初中数学最值问题

最值问题“最值”问题大都归于两类基本模型：I、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值II、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。一、利用函数模型求最值例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB=x米，由于实际需要矩形的宽只能在4m和7m之间。设花圃面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式和y的最值。例2、如图（1）,平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,ZBAD=120°,E为BC上一动点（不与B重合），作EF丄AB于F,设BE=x,^DEF的面积为S当e运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

二、利用几何模型求最值例3、如图所示，已知AB是。0中一条长为4的弦，P是。0上且cosZapb=1，求△APB的面积的最大值？3动点,例4、如图，已知RtAABC9R弋\DEF,ZC=ZF=30°,AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。动点,三、归入“两点之间的连线中，线段最短”思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。口诀：和最小找对称。例5、（1）如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2吕B.2『6C.3D.V6（2）如图，AB、CD是半径为5的。0的两条弦，AB=8,CD=6,MN是直径，AB丄MN于点E,CD丄MN于点F,P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为.

例6、几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线/上确定一点P，使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线/的对称点A，，连结AB交/于点P，则PA+PB=AB的值最小(不必证明)．模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称•连结ED交AC于P，则PB+PE的TOC\o"1-5"\h\z最小值是.B如图2，OO的半径为2，点A、B、C在①O上,OA丄OB，BZAOC二60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.如图3，ZAOB二45°,P是ZAOB内一点，PO二10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求APQR周长的最小值例7、如图，锐角AABC的边理=42,么号＞45°,多AC的平分线交BC于点D,M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是.四、归于“三角形两边之差小于第三边”例8、如图（1）,直线y二—V3x+2与x轴交于点C,与y轴交于点B,点A为y轴正半轴上的一点，0A经过点B和点O，直线BC交。A于点D。（1）求点D的坐标；（2）过O,C,D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段TOC\o"1-5"\h\zPO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。，丁若不存在，请说明理由。f\\五、路径最短问题（两点间连线中，直线段最短）如图，圆柱形的桶外，有一只蚂蚁从桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm,点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm,那么蚂蚁爬行的最短路程是．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和lcm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是.如图是一块长、宽、高分别是4cm、2cm和lcm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到-处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是米（结果不取近似值）六、综合提高1.如图,(1),在^ABC中，AC二BC=2,ZACB=90°,P为BC边上一定点，(不与点B,C重合)，Q为AB边上一动点，设BP的长为a(0VaV2),请写出CQ+PQ最小值，并说明理由。如图(1)所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A、*已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角ZAON=30。新开发区B到公路MN的距离千米。求新开发区A到公路MN的距离，现从MN上某点P处向新开发区A、B修两条公路PA、PB，使点P到新开发区A、B距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点P的位置(不用证明，不写作法，保留作图痕迹)，并求出此时PA+PB的值。已知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于丿点C^其中A(-3，0)、C(0，-2).求这条抛物线的函数表达式.已知在对称轴上存在一点P，使得APBC的周长最小•请求出点P的坐标.