36最短路径问题

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题【人教版】专题3.6最短路径问题姓名：班级：得分：注意事项：本试卷满分100分，试题共24题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（2019秋•巴南区期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）/表示小河，P,2两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）（2019秋•庐江县期中）如图，在△ABC中，AB=6,BC=7,AC=4,直线m是^ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.则△APC周长的最小值为（）A.10B.11C.11.5D.13（2019秋•凤山县期中）如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=5，则EP+CP的最小值为（）

AA.2B.4C.5D.7（2018秋•海淀区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DELBCAA.2B.4C.5D.7DC上的一个动点，连接PA、PE,若PA+PE最小，则点P应该满足（）—SDPCA.PA=PCB.PA=PEC.ZAPE=90°D.ZAPC=ZDPE（2019秋•青山区期中）如图，ZAOB=30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P、Q分别是边OB，OA上的动点，记ZAMP=Z1，ZONQ=Z2，当MP+PQ+QN最小时，则关于Z1，Z2的数量关系正确的是（）oP奁BA.Z1+Z2=90°B.2Z2-Z1=30°C.2Z1+Z2=180°D.Z1-Z2=90°（2019秋•崇川区校级期中）如图，点E在等边AABC的边BC上，BE=6，射线CDCBC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF=9,则AC为（）AAA.14B.13C.12D.10（2019秋•葫芦岛期中）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长的最小值

为（）A.6B.10C.15D.16（2018秋•龙沙区期末）如图所示，ZMON=45°，点P为ZMON内一点，点P关于OM、ON对称的为（）A.6B.10C.15D.16对称点分别为点P］、P2，连接OP、OP1.OP2、PP「PP2、P1P2,P1P2分别与OM、ON交于点A、B,连接AP,HP,则ZAPB的度数为（)B.90°D.150°C.135°A.45°（2019秋•诸暨市期中）如图，四边形ABCQ中，ZBAD=121°,ZB=ZD=90°，在BC、CD上分别OB.121°A.118找到一点M、M使^AMN连接AP,HP,则ZAPB的度数为（)B.90°D.150°C.135°A.45°OB.121°A.118找到一点M、M使^AMN周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为（）C.120°D.90°OA上的动点，记ZOPM=a,ZOQN=&,当MP+PQ+QN最小时，则关于a,6的数量关系正确的是（）

AOPNEA.6-a=30°B.6-a=40°C.6+a=180°D.|3+a=200°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上（2019秋•滦州市期末）已知：如图，匕4OB=45°，点P为ZAOB内部的点，点P关于OB,OA的对称点P1，P2的连线交OA,OB于M,N两点，连接PM,PN,若OP=2,则^PMN的周长=.（2019秋•东城区校级期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2,面积是4,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则^CDM周长的最小值是C（2019春•福鼎市期中）如图，等边△ABC中，作ZABP=18。交AC于点P,Q为边BC上一点，连接PQ,当BP+PQ的值最小时,ZBPQ=°.A（2019秋•自贡期中）如图，直线m是AABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.若AB=6,AC=4,BC=7,则^APC周长的最小值是.

（2019秋•镇原县期末）如图，AB上BC,AD±DC,ZBAD=100°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△/"的周长最小时，工AMN+WANM的度数是.（2019秋•中山市校级期中）如图，在等边三角形ABC中，AD上BC,垂足为D,且AD=6,E是AC边上的中点，M是AD边上的动点，则EM+CM的最小值是.（2019秋•扶沟县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值.ABDC（2019秋•硚口区期中）如图，牧马人从A地出发，先到草地边MN的某处点C牧马，再到河边EF的某处点D牧马，然后回到B处，若从A到B走的是最短路径，CA与DB的延长线交于点H,设锐角匕1=a，则匕2的的大小为（用含a的式子表示）.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（2019秋•大丰区期中）用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法）在直线m上求作一点P,使得PA+PB最短.（2020春•沈河区期末）如图，点A,B,C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形.利用格点和直尺画图并填空：（1）画出格点AABC关于直线MN轴对称的AA‘BC；（2）画出AABC中BC边上的高线AD；（3）若AB=5,点P是AB上一点则CP的最小值为.21.（2020春•龙泉驿区期末）如图所示，有两个村庄A,B在一公路CD的一侧，如果把A,B村庄的位置放在格点图中.

请作出A点关于CD的对称点A'；若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站已使得驿站到两个村庄的线段距离和最小，请作出P点的位(2020春•成都期末)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上.在图中画出与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；求AABC的面积；(2019秋•海州区期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点WBC(即三角形的顶点都在格点上).(1/ABC的面积为；在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形W'B'C'.利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短.(保留痕迹)

（2019秋•衡水期中）如图，在RtWBC中，匕A=90°,ZACB=30°,AC=10,CD是角平分线.（1）如图1,若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P,使PA+PE的值最小；（2）如图2,若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P,使PA+PE的值最小，并直接写出其最小值.2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题3.6最短路径问题姓名：班级：得分：注意事项：本试卷满分100分，试题共24题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（2019秋•巴南区期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）/表示小河，p,Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.【解析】作点P关于直线l的对称点。，连接2C交直线l于M.根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道最短.故选：C.0C（2019秋•庐江县期中）如图，在△ABC中，AB=6,BC=7,AC=4，直线m是^ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.则△APC周长的最小值为（）A.10B.11C.11.5D.13【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论.【解析】•.•直线m垂直平分AB，:.B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，.•.当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，:.△APC周长的最小值是6+4=10.故选：A.（2019秋•凤山县期中）如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=5，则EP+CP的最小值为（）ABCA.2B.4C.5D.7【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解.【解析】作点E关于AD的对称点凡连接CF，A8D~~匚•.•△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，:.AD±BC，:.AD是BC的垂直平分线，..•点E关于AD的对应点为点F，.CF就是EP+CP的最小值.•△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，：.F是AB的中点，:.CF是^ABC的中线，.CF=AD=5，即EP+CP的最小值为5，故选：C.（2018秋•海淀区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DELBC交AB于点E,P为DC上的一个动点，连接PA、PE,若PA+PE最小，则点P应该满足（）¥BBPCA.PA=PCB.PA=PEC.ZAPE=90°D.ZAPC=ZDPE【分析】作点E关于直线BC的对称点8，连接AH交BC于P，此时PA+PE的值最小，依据轴对称的性质即可得到匕APC=ZDPE.【解析】如图，作点E关于直线BC的对称点H，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小.Ai/由对称性可知:ZEPD=ZFPD，VZCPA=ZFPD，.\ZAPC=ZDPE，:.PA+PE最小时，点P应该满足ZAPC=ZDPE，故选：D.（2019秋•青山区期中）如图，ZAOB=30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P、Q分别是边OB，OA上的动点，记ZAMP=Z1，ZONQ=Z2，当MP+PQ+QN最小时，则关于Z1，Z2的数量关系正确的是（）oP击IA.Z1+Z2=90°B.2Z2-Z1=30°C.2Z1+Z2=180°D.Z1-Z2=90°【分析】如图，作M关于OB的对称点M，N关于OA的对称点N，连接MN交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，根据外角的性质得到Z1=ZO+ZOPM^，ZOP^=Z1-ZO=Z1-30°，

由轴对称的性质得到匕OPM=『OPM',/OPM'=£QPN,于是得到ZQPN=Z1+30°，由于Z3=ZO+Z2=30°+Z2,ZNQNz=ZQPN+Z2=Z1-30°+Z2,ZNQNz=2Z3，即可得到结论.【解析】如图，作M关于OB的对称点M,N关于OA的对称点N'，连接MN'交OA于Q,交OB于P，则MP+PQ+QN最小，VZ1=ZO+ZOP^，AZOP^=Z1-ZO=Z1-30°，•：ZOPM=ZOPM‘，ZOPMZ=ZQPN，AZQPN=ZPQO+30°VZ3=ZO+Z2=30°+Z2，ZNQNz=ZQPN+Z2=Z1-30°+Z2，ZNQNZ=2/3，AZ1-30°+/2=2(30°+/2)，.../1-/2=90°.故选：D.（2019秋•崇川区校级期中）如图，点E在等边AABC的边BC上，BE=6，射线CDCBC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF=9,则AC为（）AA.14B.13C.12D.10【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，/B=60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GFLAB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BF=18，求得EG=12，于是得到结论.【解析［.「△ABC是等边三角形，...AC=BC，/B=60°，作点E关于直线CD的对称点G,过G作GF±AB于F,交CD于P,则此时，EP+PF的值最小，VZB=60°,ZBFG=90°,AZG=30°,VBF=9,...BG=2BF=18，...EG=12，VCE=CG=6,:,AC=BC=12,故选：C.A（2019秋•葫芦岛期中）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则^CDM周长的最小值为（）CA.6B.10C.15D.16【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时ACDM周长最小，进而可求解.【解析】如图：连接AD交EF于点M，...等腰△如。的底边BC长为6,点D为BC边的中点，:.ADLBC,BD=CD=3，,:EF是腰AC的垂直平分线，连接CM,:.AM=CM,此时△CDM的周长为：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CDCD的长为3固定，・•・根据两点之间线段最短，△CDM的周长最小.•：SMBC=2BC*AD，1・.・-X6.AD=36，2...AD=12，•.・AD+CD=12+3=15.故选：C.（2018秋•龙沙区期末）如图所示，匕MON=45°，点P为ZMON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P［、P2，连接OP、OP1.OP2、PP1>PP2、P1P2,P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则ZAPB的度数为（）A.45°B.90°C.135°D.150°【分析】依据轴对称的性质，即可得到Zapo=zap1o，zaop=zaop1，zbpo=zbp2o，zbop=ZBOP2，进而得出ZOP1P2+ZOP2P1=90°，再根据ZAPB=ZAPO+ZBPO=ZAP1O+ZBP2O，即28/28可得出结论.【解析】由轴对称可得，OP=OP1、AP=AP1，而AO=AO,:.△AOP^AAOP1（SSS）,AZAPO=ZAP1O,ZAOP=ZAOP1,同理可得—BPO=ZBP2O，ZBOP=ZBOP2,:.ZP1OP2=2ZAOB=90°,AZOP1P2+ZOP2P1=90o,.\ZAPB=ZAPO+ZBPO=ZAP1O+ZBP2O=90o,故选：B.9.（2019秋•诸暨市期中）如图，四边形ABCQ中，匕BAD=121o,ZB=ZD=90o，在BC、CD上分别找到一点M、M使^AMN周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为（）月。CA.118°B.121°C.120°D.90°【分析】如图，四边形ABCD中，ZBAD=121°，ZB=ZD=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使AAMN周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为【解析】如下图，作A关于BC和CD的对称点A'，A〃，连接A'A〃，交BC于M，交CD于N，则A'A〃即为AAMN的周长最小值.作DA延长线AH，•..ZDAB=121°，:WHAA，=59。，:.ZAA'M+ZA"=ZHAA'=59°,^ZMAfA=ZMAAf,ZNAD=ZA",且ZMA'A+ZMAA'=ZAMN,ZNAD+ZA"=ZANM,:.ZAMN+ZANM=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA"=2（ZAAfM+ZA"）=2X59°=118°.故选：A.10.（2018秋•云梦县期中）如图，Z4W=20°,M,N分别是边OA,OB上的定点，P,Q分别是边OB,OA上的动点，记ZOPM=a,ZOQN=&,当MP+PQ+QN最小时，则关于a,6的数量关系正确的是（）AOPNEA.6-a=30°B.6-a=40°C.6+a=180°D.6+a=200°【分析】如图，作M关于OB的对称点M',N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q,交OB于P,则MP+PQ+QN最小易知ZOPM=ZOPM'=ZNPQ,ZOQP=ZAQN'=ZAQN,KDZOQN=180°-20°-ZONQ,ZOPM=ZNPQ=20°+ZOQP,ZOQP=ZAQN=20°+ZONQ，由此即可解决问题.【解析】如图，作M关于OB的对称点M',N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q,交OB于P,则MP+PQ+QN最小，易知ZOPM=ZOPM'=ZNPQ,ZOQP=ZAQN'=ZAQN,•..ZOQN=180°-20°-ZONQ,ZOPM=ZNPQ=20°+ZOQP,ZOQP=ZAQN=20°+ZONQ,•.・a+6=180°-20°-ZONQ+20°+20°+ZONQ=200°.故选：D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11.（2019秋•滦州市期末）已知：如图，匕4OB=45°，点P为ZAOB内部的点，点P关于OB,OA的对称点P1，P2的连线交OA,OB于M,N两点，连接PM,PN,若OP=2，则*MN的周长=_2槌—.【分析】根据题意和轴对称的性质，利用勾股定理可以得到P1P2的长，从而可以得到^PMN的周长.【解析】连接OP1,OP2,由题意可得，OP1=OP,OP2=OP,ZP1OB=ZPOB,ZPOA=ZP2OA,VZAOB=45°,OP=2,AZP1OP2=90°,OP1=OP2=2,.\P1P2=2V2,,:PN=P\N,PM=P2M,:.PM+PN+MN=P2M+P1N+MN=P1P2=2V2,即△△"的周长=2/2,故答案为：2/2.（2019秋•东城区校级期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2,面积是4,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则^CDM周长的最小值是MA声【分析】连接AD,由于W昭是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADLBC,再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论.【解析】连接AD，.••△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，:.ADLBC，：'S£AB（=^BC-AD=2X2XAD=4，解得AD=4,.EF是线段AC的垂直平分线，..•点C关于直线EF的对称点为点A，:.AD的长为CM+MD的最小值，11一.一-:.ACDM周长的最小值=(CM+MD)+CD=AD+2BC=4+2X2=4+1=5.故答案为：5.C（2019春•福鼎市期中）如图，等边△ABC中，作ZABP=18。交AC于点P，Q为边BC上一点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，ZBPQ=48A【分析】过B点作PQ—BC于Q'，根据角的和差关系求出ZPBQ：，再根据直角三角形的性质求出当BP+PQ的值最小时ZBPQ的度数，从而求解.【解析】过B点作PQ'LBC于Q'，.•.△ABC是等边三角形，:.ZABC=60°,VZABP=18°,...ZPB0=60°-18°=42°,.•.当BP+PQ的值最小时，匕BPQ=90°-42°=48°.故答案为：48.A（2019秋•自贡期中）如图，直线m是AABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.若AB=6,AC=4,BC=7,则^APC周长的最小值是10.【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B,故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论.【解析】•.•直线m垂直平分AB，:.B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，.•.当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，•△APC周长的最小值是6+4=10.故答案为10.

，在BC、CD上分别找一点M、N,（2019秋•镇原县期末）如图，ABLBC,AD±DC,ZBAD=100°，在BC、CD上分别找一点M、N,当^AMN的周长最小时—AMN+ZANM的度数是160°【分析】根据要使WMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A〃，即可得出ZAA'M+ZA^=ZAA^Az=80°，进而得出ZAMN+ZANM=2(ZAA'M+ZA〃)，即可得出答案.【解析】作A关于BC和CD的对称点A'，A〃，连接A'A〃，交BC于M，交CD于N，则A'A〃即为MMN的周长最小值.VZDABVZDAB=100°，Z.ZAA'M+ZA〃=80°.由轴对称图形的性质可知：ZMA'A=ZMAA'，ZNAD=ZA〃，且ZMA'A+ZMAA'=ZAMN，ZNAD+ZA〃=ZANM，:.ZAMN+ZANM=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA"=2(ZAA'M+ZA〃)=2X80°=160°.故答案为：160°.(2019秋•中山市校级期中)如图，在等边三角形ABC中，ADXBC，垂足为D，且AD=6，E是AC边上的中点，M是AD边上的动点，则EM+CM的最小值是6.【分析】连接£E,父AD于M,则BE就是PE+PC的最小值，根据等边三角形的三线合一的性质从而证得BE=AD=6.【解析】如图所示：VAD是BC边上的中线，:.AD等边三角形ABC的边BC上的高，•.•AD是BC的垂直平分线，连接BE,交AD于M则BE就是EM+CM的最小值，,：E是AC的中点，：.BE是等边三角形ABC的边AC上的高，:.BE=AD，•.•等边三角形ABC的边BC上的高为6，；,BE=AD=6.:.EM+CM的最小值是6.故答案为：6.（2019秋•扶沟县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是6.ABDC【分析】先连接W,再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE,最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值.【解析】连接CF,BDC...等边△刀BC中，AD是BC边上的中线:,AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC:、EB=EC，当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，..•等边AABC中，F是AB边的中点，：.AD=CF=6，：,EF+BE的最小值为6，故答案为：6（2019秋•硚口区期中）如图，牧马人从A地出发，先到草地边MN的某处点C牧马，再到河边EF的某处点D牧马，然后回到B处，若从A到B走的是最短路径，CA与DB的延长线交于点H，设锐角匕1=a，则匕2的的大小为180°-2a（用含a的式子表示）.【分析】作A于MN的对称点A1,B关于EF的对称点B',连接A1B交MN于C,交EF于D,此时AC+CD+BD的值最小.【解析】作A于MN的对称点A',B关于EF的对称点B',连接AzB'交MN于C,交EF于D,此时AC+CD+BD的值最小.VZ2=180°-(ZACD+ZBDC)ZACD=180°-2ZNCD,ZBDC=180°-2ZNDC,AZ2=180°-[360°-2(ZNCD+ZNDC)]=180°-[360O-2(180°-Z1)]=180O-2Z1=180°-2a,故答案为180°-2a.三、解答题(本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(2019秋•大丰区期中)用直尺和圆规作图：(保留作图痕迹，不写作法)在直线m上求作一点P,使得PA+PB最短.E.【分析】作点A关于直线m的对称点A'，连接BA'交直线m于点P,点P即为所求.【解析】如图，点P即为所求.

(2020春•沈河区期末)如图，点A,B,C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形.利用格点和直尺画图并填空：画出格点AABC关于直线MN轴对称的AA‘BC；画出AABC中BC边上的高线AD；【分析】(1)利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点A'、B'、C即可;(2)利用网格特点和三角形高的定义画图；【解析】(1)如图,WBC为所作；(2)如图，AD为所作；

11111II11___L_■_J._T~111111■■111II111111■T|]11__1__1/S::11阡..泓■LuL|as|BSS|sa[|^u4__板：;■■■■■T'11111'1111111111111111'11111111111■■'11111=J七1JL.111_J_11„11111|]11■I111B1(2020春•龙泉驿区期末)如图所示，有两个村庄A,B在一公路CD的一侧，如果把A,B村庄的位置放在格点图中.请作出A点关于CD的对称点A'；若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站P,使得驿站到两个村庄的线段距离和最小，请作出P点的位ftkFJLAC11D8-2-4【分析】(1)直接利用对称点的性质进而得出答案；(2)直接利用轴对称设计求最短路线的方法得出P点位置.【解析】(1)如图所示：A'点即为所求；(2)