2020全国一轮复习数学(理科)第五章 平面向量

第五章平面向量第26讲平面向量的概念与线性运算A应知应会一、选择题1.下列命题中，真命题的个数是()①若四边形ABCD是平行四边形，则＝；②平面向量a，b共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa；③若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.A.0B.1C.2D.32.给出下列四个命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③若向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；④设a0是单位向量，若a∥a0，且|a|＝1，则a＝a0.其中假命题的个数为()A.1B.2C.3D.43.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于()A.B.C.D.(第4题)4.(2017·惠州二模)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，F是BC上的靠近点B的一个三等分点，那么等于()A.－B.＋C.＋D.－5.(2018·石家庄一检)在△ABC中，点D在边AB上，且于()＝，设＝a,＝b，则等A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b二、解答题6.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．(第6题)7.如图，在△OAB中，C是以A为中心的点B的对称点，点D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，；(2)若＝λ，求λ的值．(第7题)B巩固提升一、填空题1.(2018·濮阳二模)如图，有5个全等的小正方形，＝x＋y，则x＋y的值是________．(第1题)2.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(________．－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为3.(2018·衡水金卷)已知G为△ABC的重心，点P，Q分别在边AB，AC上，且存在实数t，使得.若＝λ＝μ＝________．＝t，，则＋4.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．二、解答题5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，求(用a，b表示)．(第5题)6.如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求m＋n的值．(第6题)7.设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝ma，＝a－3b，求证：A，B，＝nb，＝αa＋βC三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；(3)设b，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，求证：第27讲平面向量的基本定理与坐标表示A应知应会＋＝1.一、选择题1.已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，则3a＋2b等于()A.(7，2)B.(7，－14)C.(7，－4)D.(7，－8)2.设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A.2B.－2C.±2D.03.已知在平行四边形ABCD中，等于()＝(2，8)，＝(－3，4)，对角线AC与BD相交于点M，则A.B.C.D.4.(2018·泉州质检)已知向量a＝(3，2)，b＝(2，3)，则下列结论正确的是()A.a⊥bB.(a－b)⊥(a＋b)C.a∥bD.(a－b)∥(a＋b)5.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于()A.2B.C.2D.4二、解答题6.(1)已知A(－1，－4)，B，且A，B，C三点共线，求点C的坐标；(2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，求的值．7.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c.(1)求3a－2b＋3c;(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．B巩固提升一、填空题1.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．2.在△ABC中，点P在BC上，且＝________．＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则3.(2018·山西大学附中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)．若其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________．＝λ＋μ，(第3题)4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足，其中α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________________．＝α＋β二、解答题5.如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．(第5题)6.如图所示，给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．(第6题)7.(1)如图，在△ABC中，设＝ma＋nb，求m，n的值．＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，(2)已知在△ABC中，点D满足2＋＝λ，＝μ.若λ＞0，μ＞0，求λ＋μ的最小值．(第7题(1))第28讲平面向量的数量积A应知应会一、选择题1.(2018·郑州二检)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为()A.－2B.－C.－1D.0＝(3，4)，2.在△ABC中，若＝(，－1)，则cosB的值是()A.B.C.D.3.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是()A.－2B.－C.－D.－14.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为等于()的直线与C交于M，N两点，则·A.5B.6C.7D.85.(2018·天津卷)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，|AB|＝|AD|＝1.若E为边CD上的动点，则·的最小值为()(第5题)A.B.C.D.3二、解答题6.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．7.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．(1)若|c|＝2(2)若|b|＝，且c∥a，求c的坐标；，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ的大小．B巩固提升一、填空题1.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．(第2题)2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在边AB上，且AM＝AB，则等于________．·3.(2018·武昌调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且)的最大值是________．⊥，则(－)·(－4.已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得|DE|＝2|EF|，则·的值为________．二、解答题5.在平面直角坐标系中，设向量m＝(cosA，sinA)，n＝(cosB，－sinB)，其中A，B为△ABC的两个内角．(1)若m⊥n，求证：C为直角；(2)若m∥n，求证：B为锐角．6.在平行四边形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，A＝，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若||＝||，求－－·的值．7.在平面四边形ABCD中，已知|AB|＝1，|BC|＝4，|CD|＝2，|DA|＝3，求·的值．第五章平面向量第26讲平面向量的概念与线性运算A应知应会1.A【解析】①注意向量的方向，＝；②注意零向量的特殊性，当a＝0，b≠0时，λ不存在；③模相等的平面向量不一定共线，起点相同时，终点共圆；④当b＝0时，结论不一定成立．2.D【解析】①错误．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②错误．若a或b是零向量，则a与b的方向不相同，也不相反．③错误．向量共线，向量所在的直线可能平行．④错误．a＝a0或a＝－a0.(第3题)3.C【解析】如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.4.D【解析】在△CEF中，＝＋，因为E是DC的中点，所以＝，又F是BC的一个三等分点，所以＝，所以＝＋＝＋＝－.5.B【解析】因为＝－＝a－b，＝，所以＝＝a－b，所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b，故选B.(第6题)6.【解答】(1)如图，延长AD到点G，使连接BG，CG，得到＝，▱ABGC，则＝＋＝a＋b，(a＋b),＝＝＝＝(a＋b),b－a.＝＝b,＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a),＝－＝(2)由(1)可知＝，又，有公共点B，所以B，E，F三点共线．7.【解答】(1)由题意知A是BC的中点，则有＝(＋)，且由D是将OB分成2∶1的一个内＝2＝2a－b，分点，得－＝，从而＝＋＝＋－＝＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由题图知C，E，D三点共线，则＝μ.又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，从而(2－λ)a－b＝μB巩固提升，即解得所以λ＝.1.1【解析】以AF，AE为坐标轴建立如图平面直角坐标系，设小正方形的边长为1，则B(2，－1)，D(0，2)，E(0，1)，F(1，0)，所以＋y＝1.＝x＋y＝x(0，1)＋y(1，0)＝(y，x)＝(2，－1)，所以x(第1题)2.等腰三角形【解析】因为(－)·(＋－2)＝0，即|＝|·(＋)＝0.因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||，所以△ABC是等腰三角形．3.3【解析】设(b＋c)，故＝c，＝b，连接AG并延长交BC于点M，此时M为BC的中点，则c＋b，＝＝(b＋c)，故＝－＝＝－＝μb－λc.由＝t，得则＋＝3.4.【解析】因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得5.【解答】由题易得＝2.＝＋＝＋＋＝＋(－)＝＋×＝＋＝a＋b.6.【解答】因为O是BC的中点，所以＝()．又因为＝m，＝n，所以＝＋.因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，则m＋n＝2.7.【解答】(1)因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，所以与共线．又因为与有公共端点B，所以A，B，C三点共线．(2)因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)＝λka＋2λb，从而解得λ＝±2，故k＝2λ＝±4.(3)因为M，P，N三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，所以＝＝a＋b.因为a，b不共线，所以所以＋＝＋＝1.第27讲平面向量的基本定理与坐标表示A应知应会1.B【解析】因为a∥b，所以m＋4＝0，所以m＝－4，所以b＝(2，－4)，所以3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2.B【解析】因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x，1)，所以＝－2，则x＝－2.解得m3.B【解析】因为在平行四边形ABCD中，有)＝[(－3，4)＋(2，8)]＝＝＋，＝，所以＝(＋，故选B.4.B【解析】因为a＝(3，2)，b＝(2，3)，所以a－b＝(1，－1)，a＋b＝(5，5)，所以(a－b)·(a＋b)＝5－5＝0，所以(a－b)⊥(a＋b)．故选B.5.A【解析】因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)．又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.6.【解答】(1)设C(x，y)，＝－(－1，－4)＝，＝(x，y)－＝，＝(x，y)－(－1，－4)＝(x＋1，y＋4)．因为A，B，C三点共线，所以与，三个向量共线，所以即x－2y－7＝0，故满足x－2y－7＝0的点(x，y)即为点C的坐标．(2)ma＋nb＝(2m，3m)＋(－n，2n)＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，知－2m＋n＝12m＋8n，所以14m＝－7n，所以7.【解答】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．＝＝－.(1)3a－2b＋3c＝3(5，－5)－2(－6，－3)＋3(1，8)＝(15＋12＋3，－15＋6＋24)＝(30，15)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，所以B巩固提升解得1.【解析】由已知得2a＋b＝(4，2)，由c∥(2a＋b)，得＝，所以λ＝.2.(－6，21)【解析】＝－＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，所以＝2＝2(－3，2)＝3(－2，7)＝(－6，＝(－6，4)，21)．＝＋＝(4，3)＋(－6，4)＝(－2，7)，所以＝33.[－1，1]【解析】以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，依题意得D(0，1)，E(1，0)，C(1，1)，B(2，0)，F，＝(－1，1)，＝.设P(cosθ，sinθ)，θ∈，依题意＝λ＋μ，即(cosθ，sinθ)＝，两式相减得2λ－μ＝sinθ－cosθ＝∈[－1，1]．sin.又∈，所以sin4.x＋2y－5＝0【解析】设C(x，y)，则(x，y)＝α(3，1)＋β(－1，3)，即所以x＋2y－5＝0.又α＋β＝1，5.【解答】设＝t＝t(4，4)＝(4t，4t)，则＝－＝(4t，4t)－(4，0)＝(4t－4，4t)，＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)．由，共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝，所以＝(4t，4t)＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．6.【解答】以O为坐标原点，.设∠AOC＝α，α∈所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B，则C(cosα，sinα)．由＝x＋y，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin.又α∈，则α＋∈，所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2.(第6题)7.【解答】(1)连接AR，由P为CR的中点可得.由Q为AP的中点可得a＋b，所以m＝，n＝＝b＋，由R为BQ的中点可得＝a＋＝，所以＝b＋，整理可得＝.(第7题)(2)由题意作出示意图，如图所示，连接AD.因为2＋＝0，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＝xλ＋.因为D，M，N三点共线，所以，所以xλ＋(1－x)·μ存在x∈R，使＝x＋(1－x)，则＋(1－x)μ＝＋，根据平面向量基本定理，得xλ＝，(1－x)μ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝≥，当且仅当λ＝μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为.第28讲平面向量的数量积A应知应会1.B【解析】由a·b＝，可得a，b的夹角为，不妨设a＝(1，0)，b＝，c＝(cosθ，sinθ)，则原式＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cosθ＋cosθ＋，故选B.sinθ－1＝sinθ，所以最小值为－2.B【解析】设向量与所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，cosB＝cos(π－θ)＝－cosθ＝.3.B【解析】如图所示，取BC的中点D，连接AD，取AD的中点E，由＋＝2，则·(＋)＝22)＝2，故选B.·＝2(＋)·(＋)＝2(2－2)＝2(2－2－，当且仅当2＝0，即点P与点E重合时，取得最小值为－(第3题)4.D【解析】过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)，由解得或不妨记M(1，2)，N(4，4)，抛物线的焦点为F(1，0)，所以·＝(0，2)·(3，4)＝8.5.A【解析】连接DB.根据余弦定理可得|DB|＝.由题易知△BCD为正三角形，所以|DC|＝.设＝λ，0≤λ≤1，则＝(＝＋＝＋λ，＝－＝＋λ＋λ2－，所以·＋λ)·(＋λ－)＝2－·2－λ·，其中2＝1，·＝－，2＝3，·＝1×cos30°＝，所以·＝3λ2－λ＋＝3＋，当λ＝时取得最小值，且最小值为.6.【解答】(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，＝(4，4)，则＋＝(2，6)，|＝2－所以|＋，|－|＝4，故所求的两条对角线的长分别为4(2)由题设知＝(－2，－1)，，2－t.＝(3＋2t，5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.7.【解答】(1)设c＝(x，y)，因为|c|＝2，所以＝2，即x2＋y2＝20.①因为c∥a，a＝(1，2)，所以2x－y＝0，即y＝2x.②联立①②，得或所以c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0.①因为|a|2＝5，|b|2＝，代入①式得a·b＝－，所以cosθ＝＝＝－1.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.B巩固提升1.2【解析】