勾股定理的运用教案教学设计导学案

知识点：勾股定理的运用知识关联：勾股定理，算术平方根的计算，一元一次方程的解法问题情境1:运用勾股定理计算直角三角形的斜边问题模型：已知三角形的两条直角边，求斜边的长求解模型：A得出C的值【例题】如图，AABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE丄AC.若BE=12,AE=16,则DE11C.12D.1311C.12D.13【分析】在RtAABE中，先根据勾股定理求出AB的长，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可求出DE的长.【答案】A.练习：TOC\o"1-5"\h\z在RtAABC中，ZC=90。，若a=5,b=12，则c=.【答案】13若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足，则该直角三角形的斜边长为.【答案】53•直角三角形的两边长的比是3:4,斜边长是25,则它的两直角边长分别是【答案】15,204.在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12，则点C到AB的距离是（）A-1225A-1225【答案】A问题情境2：运用勾股定理计算直角三角形的一条直角边长问题模型：已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边

=＞得出=＞得出b的值求解模型：【例题】在厶ABC中，ZC=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为.【分析】根据勾股定理列式计算即可得解.VZC=90°,AB=7,BC=5,.•・AC===2左.故答案为：2崔【答案】2【答案】2■疋练习：如图所示，在RtAABC中，ZA=90°,BD平分ZABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是（）B.32C.24D.9B.32C.24D.9四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.【答案】解：•・•四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于0,.AC丄BD,D0=B0,•AB=5,A0=4,•AB=5,A0=4,••・BD=2B0=2X3=6.在RtAABC中，ZC=90°，若a=5,c=10，则b=【答案】5打知识关联：勾股定理，等腰三角形的性质问题情境3：运用勾股定理计算直角三角形的一条边长问题模型：已知直角三角形的两边长，求第三边的长

求解模型:求解模型:【例题】RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2.以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为【分析】首先要结合题意，画出相应的图形.因为以AC为一边在厶ABC外部作等腰直角三角形ACD，则AC可以是直角边，也可以是斜边，所以有三种情况.如图（1）,BD=4；如图（2）BD=J22+42=2/5；如图（3）,ZACD=90°，BC=2^2，CD=BD=＜（2迈）2+&2）2=丽.【答案】4或2蘆或占孑练习：在RtAABC中，若a=3,b=5，贝Vc=【答案】4或34如图.在RtAABC中，ZA=30°,DE垂直平分斜边AC，交AB于D,E式垂足，连接CD,若BD=1，则AC的长是（）A.2f3B.2C.4x/3D.4【答案】A—直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为（）_A.5B.C.迓D.5或汙【答案】D问题情境4：运用勾股定理求实际问题中的线段的长度问题模型：已知实际问题中的几条线段，构造直角三角形求一条直角边或斜边的长求解模型：【例题】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米•一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行()A.8米B.10米C.12米D.14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.【答案】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m,过C点作CE丄AB于E,则EBDC是矩形，连接AC。.°.EB=4m,EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，在RtAAEC中，AC二虫/垄10m，故选B.EE'D练习：1•一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？【答案】解：如图所示：连接AC.在RtAABC中，由勾股定理得：AC=<AB2+BC2=<5(m)~2.236>2.2・••这块薄木板能从门框内通过.2•有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm,40cm，30cm的木箱中，能否放进去？【答案】解：能•理由如下：T*'(10.41)2+302二50心Q70.7>70・能放进去.3•如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）CA.米B.朽米c.（「5+1）米D.3米【答案】C知识关联：勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，一元一次方程的解法，角平分线的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质问题情境5：求折叠问题中的线段的长度问题模型：已知一个矩形的长和宽，求折叠所得的直角三角形的一条边的长【例题】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12,BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为.【分析】由勾股定理求得：BD=13，DA=DA'=BC=5，ZDA'E=ZDAE=90°，设AE=x，则A'E=x，BE=12—x,BA'=13—5=8,1010在RtAEA'B中，（12—x）2二x2+82,解得：x=^，即AE的长为【答案】g练习：1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在边AB上的点C处，则折痕BD的长为.ADC第応题【答案】3叮52.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,则BE的长为(A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)10cm第15第15题【答案】B如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,BC=3.点D是BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点D作DE丄BC交AB边于点E，将/b沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AAEF为直角三角形时，BD的长为【答案】1或24•如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,将该长方形折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长.【答案】解：如图所示，设AC与EF相交于点0,连接AE.根据题意可得：AC丄EF,设BE=x,则CE=4-x,根据折叠的性质可得：AE=CE=4-x,A0=C0,ZA0E=ZC0E=ZA0F=ZC0F=90°在长方形ABCD中，AC=5,故A0=C0=2.5,在RtAABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2即：32+x2二(4一x)2解得：x=7，故4-x=2588在RtAAOE中，由勾股定理得：A02+OE2二AE2解得：OE=158在RtAAOF和RtACOE中AO=CO,ZFAO=ZECO,ZA0F=ZC0E=90°故RtAAOF^R仏COE(ASA)・：OF=OE=158即：EF=154故折痕EF的长为154知识关联：勾股定理，立体图形的平面展开图问题情境6：求立体图形中两点之间的最短距离问题模型：已知一个立体图形，求立体图形中两点之间的最短路径长求解模型：【例题】如图，圆柱形容器中，高为1.2m,底面周长为lm，在容器内擘离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外擘，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计)•【分析】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P,使PA+PB最短，过A作EF的对称点A'，连接AB，则A'B与EF的交点就是所求的点P,过B作BM丄AA'于点M,1在RtAA'MB中，AM=1.2,BM=-,所以ABA'M2+BM2二1.3,因为A'B=AP+PB，所以壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m.

【答案】1.3m.练习：配电廉洁屯Jiiifc出列人配电廉洁屯Jiiifc出列人ft：NKftMfHKlli丄》■A插I■春鲁厲熔箱为•殆-辻Jh盘鼻艰为■盯K.HC.【答案】+芷和’』：・謝1・切・4■■尺期戟切峰曲IT廉'弁甘HI为2™j■佃d™恂悴从ISIIB4ISIIB4Hl3-11-s-w；«-.fii斗“已审沖的翡tr［答案］-xAL曲K遣・硏苗吐遵戲出■刘fffls»rf=*i-is-s.<r*=/XF'+cr^=/■Jfi+4?—GfrmL>rTKUljW*-/sf+bc^-丹+uf=価品IffLmi-«IEl■］»<l>ITffi318-7.A(*-皿眇十Dtf^■/FRItiy厢〔忒崗“问题情境7：运用勾股定理作长度为（n为正整数）的线段问题模型：已知直角边为正整数的一个直角三角形，按规律求出第n个图形中直角三角形的斜边求解模型：【例题】如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为16启厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为厘米.1122012【答案】B1122012【答案】B【分析】设第①个等腰直角三角形的斜边长为x,第②个等腰直角三角形的斜边是第①个空2倍，第③个等腰直角三角形的斜边是第①个2倍，第④个等腰直角三角形的斜边是第①个2込倍，依次类推,第⑨个是等腰直角三角形斜边是第①个的16倍.【答案】爲练习：1.