向量分析与场论

向量分析与场论向量分析与场论基础《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。一、物理量的分类1、标量：只有大小，没有方向的物理量。例如温度、能量等1、物理量Y2、向量：有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。、3、张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力2、什么是场？：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如：考虑某一空间的温度时，若空间任意点温度T和该点坐标p(x,y,z)具有函数关系：T=T(x,y,z)，这就构成了一种标量场，这个标量场为温度场；若在某一空间存在流水，当考虑空间处处的流速时，若空间任意点流速V和该点坐标P(x,y,z)具有函数关系：V=V(x,y,z)=Vx(x,y,z)'+Vy(x,y,z寸+Vz(x,y,z)k，其中Vx(x,y,z)、Vy(x,y,z)以及Vz(x,y,z)分别为向量V(x,y,z)在x轴、y轴以及z轴的分量，i、j以及k分别为x轴、y轴以及z轴三个方向的单位向量，(通常又称为方向向量)这就构成了一种向量场(或称为场向量)，这个向量场为流速场。本概要只考虑标量场与向量场，张量场不做讨论；本概要的出发点是为后续《电磁场》课程教学服务，故不追求数学上严格性与广延性。在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。例如力可表示为F。二、几个有用的场向量、向量加、减运算1、位移向量：确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描述。该位移向量的模为线段的长度，位移向量的方向由原点指Z向该点，从原点到空间该点的位移向量又称为该点的矢径，如图一所示。向量和它的模分别表示为：r=xi+yj+zk(2.1)图1、矢径向量的图形

|r|=r=(x2+y2+Z2)s(2.2)对于向量的叠加，满足平行四边形法则如图2所示r1=xj+yJ点的位移向量又称为该点的矢径，如图一所示。向量和它的模分别表示为：r=xi+yj+zk(2.1)图1、矢径向量的图形末点做为第二个向量的起点，画出第二个向量，则从第一个向量的起点到第二个向量的末点所引的有向线段即为二个向量r1与r的叠加结果。问题：判断下述对不对？二个向量进行叠加，合成所得合向量的模一定大于这两个向量模中的任意一个模。同理，向量‘-’运算为‘+’运算的逆运算，例如空间两个点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的位移向量为从点1到点2所引的一条有向线段，大小与方向如图4所示，定量计算该两点之间的位移向量时，由三角形法则，可以确定为两矢径r2与r1之差

(2.4)r12=r2-r1=(x2-x1)i+(y2-y1"+(z2-z#两点向空间任意点p点引出两个位移向量分别为r1与r2,求r1与，(2.4)空图4、向量相“减”的三角形表示解法1：由三角形合成法则，容易看出，P1到P2所引向量di与P2到P点所引向量r2与所以ri=r2+diri-r2=d解法2：设空间任意点p点坐标为(x、z)、P1点必2点坐标坐标为分别为(x1、0)、(x2、0、0),由题设条件则有x2-x1=d由(2・4)式:P1到P点所引向量r1空图4、向量相“减”的三角形表示所以ri=r2+diri-r2=d解法2：设空间任意点p点坐标为(x、z)、P1点必2点坐标坐标为分别为(x1、0)、(x2、0、0),由题设条件则有x2-x1=d由(2・4)式:，广r2=[(x-x1)-(x-x2)]i+[(y-0)-(y-0)】j+[(z-0)-(z-0)]k=(x2-x1))=d^2、单位向量：空间任一向量与该向量的模之比，称为该向量的单位向量。单位向量的含义在于：单位向量的模为1，方向与该向量的指向一致。例如：位移向量的单位向量为：ro=r/|r|=(x，+yj+zk)/(x2+y2+z)1/2=xi/(x2+y2+z2)1/2+yj/(x2+y2+z2)1/2+zk/(x2+y2+z2)1/2由单位向量的概念，(2・1)式矢径向量又可表示为：r=xi+yj+zk=|r|ro=rro(2.5)例题2：空间一点P(1,2,3),由该点到y轴引垂线，求1)垂足到P点的位移；2)该位移的方向向量。解：解题分析：本题的解题关键在于，找出垂足点的坐标。既然是点到Y轴做垂线，该位移一定垂直于Y轴，也就意味着位移处于过垂足点且平行于X-Z平面的平面上，如此，根据坐标的定义，可以判定，垂足点的y坐标值一定与P点的y坐标值相等，由于在Y轴上，垂足点的x、z坐标值均为0,设垂足点为［，则P1点的坐标为P1(0,2,0)。关于位移的图形表示如图4所示，由式(2.4)得rP1P=rP-rP1=(1-0)i+(2-2)j+(3-0卢=i+3k

r0JP的单位向量为r<pp=(，+所)/(12+32)1/2=^/3.16+3k/3.162、线元向量:在空间任意一路径的某一点上，任取一长度微元，线元的大小为微元长度，方向为路径在这点的切向方向，用d1表示，如图6所示。线元d1初始点血P2P1一.'「线元d1末端点图6、线元的图示d1=dxi+dyZ+dzk,其中以及血分别表示线元dl末端点与线元初始点的坐标差。例3如图6,试表示出在半径为R的圆轨道上任意一点处的线元解分析，在实际问题的计算时，对线元的表示应根据实际问题采取有利于计算的表达方式，在本例，我们采用2种表达方法，1）直角坐标下的表达；2）极坐标下的表达第一种方法：由定义有dl=dxi+dyf+dzk由于在X-Y平面，dz=0，所以有dl=dxi+dyf上式中#和dy分别表示在圆上弧角为o+de处以及弧角为e处两点的x坐标差和y坐标差。由于在圆上，圆路径可用以弧度角参数方程表示x=RcosO

y=Rsin。dx=-RsinOdOdy=RcosOdOWdl=RdO（-sinO'+cos。1）（2.6a）图7、线元示意图上式，dl为弧元da所对应的弧长图8、线元示意图注意：1）在圆上任意一点的方向向量都写成ao，但是不同的点所对应的«0方向是不同的；3）单位径向向量可以表示为:，0=cosai+sina|＞切向比径向多转90度，故iIa0=cos（a+兀/2））+sin（a+兀/2）j所以有ao-smJ^+cosJI（2.6b）4面元向量：在空间任意曲面的某一点上，任取一面积微元，面元的大小为面积微元的面积，方向为该面积微元在这点的法向方向，如图9所示。（2.7）dS=dSno式中，n0表示曲面在该点的法向的单位向量，故dS又可表示为:dS=dSnoxi+dSnoJ+dSn0zk（2.8a）式中，吧、noy以及俱为法向单位向量的三个坐标投影分量。故又可以写成dS=dydz^+dxdzf+dxdyk（2.8b）上式dydz、dxdz以及dxdy分别表示面元在yoz、xoz以及xoy平面的投影注意：对曲面上的一点，法向是指过该点且垂直于该点所做的微分平面，若不加以说明，满足这一条件的方向就有两个，如图9所示，其孩。的反方向也垂直于该点所做的微分平面，一般对于闭合曲面而言，法向一般是指外法向，即指向曲面外部；对于非闭合曲面，则可根据实际计算情况加以定义。例4试确定无限大平面上任意一点的面元解要定量地表示出面元，要建立坐标系，如图设无限大平面上为z=0；确定面元有两个因素，其一为面元的大小，其二为面元的方向。对于本问题，假设垂直于平面指向上面的方向为法向，故平面上任意一点的法向都相同，是向上为k。对于面元大小，可以是直角坐标表示，也可以是柱坐标表示，具体需要根据实际的计算需要确定，在本例中，分别给出面元大小的直角坐标表示以及柱坐标表示1）面元的直角坐标表示，在坐标（x,y）点处的面元如图10所示Z轴dS=dS^o=dxdyk（2.9）-2）面元的柱坐标表示，在坐标（尸,0处面元表示如图11所示，面元大小为为dS=rd0dr（2.10）面元为dS=dSnord0drk（2.11）例5、试确定半径为r球面上任意一点的面元图11、平面面元向量的直角坐标图示解球面面元的图示如图12所示，面元大小为：dS=rsinOd^rdO(2.12)其中rsinOd^代表面元的横向弧边弧长，rd0代表面元的纵向弧边弧长。由定义得在由球坐标所点P(r,Q0)处面元为dS=rsinOd^rdO»0(2.13)上式中，法向n0的方向为沿径向指向球面外部，如图12所示利用球坐标可表示为no=r0=r!\r\(2.14)no=r0=r!\r\(2.14)13、向量的标积图用符号“•”为该两个向二个向量的三、向量的两种'积’运算1、向量的标积：向量的标积又称为向量的点积，表示。空间任意两个向量F「F213、向量的标积图用符号“•”为该两个向二个向量的F1F2=|F1\cos0\F2|=[f1x(x,y,z)i+f1y(x,y,(3.1)Fy图14、力做功示意图y，z)k][F2x(x,y,z)i+F2Y(x,y,z)j+F2Z(x,y,z)k]=F1x(x,y,z)F2x(x,y,z)+F1y(x,y,z)%(x,y,z)+匕(x,y,z)%(x,y,z)其中F1x、F1y以及F1z分别表示向量F1的三个坐标分量，对f2同理。(3.1)Fy图14、力做功示意图标积的物理意义理解:如图14所示，用力F把物体沿x轴方向推动，若推动距离(位移大小)为A、则力对物体做了功，由于力的方向与物体位移方向不一致，只有沿x轴的分量Fx对物体做了功;沿y轴的分量Fy对物体没有做功，因为在y轴的方向上，物体没有位移。根据力的分解原理Fx大小为Fx=Fcos0故力所做的功为：W=Fx/=Fcos/切对(3.2)上式中，A1为物体在力的作用下移动的位移向量线元，在这里方向为水平向右。注意：1)e=0,力与位移方向相同，w=fai，此时做功最大；e=90。，力与位移方向垂直，cos0=0,W=0,此时虽有力，有位移，但是力并不做功；0>900,W<0,此时说明力沿位移的投影是在位移的反方向，或者说位移沿力