35群的自同构群

§8群的自同构群给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定群G的任何一个正规子群N，就可以产生一个商群GH，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群的方法。自同构群的定义:！定理1设M是一个有代数运算的集合(不必是群)，则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M的自同构群。证明设6匚是M的任意两个自同构，贝"Na,beM，有bT(ab)=b[T(ab)]=b[t(a)t(b)]=b(t(a))b(t(b))=bT(a)bT(b)，即g也是M的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换的乘法封闭。又因为VxeM有bb-1(x)=b-1b(x)=x，故b—1(ab)=。-i[bb-1(a)-bb-i(b)]=a-i[Q(b-1(a)b-1(b))]=a-i(a)b-1(b)即b-1也是M的一个自同构。群的定义的第3条成立。另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，群的定义的第1、2条也成立。所以，M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。注意：前面有M的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为S(M),称为M的对称群。定理1表明M的自同构群是S(M)的一个子群。推论1群G(在定理1中取M=G)的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G的自同构群，记作AutG。由上面，如果|G1=n，则AutG<Son例1求Klein四元群K4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23}={e,a,b,c}的自同构群。解桶eAutK4o由于a是自同构，必有。(e)=e(幺元变成幺元)。又由于a是双射，因此a=feabc)，其中*ea(a)a(b)a(c)/a(a),a(b),a(c)是a,b,c的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据k的运算特点，可以验证这些全排列都是K的自同构。例如，设a(e)=e,a(a)=b,a(b)=a,a(c)=c则可以验证它是K的自同构：a(ab)=a(c)=c=ba=a(a)a(b),a(ac)=a(b)=a=bc=a(a)a(c)，•…・由于a,b,c的全排列共有6个，与S同构，因此K的全体自同构也有6个，AutK4三S3o循环群的自同构群定理2(1)无限循环群的自同构群是一个2阶循环群;(2)n阶循环群的自同构群是一个中(n)阶的群，其而(n)是欧拉函数(即小于n且与n互素的正整数的个数)。证明由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如，i设g=<a〉是由「生成的循环群，则当k是小于n且与n互素的正整数时，ak也是G的生成元，即G=<ak〉。此时，令°k:G—G，ak(a)=ak，则有ak(ai)=aik，且aiAaj时，bk(ai)Aak(aj)，a(ai-aj)=a(ai+j)=a(i+j)k=aikajk=a(ai)a(aj)，即ak是G的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，n阶循环群只有中(n)个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和中(n)阶的群。例2(1)求G=<a〉，Ia1=4,4阶循环群的自同构群。解,(4)=2，两个生成元为a,a3，从而AutG=｛&a｝，其中ree=ke一、a3是恒等置换，a3j一、a3ajree=ke一、a3是恒等置换，a3j一、a3aj中⑸=4，4个生成元为a,a2,a3,a4，从而AutG=%，。「气,%｝，

其中，e是恒等置换，bb=e回"b:xTaxa-1,(VxeG)是G的一个自同构，称为G的内a自同构；G的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为G的内自同构群，记为Inn其中，e是恒等置换，bb:xTaxa-1,(VxeG)是G的一个自同构，称为G的内a自同构；G的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为G的内自同构群，记为InnG；(InnGAutG。证明(1)易知ba是g的一个双射变换。又b(xy)=a(xy)a-1=(axa-i)(aya-1)=b(x)b(y)，中心就是与G的所有元素都可交换的元素组成的集合。根据中心的定义，显然有C(G)G。<1定理4.GC(G)三InnG.;AutG是p-1阶的群，且AutG=<Z*,->o这里Z*={1,2,,p-1},乘法指模p乘法。证明略。G的一个特征子群，即VQeAutG都有a(N)qN。例3，任何群G的中心C(G)都是G的特征子群。证明只需证明VaeAutG都有a(C(G))qC(G)，亦即VaeAutG，VxeC(G)都有a(x)eC(G)。验证：VaeG，a(x)a=a(x)a(a-1(a))=a(xa-1(a))=a(a-i(a)x)=a(a-i(a)x)=a(a-i(a))a(x)=aa(x)，所以a(x)eC(G)，结论成立。注意：显然，特征子群一定是正规子群；但反之不成立，即正规子群不一定是特征子群。例如，取G=K4={e,a,b,c}，N={e,a}，则NG(K是交换群)。取a:K—K，a(e)=e,a(a)=b,a(b)=a,p(c)=c，则前面例1已验证a是K4的一个自同构，对此自同构！a(N)={e,b}⑦N={e,a}，所以K不是特征子群。(2)全特征子群：设H<G。如果h对G的所有自同态都保证明由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。注意：定理2说明一件事实，即不同的循环群其自同构群可以相同。内自同构群定理3设G是一个群，aeG，则所以。是G的一个自同构。a(2)设气与气是g的任何两个自同构，则VxcG，bb(x)=b(b(x))=b(bxb-i)=a(bxb-1)a-1=(ab)x(ab)-1=b(x)，即有b"仍是一个内自同构，此表明InnG关于变换的乘法封闭。又易知(b>i=bcInnG，且b=£是幺元，结合律显然成立，所以hnG关于变换的乘法作成一个群。(3)VieAutG,V气cInnG，VxcG。令…⑴=>，即心)二x，贝qTbT-i(x)=ib(y)=i(aya-1)=i(a)i(y)i(a-1)=i(a)xi(a)-1=b(x)，由x的任意性有TbT-i=bcInnG,所以InnGAutG。<l注意：设NG，则VacG有aNa-1cN，即b(N)oN，亦即n对G的任何内自同构都保持不变；反之，若G的一个子群有此性质，则它必是G的正规子群。这就是说，G的正规子群就是对G的任何是自同构都保持不变的子群:一NGoVbcInnG,b(N)cN。因此，也常称正规子群为不变子群。群的中心：称C(G)={aIax=xa,VxcG}为群的中心，即群G的

证明利用同态基本定理。令甲:GtInnG,顿a)=a(VaeG),显然，这样定义的中是满射。由定理3知。"，即Ker^=ia苗(a)=8,aeg}=ia中(ab)=顿a)中(b)，所以中是满同态。又axa-1=x,aeG,Vxeg}="||b=8,aeg}=ia件(x)Ker^=ia苗(a)=8,aeg}=iaaxa-1=x,aeG,Vxeg}="|由同态基本定理，有GC(g)=InnG.注意：定理4表明，要求g的内自同构群InnG，只需求出g的中心C(G)，再作商群G，即得InnG，所以求一个群/C(G)的内自同构群相对容易些。但是要求出一个群的自同构群AutG，一般来说是非常困难的。这是因为，在大多数情况下，一个群本身的性质不能转移到它的自同构群上去。例如，由例1知，交换群的自同构群可以是非交换群，AutK4三S3;推论2表明，不同构的群它们的自同构群可以同构。但是，有些群如素数阶循环群的自同构群能够完全确定。定理4.设g=<a>是由a生成的p阶循环群，p是素数，则4。正规子群的推广前面有，正规子群就是对G的所有内自同构都保持不变的子群，将这一概念推广就得到：(1)特征子群:对群G的所有自同构都保持不变的子群叫做持不变，即对G的每个自同态中都有中(H)oH,则称h为G的一个全特征子群。例4证明：循环群G=<a>的子群都是全特征子群。证明由于循环群的子群还是循环群，所以可设H=<as>。例中:G—G是任何自同态，则存在$，使得中(a)=ar。于是PaskeH，有中(ask)=(ask)t=(as)奶eH，所以H是G的一个全特征子群。注意：显然，全特征子群一定是特征子群；但反之不成立，即特征子群不一定是全特征子群。{例如，群的中心总是特征子群(例3)，但不一定是全特征子群。例5有理数域q上的2阶线性群G=GL(Q)的中心C(G)={AAeG,A=al,a主0,aeq}(高等代数结论)，则C(G)不是全特征子群。证明首先VAeG，即A为有理数域上的2阶满秩方阵，则b―行列式IAI是一个有理数。因此可令IA1=--2〃(A)，其中a,b是奇数，n(A)是与a有关的一个正整数，由A唯一确定。设IBI=d-2n(b)，其中c,d是奇数。则IABI=IAIIBI=甑-2〃(a)+〃(b)，cacbd,ac是奇数