线性代数讲义

二、矩阵的相抵与秩1.矩阵相抵的定义若矩阵A可经有限次初等变换成为B，则称矩阵B与矩阵A相抵或等价，记为A〜B.2•性质 (1)矩阵的相抵是“等价关系”，即满足(a)自反性：A〜A;(b)对称性：若A〜B，贝UB〜A;(c)传递性：若A〜B且B〜C,则A〜C;A〜B 初等阵Pi,…••,P,Q1,...,Qt使得B Ps^AQiQt;Ir0 Ir0设A^n，则|rZ，使得A〜 (对m,n归纳即可)，称 为Am*n00 00的相抵或等价标准形.矩阵秩的定义(1)设Am*n，若A中存在某r阶子式Dr0，而A的所有r+1子式(如果存在)全为0,则称Dr为A的一个最高阶非零子式，且称 r为矩阵A的秩，记为rankA、秩(A)或R(A),并且规定rank(0)=0.(2)若rankA=min{m,n},则称A为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.注：若rankA=r，则对i(1ir)，必存在i阶子式Di0，对j(r)，所有j阶子式(如果存在)全为0(用行列式的按行、列展开定理易证).性质 (1)rank(AT)=rankA(由定义即可).(2)定理4若A〜B,则rankA=rankB，即秩为相抵(或初等变换)不变量.证a.若A经一次初等行变换成为 B，贝UrankArankB：设rankA=r，且A的某个r阶子式Dr0.若A经初等变换(ri,rj)或k匚(心0)成为B时，则在B中总能找到与Dr相应的子式Cr，且Cr=Dr或Cr=kDr,从而Cr 0，于是rankBr，即rankBrankA.若A经变换rilrj成为B时，分两种情况讨论：Dr中不含A的第i行或Dr中同时含A的第i,j行，此时B中与A中的Dr相应的子式CrDr 0,故rankArankB；1Dr中含有第i行，但不含A的第j行，则Dr在B中相应的子式Cr DrlDr,其中Dr1是A中某个n阶子式且不含A的第i行.若Dr1 0，即A中有不含第i行的r阶11子式Dr 0,由情形(a)得rankA rankB,若Dr=0,则CrDr0,也有rankBrrankA；由a知经一次初等变行换成为 B,则rank(A) rank(B),而B也可经一次初等变行

换成为A，从而rank(B) rank(A)；因此rank(A)=rank(B).由矩阵经一次初等行变换后其秩不变，即可知经有限次初等变换后其秩不变.对列变换类似可证，或由性质( 1),rank(A)=rank(AT),rank(B)=rank(BT)，若A经初等列变换成为B,则At经相应的初等行变换成 Bt，由c可知rank(AT)=rank(BT),因此2103203125A=0004300000|A|0,故rankA=2.A的所有4阶子式全为零，而以三个非12A的所有4阶子式全为零，而以三个非123A235,(2)4712210,而D323例2求rank(A):(1)解(1)易知A中D2(2)A为行阶梯形矩阵，只有三个非零行，从而2133阶子式D303224 0，故rank(A)=3004零行的第一个非零元为对角元的32050164143例3A2361(「1」4),「2「40431120153r32r1,r43r1012971116414016128121641416414r3 3r204311043113 2r3rank(A)3,L4r200048000480004800000325325611且D3326r2r160112160,为A的一个最高阶非零子25205205式.⑶rankA=rA」°0°存在初等阵R,RQ,…，Qt使得FSRAQ-i...QtIr°°°(4)A为n阶可逆方阵rankA=nA~In A可表示成初等阵之积，即AR1R2...Rs（Pi为初等阵，i=1,2,….,s）A可仅用于初等行（或列）变换化为单位阵;(5)nBmnrankArankB存在可逆矩阵P,Q使得B=PAQ.5•逆矩阵的初等变换求法（1）设A为可逆方阵,RP2...Ps(Pi为初等阵),=>A1=Ps1P2P111=>FS111P2RP21 1八P-! APs111P2P1I(IA1)11P2RAPs1IPs111P2R11P2PIA1即对（A1)(或）作初等行（或列）变换,使得子块A成为单位阵,同时子块I即成为(AI)行变(IA1)A列变A112312210343001 3r100心1$r210211025210011100r2(2)010「3(1)001010r12r3门0302D5b110013232352A11110 13 20 3 6 511110 3 23/2 35/2\o"CurrentDocument"1 1 1(2)设101A210，则A3251100100010r^-2r1015001r33r1021011001「32r2012210r1 r32002721「2 「3511001r32小22010511A171001122(2)上述求1A的方法还可以用来直接求(AB)行变(IA1B)5 ,11001220105 110027 21511212511711212A1B，CA11(即AZB或YAC的解)A I小 列变 cC CA例5 (1)设A2 5,B134 62i,则(A B)13211321r9(1)10223「22「125460108「13「20108223AB08⑵设111100210212111113A111C2C1122A210,B432,则B113C3G104111125432416125116100100100010C2C3010C2C3 010C12C2322C3(2)322C3(2)001C32C2104C13C3'104C13C3' 542C2(1)2142144523183189745 4 21BA 4 5 29 7 4(3)A,B分别为m,n阶可逆阵，则AXB=C的解X=A-1CB-1可用初等阵变换求得:(AC)行变 1 B I(IA1C) , 1 列变 11.A1C CA1B1(4)设A£*n,若S,T分别是m,n阶可逆矩阵，贝Vrank(A)=rank(SA)=rank(AT)=rank(SAT).例6 |AB||A||B|的初等变换证法。证(a)若B为初等矩阵，则|A||A||B|(对三类初等矩阵分别验证即可)；若|B|0即rankBnrank(AB)rank(B)n|AB|0|A||B|；若rank(B)=n，则B=R...Ps(R为初等矩阵,i=1,2,…,s),由(a)得|B||R|…|R||AB||AR..RI|A||Pi|...|Ps||A||B|三、线性方程组解的判定 利用系数矩阵A和增广矩阵A(Ab)的秩,可方便的讨论线性方程组Ax=b的解，其结论是：定理5n元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)<n.证()反证：假设R(A)=n(m)，则A有n阶子式Dn0，由Cramer法则,Dn对应的n阶方程只有零解，这与整个方程组 AX=0有非零解矛盾.()设R(A)=r<n,则A的行阶梯形矩阵含有r个非零行，从而有n-r个自由未知量，任取一个自由未知量为 1,其余自由未知量为0，代入即得AX=0的一个非零解.定理6n元非齐次方程组AX=b有解R(