2021-2022学年海南省海口市九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年海南省海口市九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号，填写在下表相应题号的方格内.1．化简（﹣）2的结果是（）A．﹣5B．5C．±5D．252．下列算式中，计算正确的是（）A．＝﹣3B．×＝15C．＝2÷＝3D．+3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤4B．x＜4C．x≤﹣4D．x≥44．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，原方程变形为（）A．（x﹣2）2＝7B．（x+2）2＝7C．（x﹣2）2＝4D．（x+2）2＝15．若关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（）A．﹣4B．4C．﹣D．6．用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（）A．1mB．1.5mC．1.6mD．1.8m7．如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于（）A．3B．3.2C．3.6D．48．已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．9．如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．110．一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，则坡面AB的长度（）A．12mB．18mC．6D．1211．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）A．B．C．D．12．如图，O为矩形ABCD的中心，∠MON＝90°，∠MON绕点O旋转，它的两边分与AB、BC交于E、F．若AB＝4，AD＝6，OE＝y，OF＝x，则y与x的关系是（）A．y＝xB．y＝C．y＝xD．y＝x二、填空题（每小题4分，共16分）13．当x＜1时，＝．14．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：x2+bx+c＝．15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，0），（5，0），点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为（1，2），则点A、E的坐标分别是．16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，与BD交于点F，若sin∠ABC＝，则△AFD和△BFE的面积比为．三、解答题（共68分）17．计算：（1）（2）×；﹣；（3）（1﹣2sin60°）2+．18．某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月份的营业额达到1815万元．求：（1）该商场2月份的营业额；（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标；（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a﹣5，b+3），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．20．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．（1）用画树形图或列表的方法，求取出的两个小球上的数字之和为3的概率；（2）求取出的两个小球的数字之和大于4的概率．21．如图，九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin68.2°≈0.93，≈1.41，cos68.2°≈0.37，≈1.73，tan68.2°≈2.5022．如图1，2，3，将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB1C1D1，连接BD．（1）探究：①如图1，当α＝90°时，点C1恰好在DB的延长线上，若AB＝1，求BC的长；②如图2，连接AC1，过点D1作D1M∥AC1交BD于点M，线段D1M与DM相等吗？请说明理由．（2）在探究（1）②的条件下，射线DB分别交AD1、AC1于点P、N（如图3）．求证：①MN＝AN；②MN2＝PN•DN．参考答案一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号，填写在下表相应题号的方格内.1．化简（﹣）2的结果是（）A．﹣5B．5C．±5D．25【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．解：（﹣）2＝5．故选：B．2．下列算式中，计算正确的是（）A．＝﹣3B．＝15C．×÷＝3D．+＝2【分析】根据二次根式的性质进行化简判断A，根据二次根式乘除法运算法则判断B和C，根据二次根式加法运算法则判断D．解：A、原式＝3，故此选项不符合题意；B、原式＝C、原式＝＝，故此选项不符合题意；＝3，故此选项符合题意；D、故选：C．3．若二次根式A．x≤4B．x＜4C．x≤﹣4D．x≥4（a≥0）进行计算即可．与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）【分析】根据解：由题意得：8﹣2x≥0，∴x≤4，故选：A．4．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，原方程变形为（）A．（x﹣2）2＝7B．（x+2）2＝7C．（x﹣2）2＝4D．（x+2）2＝1【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果即可．解：方程x2﹣4x﹣3＝0，移项得：x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝7，即（x﹣2）2＝7，故选：A．5．若关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（）A．﹣4B．4C．﹣D．【分析】方程x2﹣x+k＝0有两相等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的等式，求出k的值．解：∵方程有两相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4k＝0，解得：k＝，故选：D．6．用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（）A．1mB．1.5mC．1.6mD．1.8m【分析】设窗框AB的长为xm，则AB的邻边长为元二次方程，解之即可求出窗框AB的长．m，根据窗框的面积为1.5m2，即可得出关于x的一解：设窗框AB的长为xm，则AB的邻边长为m，依题意得：x•＝1.5，整理得：4x2﹣12x+9＝0，解得：x1＝x2＝1.5．故选：B．7．如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于（）A．3B．3.2C．3.6D．4【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．解：∵l1∥l2∥l3，2AB＝3BC，∴∴＝＝，＝，∵DF＝6，∴DE＝＝3.6，故选：C．8．已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【分析】在△ADE和△ACB中，由∠AED＝∠B，可得出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质，得＝＝，从而可选出答案．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝＝．故选：C．9．如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．1【分析】要求cos∠ABC的值，想到构造直角三角形，所以连接AC，证明△ABC是直角三角形即可解答．解：连接AC，由题意得：AB2＝32+12＝10，AC2＝12+32＝10，BC2＝22+42＝20，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴cos∠ABC＝故选：B．，10．一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，则坡面AB的长度（）A．12mB．18mC．6D．12【分析】根据迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，可以求得AC的长度，从而得到AB的长度，本题得以解决．解：∵迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，∴即解得AC＝6∴AB＝，＝m，故选：A．11．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠APB＝∠PAC+∠C，∠PDC＝∠PAC+∠APD，∵∠APD＝60°，∴∠APB＝∠PAC+60°，∠PDC＝∠PAC+60°，∴∠APB＝∠PDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCD，∴＝，即＝，∴CD＝．故选：B．12．如图，O为矩形ABCD的中心，∠MON＝90°，∠MON绕点O旋转，它的两边分与AB、BC交于E、F．若AB＝4，AD＝6，OE＝y，OF＝x，则y与x的关系是（）A．y＝xB．y＝C．y＝xD．y＝x【分析】如图，过点O作OT⊥AB于点T，OR⊥BC于点R．证明△OTE∽△ORF，推出＝，可得结论．解：如图，过点O作OT⊥AB于点T，OR⊥BC于点R．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝4，∵∠OTB＝∠A＝90°，∠ORB＝∠C＝90°，∴OT∥AD，OR∥CD，∵OB＝OD，∴BT＝AT，BR＝CR，∴OT＝AD＝3，OR＝CD＝2，∵∠OTB＝∠TBR＝∠ORB＝90°，∴∠TOR＝90°，∵∠MON＝∠TOR＝90°，∴∠EOT＝∠FOR，∵∠OTE＝∠ORF＝90°，∴△OTE∽△ORF，∴＝，∴＝，∴y＝x．故选：D．二、填空题（每小题4分，共16分）13．当x＜1时，＝1﹣x．【分析】利用二次根式的性质化简求出即可．解：∵x＜1，∴＝1﹣x．故答案为：1﹣x．14．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3）．【分析】本题考查了对一元二次方程的解和分解因式的关系的理解和运用，当x1、x2是方程x2+ax+b＝0的两个根，则x2+ax+b分解因式为（x﹣x1）（x﹣x2），代入求出即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3），故答案为：（x﹣2）（x+3）．15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，0），（5，0），点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为（1，2），则点A、E的坐标分别是（3，4）、（4，2）．【分析】由点B、C的坐标求得线段BC＝6；然后根据三角形中位线定理推知DE∥BC，且DE＝BC，易得点E的坐标；最后利用直线AB与直线AC交点的求法得到点A的坐标．解：∵点B、C的坐标分别是（﹣1，0），（5，0），∴BC＝6．∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，且DE＝BC＝3．又∵点D的坐标为（1，2），∴点E的坐标为（4，2）．设直线AB表达式为：y＝kx+b（k≠0），把点B、D的坐标分别代入，得．解得．故直线AB的表达式为y＝x+1．同理，直线AC的表达为：y＝﹣2x+10．所以解得．．故A（3，4）．故答案是：（3，4）、（4，2）．16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，与BD交于点F，若sin∠ABC＝，则△AFD和△BFE的面积比为．【分析】由题意，sin∠ABC＝＝，假设AE＝4k，AB＝5k，则BE＝3k，利用相似三角形的性质求解即可．解：∵AE⊥BC于E，∴∠AEB＝90°，∵sin∠ABC＝＝，∴可以假设AE＝4k，AB＝5k，则BE＝3k，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝AB＝5k，AD∥BC，∵AD∥BE，∴△ADF∽△EBF，∴＝（）2＝（）2＝，故答案为：．三、解答题（共68分）17．计算：（1）（2）×；﹣；（3）（1﹣2sin60°）2+．【分析】（1）利用二次根式乘法运算法则进行计算；（2）化简二次根式，然后先进行分母有理化计算，再算加减；（3）代入特殊角三角函数值，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝﹣＝﹣＝﹣＝2﹣＝2﹣；（3）原式＝（1﹣2×）2+＝（1﹣）2+＝1﹣2＝4﹣+3+．18．某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月份的营业额达到1815万元．求：（1）该商场2月份的营业额；（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．【分析】（1）利用该商场2月份的营业额＝该商场1月份的营业额×（1+20%），即可求出该商场2月份的营业额；（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，利用该商场4月份的营业额＝该商场2月份的营业额×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：（1）1250×（1+20%）＝1250×1.2＝1500（万元）．答：该商场2月份的营业额为1500万元．（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，依题意得：1500（1+x）2＝1815，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为10%．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标；（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a﹣5，b+3），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．【分析】（1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案；（2）画出一个以点O为位似中心的△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2即可；（3）根据相似比即可求得．解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求三角形．B1（﹣1，2）；（2）如图所示，△A2B2C2为所求三角形．B2（﹣2，4）；（3）P2（2a﹣10，2b+6）．20．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．（1）用画树形图或列表的方法，求取出的两个小球上的数字之和为3的概率；（2）求取出的两个小球的数字之和大于4的概率．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．解：（1）或甲和乙112323434545623∴P（和为3）＝；（2）因为共有9种等可能的情况，和大于4的有3种，所以P（和大于4）＝．21．如图，九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin68.2°≈0.93，≈1.41，cos68.2°≈0.37，≈1.73，tan68.2°≈2.50【分析】设楼高CE为x米，得到BE＝（x﹣18）米，然后解直角三角形求出x≈30，即可解决问题．解：设楼高CE为x米，在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝x米，∴BE＝AE﹣AB＝（x﹣18）米，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan68.2°≈2.50（x﹣18）（米），∴2.50（x﹣18）≈x，解得：x≈30，∴AE＝CE≈30米，在Rt△DAE中，DE＝AEtan30°≈30×＝10≈17.3（米），∴CD＝CE﹣DE≈30﹣17.3≈13（米），答：电子屏的高度CD约为13米．22．如图1，2，3，将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB1C1D1，连接BD．（1）探究：①如图1，当α＝90°时，点C1恰好在DB的延长线上，若AB＝1，求BC的长；②如图2，连接AC1，过点D1作D1M∥AC1交BD于点M，线段D1M与DM相等吗？请说明理由．（2）在探究（1）②的条件下，射线DB分别交AD1、AC1于点P、N（如图3）．求证：①MN＝AN；②MN2＝PN•DN．【分析】（1）①先根据矩形的性质和旋转的性质证明点A、B、D1在同一条直线上，再证明△D1BC1∽△∠ABD，设BC＝DA＝D1A＝x，则D1B＝x﹣1，由相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可；②连结DD1，由AD1＝AD得∠AD1D＝∠ADD1，由D1M∥AC1得∠AD1M＝∠D1AC1，再证明∠AD1M＝∠ADB，则∠AD1D﹣