的原因之一。三类方程的影响区域和依赖区域不一样在双曲型和抛物型方程控制的流场中，某一点的影响区域是有界的，可以采用步进求解。如对双曲型方程求解时，为了与影响区域的特征一致，采用上风差分格式比拟适宜。而椭圆型方程的影响范围普及全场，必须全场计算，所选用的差分方法也要相应采用中心差分格式。定理：对双曲型方程建立的差分格式，其收敛的必要条件是差分格式的依赖域包含相应微分方程的依赖域。这就是著名的双曲型方程的CFL条件(Courant-Friedrichs-Lewy条件)。偏微分方程的数学分类方法1).一阶拟线性偏微分方程组的数学分类方法对于一阶拟线性偏微分方程组的向量形式tXUi式中U=,,A为n阶矩阵，假设A的特征值为i(i=1,2,L,n)(即为丨A-I|=0的根)，Un那么：当n个特征值全部为复数时，称方程在(t,Xi)平面上为纯椭圆型。当n个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在 (t，x)平面上为纯双曲型；而当n个特征值全部为实数，但有局部为相等的实数时，称方程在 (t,Xi)平面上为双曲型。当n个特征值全部为零时，称方程在(t,Xi)平面上为纯抛物型。当n个特征值局部为复数、局部为实数时，称方程在 (t,Xi)平面上为双曲-椭圆型。对于二阶拟线性方程组，可以通过降阶法进行类似的分析。2).流体力学控制方程数学分类举例二维定常理想流体流动的Euler方程二维定常理想流体流动的Euler方程是Uv(uX上)y0Xyuu1PuvXyXuvvv-l_pXyyupvPc2(u一v)0(其中c2卫)XyXy写成向量形式为A-UB-U0，或与为-c-U0，其中XyXyu00v00U0u01/0v00U ，A，Bv00u000v1/P2cuP0u2cv0Pvvu0CA1B00为求矩阵C的特征值,vu22ucvu22uc2u2cuv2c22ucu22c0vu2vcu22uc2u2cvu(u2c2)v2 2?(uc)丄uuv-2 2uc4)[uv(uc)]c(uv)c0uv1,2v1,2—uuv/222C\uvc3,422uc如果:①u2v2c2 0,那么Ma>1时方程有四个实根，且方程是双曲型;②u2v2c20，那么Ma<1时方程有两个实根、两个复根，且方程是双曲-椭圆型二维非定常理想流体的Euler方程二维非定常理想流体流动的Euler方程是UAUBU0txyUCUD— 0(其中DA1,CA1B)xyt假设求C的特征值，结论与定常情况相同。假设求D的特征值，那么有1211(丄N「 )(— ) 0uucuc解方程得1111,2 —，3 ，4uucuc因为这四个解均为实根，即方程在yt平面为双曲型，所以Euler方程可以在时间坐标

方向推进；而在定常冋题中能否推进计算，必须根据流动是否为超声速〔即Ma与1的关系〕来定。〔3〕〔3〕二维定常不可压缩Navier-Stokes方程N-S方程表示为v——y1pv——y1px2u~~2x24)y采用降阶法，令那么N-S方程变为0,采用降阶法，令那么N-S方程变为0,2-(vx24)y2u2u

~)

yuf2u2u

~)

yufvg1py2v2)uhyvf与分析一阶拟线性偏微分方程组的方法类似,分析后的结论为：定常不可压缩与分析一阶拟线性偏微分方程组的方法类似,分析后的结论为：定常不可压缩N-S方程为椭圆型。顺便指出，常用的抛物化N-S方程的根本概念是：利用边界层流动的概念，设x方向为主流方向，即考虑有：22— —，把流动方向的二阶偏导数略去〔注意与边界层方程不同x y的一阶偏导数都将保存！〕，那么定常N-S方程此时变为抛物型方程。模型方程1〕、模型方程的意义模型方程必须能够反映物引入模型方程的意义是：简化对差分格式性质的讨论及考核,理问题的最根本特征，且方便于进行理论分析。模型方程必须能够反映物例如对于方程2Vx其模型方程可以提炼为这就是一维Burgers〔博格斯〕方程。2〕.几个典型的模型方程F面给出几个典型的模型方程。一维波传播方程维热传递方程一维对流扩散方程Laplace方程Burgers方程uux维热传递方程一维对流扩散方程Laplace方程Burgers方程uuxtc2uut2xucutx22uu22xyuuutx002ux2u2

x无粘Burgers方程tx其中前四个方程为线性方程，后两个方程为非线性方程，这些方程均可以求出一定形式的解析解为什么流动的数值模拟结果总是和实测结果不能完全吻合总是存在着某些偏差?因为在构造和求解差分方程的过程中，本身就存在着多种误差〔离散误差〕 ，如方程相容性截断误差，数值精确解与计算机计算精度之间的误差，初始条件、边界条件误差等。这些误差的综合结果，偏离了源微分方程的精确解；再加上测试装置及其仪表的精度等，因而使得模拟结果与实测结果总是存在某些偏离而不是完全吻合。第六节常用的CFD商用软件简介研究流体运动问题的学科一流体力学现在已形成了三个分支， 即实验流体力学、理论流体力学和计算流体动力学〔CFD〕。随着计算技术、计算机技术的迅猛开展和计算方法的进步，目前CFD方法已开展到在相当程度上可以替代实验研究的地步。它不仅可模拟流体机械和流体工程中的复杂三维定常、非定常的粘性流动和非粘性流动，评估流体机械和流体工程的流场特性；而且还可以用于流体机械及其零部件的优化设计。 其所涉及的主要领域有能源动力、航空航天、冶金、化工、水利工程、建筑，以及环境保护等。具体地说为：各种高效节能的压缩机、泵、透平、内燃机、燃气轮机、航空发动机、增压器、管道、阀门等内部流动的数值模拟与优化设计；坑道、矿井或室内〔空调〕通风系统等的数值模拟与优化设计；以及飞行器、桥梁、建筑群等的流动模拟及其气动设计。由于 CFD方法可快速、准确、经济地模拟流体的复杂运动，使得CFD方法及其软件在现代工业和工程中的应用广泛，越来越普遍。为了完成CFD计算，过去多是用户自己编写计算程序，但由于CFD的复杂性及计算机软、硬件条件的差异与多样性，使得用户各自的应用程序往往缺乏通用性；而 CFD本身又有其鲜明的系统性和规律性。因此，比拟适合于被制成通用的商用软件。自 1981年以来，出现了如PHOENICS、CFX、STAR-CD、FINE、FIDIP、FLUENT等多种商用CFD软件。这些软件的显著特点是：〔1〕、功能比拟全面、适用性强，几乎可以求解工程中各种复杂的流动、传热以及化学反响等问题;

、具有比拟易用的前、后处理系统和与其他CAD及CFD软件的接口能力，便于用户快速完成造型、网格划分等工作。同时，还可让用户扩展自己的开发模块；、具有比拟完备的容错机制和操作界面，稳定性高；(4)、可在多种计算机、多种操作系统，包括并行环境下运行。随着计算机技术的快速开展，这些商用软件在工程界正在发挥着越来越大的作用。一、PHOENICSPHOENICS是世界上第一套计算流体动力学与传热学的商用软件，它是 ParabolicHyperbolicOrEllipticNumericalIntegrationCodeSeries的缩写(抛物型、双曲型或椭圆型数值积分法序列)，由CFD的著名学者D.B.Spalding(司派尔丁)和S.V.Patankar(帕坦卡)等提出的，第一个正式版本于1981年开发完成。目前，PHOENICS主要由ConcentrationHeatandMomentumLimited(CHAM)公司开发。PHOENICS软件除了拥有通用CFD软件应拥有的功能外，它还有自己的独具功能：(1)、开放性PHOENICS最大限度地向用户开放了程序，用户可以根据需要添加用户程序、用户模型。PLANT及INFORM功能的引入使用户不再需要编写FORTRAN源程序，GROUND程序功能使用户修改添加模型更加任意、方便；(3)、运动物体功能局限性;(4)、多种模型选择模型等;(5)、双重算法选择6(3)、运动物体功能局限性;(4)、多种模型选择模型等;(5)、双重算法选择6)、多模块选择利用MOVOBJ，可以定义物体运动，克服了使用相对运动方法的提供了多种湍流模型、多相流模型、多流体模型、燃烧模型、辐射既提供了欧拉算法，也提供了基于粒子运动轨迹的拉格朗日算法;PHOENICS提供了假设干专用模块，用于特定领域的分析计算。如COFFUS用于煤粉锅炉炉膛燃烧模拟，FLAIR用于小区规划设计及高大空间建筑设计模拟，HOTBOX用于电子元器件散热模拟等。PHOENICS的Windows版本使用Digital/CompaqFortran编译器编译，用户的二次开发接口也通过该语言实现。此外，它还有Linux/Unix版本。其并行版本借助于MPI或PVM可在PC机群环境下及CompaqES40HPK460、SiliconGraphicsR1OOOO(Origin)、SunE450等并行机上运行。在://和://phoenics网站上可以获得关于PHOENICS的详细信息及算例。、CFX(ComputationalFluidDynamiX)CFX是第一个通过IS09001质量认证的商业CFD软件，由英国AEATechnology公司开发。2003年，CFX被ANSYS公司收购。目前，CFX在航空航天、旋转机械、能源、石油化工、机械制造、汽车、生物技术、水处理、火灾平安、冶金、环保等领域，有6000多个全球用户。和大多数CFD软件不同的是，CFX除了可以使用有限体积法之外，还采用了基于有限元的有限体积法。基于有限元的有限体积法保证了在有限体积法的守恒特性根底上，吸收了有限元法数值计算的精确性。在CFX中，基于有限元的有限体积法，对六面体网格单元采用24点插值，而单纯的有限体积法仅采用6点插值；对四面体网格单元采用60点插值，而单纯的有限体积法仅采用4点插值。在湍流模型的应用上，除了常用的湍流模型外，CFX最先使用了大涡模拟(LES)和别离涡模拟(DES)等高级湍流模型。CFX是第一个开展和使用全隐式多网格耦合求解技术的商业化软件，这种求解技术避免了传统算法需要“假设压力项—求解—修正压力项〞的反复迭代过程，而是同时求解动量方程和连续方程，加上其多网格技术，CFX的计算速度和稳定性较传统方法提高了许多。此外，CFX的求解器在并行环境下获得了极好的可扩展性。CFX可运行于Unix、Linux、Windows平台。CFX可计算的物理问题包括可压与不可压流动、耦合传热、热辐射、多相流、粒子输送过程、化学反响和燃烧等问题。还拥有诸如空蚀、凝固、沸腾、多孔介质、相间传质、非牛顿流、喷雾枯燥、动静干预、真实气体等大批复杂现象的实用模型。在其湍流模型中，纳入了k-模型、低Reynolds数k-模型、低Reynolds数Wilcox模型、代数Reynolds应力模型、微分Reynolds应力模型、微分Reynolds通量模型、SST模型和大涡模型。CFX为用户提供了表达式语言(CEL)及用户子程序等不同层次的用户接口程序，允许用户参加自己的特殊物理模型。CFX的前处理模块是ICEMCFD，所提供的网格生成工具包括外表网格、六面体网格、四面体网格、棱柱体网格(边界层网格)、四面体与六面体混合网格、自动六面体网格、全局自动笛卡尔网格生成器等。它在生成网格时，可实现边界层网格自动加密、流场变化剧烈区域网格局部加密、别离流模拟等。ICEMCFD除了提供自己的实体建模工具之外，它的网格生成工具也可集成在CAD环境中。用户可在自己的CAD系统中进行ICEMCFD的网格划分设置，如在CAD中选择面、线并分配网格大小属性等等。这些数据可储存在CAD的原始数据库中，用户在对几何模型进行修改时也不会丧失相关的ICEMCFD设定信息。另外，CAD软件中的参数化几何造型工具可与ICEMCFD中的网格生成及网格优化等模块直接联接，大大缩短了几何模型变化之后的网格再生成时间。其接口适用于 SolidWorks、CATIA、Pro/ENGINEER、Ideas、Unigraphics等CAD系统。1995年，CFX收购了旋转机械领域著名的加拿大ASC公司，推出了专业的旋转机械设计与分析模块一一CFX-Tascflow。CFX-Tascflow—直占据着旋转机械CFD市场的大量份额，是典型的气动/水动力学分析和设计工具。此外，还有两个辅助分析工具： BladeGen和TurboGrid。BladeGen是交互式涡轮机械叶片设计工具，用户通过修改元件库参数或完全依靠BladeGen中的工具设计各种旋转和静止叶片元件及新型叶片，对各种轴向流和径向流翼型，使CAD设计在数分钟内即可完成。TurboGrid是叶栅通道网格生成工具。它采用了创新性的网格模板技术，结合参数化能力，工程师可以快捷地为绝大多数叶片类型生成高质量的叶栅通道网格。用户所需提供的只是叶片数目、叶片及轮毂和外罩的外形数据文件。在://ansys和://ansys网站上可以获得关于CFX及ICEMCFD的详细信息及算例。三、STAR-CDSTAR-CD是由英国帝国学院提出的通用流体分析软件，由1987年在英国成立的CD-adapco集团公司开发。STAR-CD这一名称的前半段来自于SimulationofTurbulentflowinArbitraryRegin。该软件基于有限体积法，适用于不可压流和可压流 〔包括跨音速流和超音速流〕的计算、热力学的计算及非牛顿流的计算。它具有前处理器、求解器、后处理器三大模块，以良好的可视化用户界面把建模、求解及后处理与全部的物理模型和算法结合在一个软件包中。STAR-CD的前处理器〔Prostar〕具有较强的CAD建模功能，而且它与当前流行的CAD/CAE软件〔SAMM、ICEM、PATRAN、IDEAS、ANSYS、GAMBIT等〕有良好的接口，可有效地进行数据交换。具有多种网格划分技术〔如Extrusion方法、Multi-block方法Dataimport方法等〕和网格局部加密技术，具有对网格质量优劣的自我判断功能。 Multi-block方法和任意交界面技术相结合，不仅能够大大简化网格生成，还使不同局部的网格可以进行独立调整而不影响其他局部，可以求解任意复杂的几何形体，极大地增强了CFD作为设计工具的实用性和时效性。STAR-CD在适应复杂计算区域的能力方面具有一定优势。它