十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题13 排列组合与二项式定理

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题13排列组合与二项式定理一、选择题TOC\o"1-5"\h\z(2019•全国3•理T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.24【答案】A【解析】(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为二+2二=4+8=12.故选A.(2018•全国3•理T5)二：—「的展开式中X4的系数为()A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由展开式知T=：((X2)5-r(2x-l)r=：(2rX10-3r.当r=2时,X4的系数为22=40.r+1(2017・全国1•理T6)：-亍(1+x)6展开式中X2的系数为()A.15B.20C.30D.35【答案】C【解析】(1+x)6的二项展开式通项为T=Yxr,<-±：；(1+x)6的展开式中含X2的项的来源有两部分，一部分是1X：Qx2=15x2，另一部分是丁':-.：x4=15x2，故y(1+x)6的展开式中含X2的项为15x2+15x2=30x2，其系数是30.(2017•全国3•理T4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】(2x-y)5的展开式的通项公式T=C；(2x)5-r(-y)r.r+1当r=3时,x(2x-y)5的展开式中X3y3的系数为二X22X(T)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中X3y3的系数为匚；X23X(-1)2=80.故展开式中X3y3的系数为80-40=40.（2017•全国2•理T6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A.12种B.18种C.24种D.36种【答案】Ddel匚*【解析】先把4项工作分成3份有种情况，再把3名志愿者排列有圣种情况，故不同的安排方式共有-；-I=36种，故选D.（2016•四川•理T2）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含X4的项为（）A.-15X4B.15X4C.-20iX4D.20iX4【答案】A【解析】二项式（x+i）6展开的通项T=Cgx6-rir,则其展开式中含X4是当6^=4,即P=2,则展开式中含X4的项r+1为C-；X4i2=-15x4,故选A.（2016•全国2•理T5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条，再从F处到G处的最短路径有3条，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6X3=18,故选B.（2016•全国3•理T12）定义“规范01数列”｛a｝如下：｛a｝共有2m项，其中m项为0,m项为1,且对任意nnkW2m,a,a,…,％中0的个数不少于1的个数•若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）12kA.18个B.16个C.14个D.12个【答案】C【解析】由题意知a=0,a=1,则满足题意的a,a,a的可能取值如下：18128

a.0a.00Q0110110Q1伽1j01110]1001110110001100111011000110综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.（2016•四川•理T4）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A.24B.48C.60D.72【答案】D【解析】要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1,3,5中的一个，其他位置共有-乂种排法，所以其中奇数的个数为3^=72,故选D.（2015•四川理T6）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个【答案】B解析】当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有二亠】个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时，满足条件的五位数有二二二个.故满足条件的五位数共有止-<=■-<=（2+3^1=5X4X3X2X1=120个.故选B.（2015・全国1•理T10）（x2+x+y）5的展开式中,x5y2的系数为（）A.10B.20C.30D.60【答案】C【解析】（x2+x+y）5=[（x2+x）+y]5的展开式通项为T黑（x2+x）5—ryr（r=0,1,2,・：5）.r+1由题意,y的幕指数为2,故r=2.对应的项为二（X2+X）3y2=10（X2+X）3y2.记（X2+X）3的展开式通项为T二c；（X2）3-SXS=C；X6-S（S=O,1,2,3）,由题意令6-s=5,得s=1.故所求项的系数为S+110匚=30.（2015•陕西•理T4）二项式（x+l）n（nWN*）的展开式中X2的系数为15,则n=（）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】（X+1）n的展开式通项为T%-r.r+1令n-r=2,即r=n-2.则X2的系数为=匚2=15,解得n=6,故选B.（2015•湖北•理T3）已知（1+X）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.29【答案】D【解析】由条件知二=匚，••・n=10.・•・（1+x）io中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.（2014•大纲全国•理T5）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有士种选法，从5名女医生中选出1名有5种选法，故共有:-='=7^7X5=75种选法，选C.（2014•辽宁•理T6）6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A.144B.120C.72D.24【答案】D【解析】插空法•在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可•故排法种数为-圣=24.故选D.（2014・四川•理T6）六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【答案】B【解析】（1）当最左端排甲的时候，排法的种数为-弋；（2）当最左端排乙的时候,排法种数为二•因此不同的排法的种数为二；—二「二=120+96=216.（2014•重庆•理T9）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168【答案】B【解析】第1步，先排歌舞类节目，有1=6种排法，排好后有4个空位.第2步,排另3个节目,因为3个歌舞节目不相邻,则中间2个空位必须安排2个节目.分两类情况:中间两个空位安排1个小品类节目和1个相声节目，有二-"<=4种排法，最后一个小品类节目排两端，有2种方法.共有6X4X2=48种排法.中间两个空位安排2个小品类节目，有;=2种排法，排好后有6个空位，选1个将相声类节目排上，有6种排法•共有6X2X6=72种排法.所以一共有48+72=120种排法.（2014・四川•理T2）在x（1+x）的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【答案】C【解析】含X3的项是由（1+X）6展开式中含X2的项与X相乘得到，又（1+X）6展开式中含X2的项的系数为二;=15,故含X3项的系数是15.（2014•湖南•理T4）尹一‘的展开式中X2y3的系数是（）A.-20B.-5C.5D.20【答案】A【解析】由已知，得Tr+严心勾(-2y)E比,；(-2)rx5-ryr(°WrW5,rUZ),令r=3,得T=lt(-2)3X2y3=-20x2y3.(2014・浙江•理T5)在(l+x)6(l+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210【答案】C【解析】T(l+x)6展开式的通项公式为T弍,xr,(l+y)4展开式的通项r+1公式为Th=C；yh,h+1・：(l+x)6(l+y)4展开式的通项可以为二!二xryh.・・.f(m,n)m••・f(3,0)+f(2,l)+f(l,2)+f(0,3)—G二—口匸—二=20+60+36+4=120.故选C.(2013•全国1•理T9)设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】由题意可知,a=C谿,b=C%+；_,2m1!(2m-lj!•・•13a=7b，.:13,^7^=7・二:—即丄二三,解得m=6.故选B.(2013・山东•理T10)用0,1,・・・,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279【答案】B【解析】构成所有的三位数的个数为::=900,而无重复数字的三位数的个数为:工工；=648,故所求个数为900-648=252,应选B.（2013•全国2•理T5）已知（l+ax）（l+x）5的展开式中X2的系数为5,则a=（）A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】D【解析】因为（1+x）5的二项展开式的通项为xr（0WrW5,rWZ），则含x2的项为：：£x2+ax•::;x=（10+5a）x2，所以10+5a=5,a=-1.（2013•辽宁•理T7）使亡（nWN*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A.4B.5C.6D.7【答案】BTOC\o"1-5"\h\zy1\113i【解析】土-忌展开式中的第r+1项为C：：（3x）n-r3n-r「=，若展开式中含常数项,则存在nGN*,rWN,使n-]r=0,故最小的n值为5,故选B.（2013•大纲全国•理T7）（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A.56B.84C.112D.168【答案】D【解析】因为（1+x）8的展开式中X2的系数为，（1+y）4的展开式中y2的系数为二，所以X2y2的系数为:-J:-；=168.故选D.（2012•湖北•理T5）设a£Z,且0Wa〈13，若512012+a能被13整除，则a=（）A.0B.1C.11D.12【答案】D【解析】°.°512012可化为（52-1）2012，其二项式系数为T=二：：522012-r・（-1）r•故（52T）2012被13除余数为r+1二•（-1）2012=1,则当a=12时，512012+12被13整除.（2012•安徽•理T7）（x2+2）亍-】的展开式的常数项是（）A.-3B.-2C.2D.3【答案】D

已■匸吕【解析】通项为TjC；(?)(T)r=(-l)r需抚g.令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)注-：,；的展开式的常数项是(-1)4^-j+2X(-1)5X：-E=3.(2012•全国•理T2)将2名教师,4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种【答案】A■i1【解析】将4名学生均分为2个小组共有三二3种分法，将2个小组的同学分给两名教师带有壬=2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有孑=2种分法,故不同的安排方案共有3X2X2=12种.(2012•辽宁•理T5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A.3X3!B.3X(3!)3C.(3!)4D.9!【答案】C【解析】完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有竪种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员，共有离总三种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有品总总盂，故选C.(2012•安徽•理T10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4【答案】D【解析】6人之间互相交换,总共有士=15种，而实际只交换了13次，故有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换，当甲与乙、丙与丁之间未交换时，甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时，只有乙、丙两人收到4份礼物，故选D.(2011•全国•理T8)丄一二一的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为()A.-40B.-20C.20D.40A.-40B.-20C.20D.40【答案】D【解析】令x=1得（l+a）（2-l）5=2,••・a=l.原式=x・:二：一二「，故常数项为x・CJ(2x)2-二一［匚；(2x)3厂二=-40+80=40.（2010•山东•理T8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A.36种B.42种C.48种D.54种【答案】B【解析】若乙排在第二位，则有三种方案;若乙不排在第二位,则乙只能排在第三、四、五位,此时共有种方案，故共有-S总=42（种）.二、填空题（2019•天津•理T10）（2x-左）8的展开式中的常数项为答案】28【解析】I]弋；（2x）8-r（1"1苟）=•2=•28-r•(-r・X8-4r.需8-4r=0，r=2.常数项为二26（-”）2二二26_^=28.（2018•天津•理T10）在：:一壬的展开式中,x2的系数为【答案】【解析】展开式的通项为=[-二；C器：•令5可=2,可得r=2.所以的展开式中的X2的系数为>7：（2018•浙江•T14）二项式：：:-亍的展开式的常数项是.【答案】7fnxr门-r*【解析】通项为Tj尙（切上八，；=\曦3,S-4-r当r=2=0.F"I\"-iav7故展开式的常数项为：匕二：〉—=7.（2018•上海•T3）在（1+x）7的二项展开式中,X2项的系数为—（结果用数值表示）.【答案】21【解析】由（1+x）7的二项展开式的通项，得（1+x）7的二项展开式的X2项的系数为^=21.（2018•全国1•理T15）从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有—种.（用数字填写答案）【答案】16【解析】方法一:①恰有1位女生时，有:<:<=12种选法.②恰有2位女生时，有二:-；=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有匚；种选法,3人全是男生时有匸种选法，所以至少有1位女生入选时有二；-二=16种选法.（2018•浙江•T16）从1，3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）【答案】1260【解析】分两类:第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有“訂U品=540;第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有匚匚］-<=720.所以没有重复数字的四位数共有540+720=1260种.TOC\o"1-5"\h\z（2017•山东•理T11）已知（l+3x）n的展开式中含有X2项的系数是54，则n=.【答案】4【解析】二项展开式的通项T=■，：“.（3x）r=3r•C.._•xr,令r=2,得32•C.：=54,解得n=4.r+1&（2017•浙江•T13）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+ax4+ax3+ax2+ax+a，则a=,a=.1234545【答案】164【解析】由二项式展开式可得通项公式为：：x3-r>x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a=4+12=16,令x=04可得a=13X22=4.5（2017•天津•理T14）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有—个.（用数字作答）【答案】1080【解析】①没有一个数字是偶数的四位数有｝=120个；②有且只有一个数字是偶数的四位数有二这二：=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个.（2017•浙江・T16）从6男2女共8名学生中选出队长1人副队长1人普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生，共有—种不同的选法.（用数字作答）【答案】660【解析】由题意可得，总的选择方法为'Hi种方法，其中不满足题意的选法有二茫工：种方法，则满足题意的选法有C：C：=660种.（2016•全国1•理T14）（2x+訂5的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】10【解析】二项式的通项公式T=C；（2x）5-rX：二G；25-rb令5-2=3，解得r=4,r+1—故X3的系数为CjX25-4=10.

（2016•天津•理T10）：：：一二一的展开式中x7的系数为—.（用数字作答）【答案】-56【解析】展开式通项为T皿（x2）8-rd；=（-1）rC：&xi6-3r，令16-3r=7,得r=3,所以展开式中X7的系数为r+1*I（-1）3住=-56.（2015•广东•理T12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了—条毕业留言.（用数字作答）【答案】1560【解析】共有-£=40X39=1560条毕业留言.（2015•天津•理T12）在：:-士的展开式中，X2的系数为.【答案】4【解析】由题意知T=X6-【解析】由题意知T=X6-r・r+1•X6-2r•.令6-2r=2,可得r=2.故所求X2的系数为门二二土（2015•重庆•理T12）：：：-二的展开式中x8的系数是（用数字作答）.【答案】2【解析】展开式的通项公式Tr+]=C；・（x3）5-r・！為,；二金・2-r•天P（r=0,1,2,・・・,5）.令15-=r二&得r=2,于是展开式中x8项的系数是锐・2-2壬.（2015•全国2•理T15）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则a=【答案】3【解析】T（1+x）4=x4+二X3+二X2+二x+二xo=x4+4x3+6x2+4x+1,(a+x)(l+x)4的奇数次幕项的系数为4a+4a+l+6+l=32,/.a=3.（2014・安徽•理T13）设aMO,n是大于1的自然数，｛1+刁的展开式为a+ax+ax2+—+axn•若点TOC\o"1-5"\h\z012nA（i,a）（i=0,1,2）的位置如图所示，则a=•ii答案】3【解析】由题意得a]•壽='=3,.•.n=3a;1uUi：n（.n-lja2〒"=-?7^=4,.n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=O（舍去）..°.a=3.（2014•北京•理T13）把5件不同产品摆成一排•若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有—种.【答案】36【解析】产品A,B相邻时，不同的摆法有-*二：=48种•而A,B相邻,A,C也相邻时的摆法为A在中间,C,B在A的两侧，不同的摆法共^-3=12（种）.故产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48-12=36（种）.（2014・全国1•理T13）（x-y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为.（用数字填写答案）【答案】-20【解析】（x+y）8的通项公式为T=□x8-ryr（r=0,1,…,&rWZ）.当r=7时，T=匚匚xy7=8xy7,当r=6r+18时,T?二C$X2y6=28x2y6,所以（x-y）（x+y）8的展开式中含x2y7的项为x•8xy7-y・28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.（2014•全国2•理T13）（x+a）10的展开式中,x7的系数为15，则a=.（用数字填写答案）【答案】【解析】设展开式的通项为T弍刍X10-rar,r+1令r=3,得T二:f：x7a3,即::f©=15,得a三.4-（2013•浙江•理T11）设二项式•.的展开式中常数项为化则人=—.【答案】-10_乜丄河r口T【解析】T+厂辽冷5-r・一二=订::二・（—1）r・L丫=（—1）心二—匚（—1）r匚［I-H令15-5r=0,得r=3,所以A=（-1）3：：；=-：：E=T0.（2013•北京•理T12）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数■—.【答案】96【解析】分给同一