东华理工大学正概率统计练习册答案

第一章概率论的根本概念一、选择题1.将一枚硬币连抛两次,那么此随机试验的样本空间为〔〕A.{〔正,正〕,〔反,反〕,〔一正一反〕}B.{〔反,正〕,〔正,反〕,〔正,正〕,〔反,反〕}C.{一次正面,两次正面,没有正面}D.{先得正面,先得反面}.设A,B为任意两个事件,那么事件〔AUB〕〔建-AB〕表示〔〕A.必然事件B.A与B恰有一个发生C.不可能事件D.A与B不同时发生.设A,B为随机事件,那么以下各式中正确的选项是〔〕.A.P〔AB〕=P〔A〕P〔B〕B.P〔A-B〕=P〔A〕—P〔B〕C.P(AB)=P(A-B)D.P(A+B尸P(A)+P(B).设A,B为随机事件,那么以下各式中不能恒成立的是().A.P(A-B)=P(A)-P(AB)B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A)=1.假设AB¥小,那么以下各式中错误的选项是〔〕AA.P(AB)至0C.P(A+B)=P(A)+P(B)6.假设AB黄巾,那么().B.P(AB)<1D.P(A-B)<P(A)A.A,B为对立事件B.A=BC.AB=D.P(A-B)EP(A)7.假设A仁B,那么下面答案错误的选项是().A.P(A)_PBB.PB-A_0C.B未发生A可能发生D.B发生A可能不发生8.8.A(iA.假设诸A两两互斥,那么P②A)=ZP(Ai)=12|||,n)为一列随机事件,且P(A4|||An)>0,那么以下表达中错误的选项是().B.假设诸A相互独立,那么P(£A)=1-n(1-P(A))B.C.假设诸A相互独立,那么P(|jC.假设诸A相互独立,那么P(|jA)=nP(A)D.nP(UAi)=P(Ai)P(A2|Ai)P(A3|A2)上P(An|An」)i1.袋中有a个白球,b个黑球,从中任取一个,那么取得白球的概率是().A.12C.—a-ab.设有r个人,rM365,并设每个人的生日在一年那么此r个人中至少有某两个人生日相同的概率为D.-^―ab365天中的每一天的可能性为均等的).A.1一至365rC365r!B.-365rC.r!365.r!D.1--365.设A,B,C是三个相互独立的事件,且0MP(C)<1,那么以下给定的四对事件中,不独立的是().A.AUBA.AUB与CB.C.AC与CD.A-C.当事件A与B同时发生时,事件C也随之发生,那么().P(P(C)一P(A)P(B)-1P(C)一P(A)P(B)-1D.P(C)=P(AD.P(C)=P(AUB).设0<P(A)<1,0<P(B)<1,HP(A|B)+P(A|B)=1,那么().A.A与B不相容C.A与B不独立B.A与B相容D.A与B独立14.设事件A,B是互不相容的,且P〔A〕＞0,P〔B〕＞0,那么以下结论正确的是〔〕.A.P(A|B)=0B.P(A|B)uP(A)C.P(AB)=P(A)P(B)D.PA.P(A|B)=0一,,,一八、1111,、.四人独立地破译一份密码,各人能译出的概率分别为1,1,1,1那么密码最终能被译5436出的概率为〔〕.A.111…八一=一,那么事件A,B,C全不16.P(A)=P(B)=P(C)

1一一,P(AB)=0,P(AC)-P(BC)4发生的概率为〔〕.B.AB.8.三个箱子,第一箱中有8.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个黑球〔〕.5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球3个白球,第三个箱中有

,那么取到白球的概率是A.53120B.219C.包120.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球c10D.19,各类箱子中黑球、白球数目之比为4:4:1,1:2,3:2,这三类箱子数目之比为2:3:1,现随机取一个箱子,再从中随机取出一个球,那么取到白球的概率为〔A.13B19B.45C.15A.13B19B.45C.15c19D.—3019.接上题,假设取到的是一只白球1,那么此球是来自第二类箱子的概率为〔〕.A.B.1D.一7答:1.答案:(B)2.答案:(B)解:AUB表示A与B至少有一个发生,C-AB表示A与B不解:同时发生,因此〔AUB〕〔C-AB〕表示A与B恰有一个发生..答案：〔C〕.答案：〔C〕注:C成立的条件：A与B互不相容..答案：〔C〕注:C成立的条件：A与B互不相容,即AB=®..答案：〔D〕注由C得出A+B=C..答案：〔C〕.答案：〔D〕注：选项B由于nnnnnP〔£A〕=1-P②A〕=1-P〔口A〕=1-nP〔A〕=1-U.—P〔A〕〕i4i1i=1i=1i=1.答案：〔C〕注：古典概型中事件A发生的概率为P〔A〕=史®.N①〕.答案：〔A〕解：用A来表示事件“止匕r个人中至少有某两个人生日相同〞,考虑A的对立事件A“此r个人的生日各不相同〞利用上一题的结论可知P〔A〕=c^=3,故P〔A〕=1-生.365365365.答案:〔C〕.答案：〔B〕解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生〞故P(AB)EP(C)；而P(AljB)=P(A)+P(B)-P(AB)<1,故P(A)P(B)-1<P(AB)<P(C)..答案:(D)解：由P(A|B)+P(砸)=1可知P(AB)P(AB)_P(AB)1-P(A-B)P(B)P(B)-P(B)1-P(B)P(AB)(1-P(B))P(B)(1-P(A)-P(B)P(AB))彳==1P(B)(1-P(B))二P(AB)(1-P(B))P(B)(1-P(A)-P(B)P(AB))=P(B)(1-P(B))———————————一—2一—————一一2=P(AB)-P(AB)P(B)P(B)-P(A)P(B)-(P(B))P(B)P(AB)=P(B)-(P(B))二P(AB)=P(A)P(B)故A与B独立..答案：(A)解：由于事件A,B是互不相容的,故P(AB)=0,因此=0.,由于只要至少有一人能15.答案：〔D〕P(A|B)=P(AB)0P(B)P(B)解：用A表示事件“密码最终能被译出〞译出密码,那么密码最终能被译出,因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码〞,“恰有两人译出密码〞,“恰有三人译出密码〞,“四人都译出密码〞,情况比拟复杂,所以我们可以考虑A的对立事件A“密码最终没能被译出〞,事件A只包含一种情况,即“四人都没有译出密码〞,故p(A)=(i-1)(1-l)(i-1)(i-1)=1=p(a)=2.543633.答案：(B)解：所求的概率为P(ABC)=1-P(A..B..C)=1-P(A)-P(B)-P(C)P(AB)P(BC)P(AC)-P(ABC)44416163-8注：ABCAB=0_P(ABC)-P(AB)=0=P(ABC)=0..答案：(A)解：用A表示事件“取到白球〞,用Bi表示事件“取到第i箱"i=1.2.3,那么由全概率公式知P(A)=P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(AB)11131553.=—>—r十—>—=353638120.答案：(C)解：用A表示事件“取到白球〞,用Bi表示事件“取到第i类箱子〞i=1.2.3,那么由全概率公式知P(A)=P(BJP(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(AB)2132127.T—i-,65636515.答案：(C)解：即求条件概率p(B2|A).由Bayes公式知P(B2|A)=P(B2P(B2|A)=7■15P(Bi)P(A|Bi)-P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|7■15、填空题.E:将一枚均匀的硬币抛三次,观察结果：其样本空间..设A,B,C表示三个随机事件,试通过A,B,C表示随机事件A发生而B,C都不发生为；随机事件a,b,C不多于一个发生..设P(A)=0.4,P(A+日=0.7,假设事件A与B互斥,那么P(B)=;假设事件A与B独立,贝UP(B)=..随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,那么P(AUB=..设随机事件AB及和事件AUB的概率分别是0.4,0.3和0.6,那么P(AB)=..设A、B为随机事件,P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,那么P(AB)=.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"11.p(A)=p(B)=p(C)=一,p(AB)=0,p(AC)=p(BC)=一,那么A,B,C全不发生48的概率为.&设两两相互独立的三事件A、B和C满足条件：ABC应p(A)=p(B户p©得,且p(aUbUc)=—,那么p(A)=.16.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,那么第二次抽出的是次品的概率为..将C、C、E、E、I、N、S这7个字母随机地排成一行,恰好排成SCIENCE的概率为^.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1卿2%现从由A和B的产品分别占60卿

40%勺一批产品中随机抽取一件,发现是次品,那么该次品属于A生产的概率是..甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现目标被命中,那么它是甲射中的概率是^答：{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,正)}abc；AbcUabcIJAbcUAbc或ABUBCUAC0.3,0.5解：假设A与B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B),于是P(B)=P(A+B)-P(A)=0.7-0.4=0.3;假设A与B独立,那么P(AB)=P(A)P(B),于是由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(BP(B),得P(B)=P(AB)-P(A)0.7-0.4寸二二0.5.1-P(A)1-0.44.0.7解：由题设P(AB)=P(A)P(B|A)=0.4,于是P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：由于P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),又pab]PAB)PA()所以P(AB)-P(aUb)-P(B)-0.6-0.3=0.3.6.0.6解：由题设P(A)=0.7,P(AB)=0.3,利用公式AB+AB=A^P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.3=0.4,故P(而)=1-P(AB)=1-0.4=0.6.7.7/12解：由于P(AB)=0,所以P(ABC)=0,于是p(Abc)=p(aIJbLc)=1-p(aUbIJc)=1-[P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)P(ABC)].=1-3/42/6=7/128.1/4解：由于P(AUbUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)由题设2______2P(A)=P(B)=P(C),P(AC)=P(A)P(C)=P(A),P(AB)=P(A)P(B)=P(A),P(BC)=P(B)P(C)=P2(A),P(ABC)=0,因此有旦=3P(A)-3P2(A),解得16P(A)=3/4或P(A)=1/4,又题设P(A)<1/2,故P(A)=1/4.9.1/6解：此题属抽签情况,每次抽到次品的概率相等,均为1/6,另外,用全概率公式也可求解.10.—1260解：这是一个古典概型问题,将七个字母任一种可能排列作为根本事件,那么全部事件数为7!,而有利的根本领件数为

411x2x1x2x1x1x1=4,故所求的概率为一=——7!126011.3/7解：设事件A=｛抽取的产品为工厂A生产的｝,B=｛抽取的产品为工厂B生产的｝,C=｛抽取的是次品｝,那么P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.01,P(C|B)=0.02,故有贝叶斯公式知TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"P(AC)P(A)P(C|A)0.60.013\o"CurrentDocument"P(A|C)=———-===-.\o"CurrentDocument"P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0.60.010.40.02712.6/11解：设人=｛甲射击｝,B=｛乙射击｝,C=｛目标被击中｝,那么P(A)=P(B)=1/2,P(C|A)=0.6,P(C|B)=0.5,故P(A|C)=P^C1=P(A)P(CIa)二0.50.6二.P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0.50.60.50.511三、设A,B,C是三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=[,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=蒋.求A,B,C至少有一个发生的概率.解：P(A,B,C至少有一个发生)=P(A+B+C尸P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=111、四、P(A)=—,P(B|A)=-,P(A|B)=—,求P(AuB).''432解：由解：由P(A|B)定义P(AB)_P(A)P(B|A)

一P(B)—P(B)11金哆生T有1二第二P(B)41由乘法公式,得P(AB)=P(A)P(B|A)=卷1111由力□法公式,得P(A一B)=P(A)P(B)-P(AB)=-46-2^=-^五、男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少？解：A1=｛男人｝,A2=｛女人｝,B=｛色盲｝,显然A〔UA2=S,A1A2=(f)由条件知P(A1)=P(A2)=1P(B|A1)=5%,P(B|A2)=0.25%P(A|B)=PP(A|B)=P(AB)

P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)PA)P(B|A2)TOC\o"1-5"\h\z5100=2°\o"CurrentDocument"15125212100210000六、设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少？(此为第三版19题(1))记A1,A2分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋〞再记B表“再从乙袋中取得白球〞.B=A|B+A2B且A1,A2互斥P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)nN1mN

=■nmNM1nmNM1第二章随机变量及其分布一、选择题1.设A,B为随机事件,P(AB)=0,那么().A.AB=.B.AB未必是不可能事件C.A与B对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X服从参数为九的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},那么P{XA.e?B1AB.12eC.D.1>2}的值为2--2.e3.设X服从［1,5］上的均匀分布,那么().A.P{a<X<b}b-a4B.—一一3P{3:二X::6}二C.P{0:二X:二4}二1D.P{-1:二X-3}4.设XN(」,4),那么().A.X^~N(0,1)4B.,、1P{X<0}=3C.P{X-口2}=1-中(1)5.设XB(2,p),Y~B(3,p),假设P{X5一一之1}=一,那么P{Y21}=().9A.C.192713D.B.198276.设随机变量X的概率密度函数为fX(x),那么Y=—2X+3的密度函数为().A.C.1212fX(fX(y-32y321B.■21D..2fX(fX(y-32y327.连续型随机变量X的密度函数f(x)必满足条件().A.0<f(x)<1B.f(x)为偶函数C.f(x)单调不减D.f(x)dx=1--CO8.假设X~N(1,1),记其密度函数为f(x),分布函数为F(x)5U().A.P{X二0}=P{X_0}B.F(x)=1-F(-x)C.P{X三1}-P{X_1}D.f(x)=f(—x)99.设随机变量X的概率密度函数为f(x),f(x)=f(—x),F(x)是X的分布函数,那么对任意实数2有().aFaF(-a)=1-of(x)dx1aF(-a)=2-0f(x)dxC.F(-a)=C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-110.设X的密度函数为f(x)=<213Vx,0<x<10,其他,那么P{X>-}为().4A.78B.!〞dxC.1-f43Vxdx:：211.设X~N(1,4),①(0.5)=0.6915,6(1.5)=0.9332,那么P{|X|>2}为().A.0.2417B.0.3753C.0.3830DA.0.241712.设X服从参数人的指数分布,那么以下表达中错误的选项是().A.FA.F(x)=*1-e-x,x00,x<0B.对任意的xA0,有P{XAx}=eB.C.对任意的s>0,t>0,有P{X>s+t|X=P{XAtC.D.D.K为任意实数1313.设X~N(R.2),那么以下表达中错误的选项是().B.B.F(x)=：G),,、,a-J,b-」C.P{X(a,b)}=>(--)-Nb-)D.P{|X-''|-k.}=21(k)—1,(k0)14.设随机变量X服从〔1,6〕上的均匀分布,那么方程x2+Xx+1=0有实根的概率是〔〕.A.0.7B.0.8C.0.6D.0.5答：1.答案：〔B〕注：对于连续型随机变量X来说,它取任一指定实数值a的概率均为0,但事件{X=a}未必是不可能事件.2.答案：〔B〕,k-■解：由于X服从参数为九的泊松分布,故P{X=k}=Z_^,k=0,1,2/11.k!1J.2-；■：,又P{X=1}=P{X=2},故M-'=°2F=九=2,因此P{X2}=1-P{X<2}=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2}.TOC\o"1-5"\h\z.20e221e^22e?.5二1一--=1-0!1!2!e23.答案：〔D〕解：由于X服从[1,5]上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为f〔x〕=1,"[1,5].因此,假设点a,b『1,5],那么P{a<X<b}=b—a.0,x[1,5]4•、•、2.、.、3P{3<X<6}=P{3<X<5}=—,P{0<X<4}=P{1<X<4}=一,44〜、〜、21P{-1:二X三3}二P{1二X三3}二—二一.\o"CurrentDocument"424答案：〔C〕X-1解：由于X~N〔N,4〕,故N〔0,1〕;2由于P{X<0}=P{符上<三}=9〔-；〕,而6〔0〕=；,故只有当N=0

1时,才有P{X<0}=—;2一,、一,、〜、一X-.2-口、P{X-「2}二P{X.」•2}=1-P{X_」2}=1-P{-}=1-中(1)；22正态分布中的参数只要求仃>0,对口没有要求.5.答案：(A)解：由于X〜B(2,p),故P{X之1}=1-P{X<1}=1—P{X=0}=1-C2)p0(1-p)2=1-(1-p)2=2p-p2,TOC\o"1-5"\h\z一5515.而P{XX1}=—,故2p-p=—=p=—或p=T舍)；9933由于Y-B(3,p),故010132319P{Y_1}=1_P{Y：二1}=1-P{Y=0}=1-C3仁)(1-二)=1-(二)=—.33327.答案：(B)解：这里g(x)=-2x+3,g(x)处处可导且恒有g,(x)=-2<0,其反函数为…(y)=一^,直接套用教材64页的公式(52),得出Y的密度函数为fY(y)=fX(-^)-十2fXL、3)..答案：(D)注：注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页..答案：(C)解：由于X解：由于X〜N(1,1),所以F(x)=1x(t7)22；e2dt,f(x)=1(xf2—-e2彘eTOC\o"1-5"\h\zX-10-1P{X_0}=P{-——}-力(-1)=1-.：?1)=1-0.8431=0.1569,11P{X_0}=1-P{X<0}=1-P{X_0}=1—：.：,(—1)=0(1)=0.8431;X-11-1P{X<1}-P{-——}=i(0)=0.5,11P{X_1}=1_P{X：二1}=1一P{X<1}=1一力(0)=0.5;.答案：(B)解：由于f(x)=f(-x),所以X的概率密度函数为偶函数,其函数图形关于y轴对称,因此随机变量X落在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的,从而马上可以得出F(0)=P(X£0)=」.我们可以2画出函数f(x)的图形,借助图形来选出答案B.也可以直接推导如下:-aF(—a)=Jf(x)dx,令u=-x,贝U有aF(aF(-a)=-f(-u)du=f(u)du'二'a=f(x)dx=aa1a0f(x)dx-°f(x)dx=2-.0f(x)dx..答案：(A)TOC\o"1-5"\h\z1113-317角军：P{X}=f(x)dx=、xdx=x2|1=一.41127844.答案：(B)_2_1X_12_1,解:P{X>2}=1-P{X<2}=1-P{-2<X<2}=1—P{<<——解:222二1一[「(0.5)-：'(-1.5)]=1->(0.5)1一：'(1.5)=0.3753..答案:(D)解：对任意的x.0,P{X.x}-1-P{X<x}-1-F(x)-1-(1-e-x)-e-'x;选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性〞；对于指数分布而言,要求参数■0..答案：(A)解：选项A改为工m~*0,1),才是正确的；,、,a-1',b-」P{X『a,b)}=F(b)—F(a)=G(——)-^(——)；fftTP{|X-J|_k二}=P{-kc--X-JMk；n=P{-kc-J_X_k；「」},-k；二■□-」Xrk・-'.=P{--}=中(k)-中(-k)=2：j(k)-1,(k0)crcrty.答案：(B)解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数.1x三[16]一、一..、,,一.,为f(x)=W」“].而方程x2+Xx+1=0有实根,当且仅当0,x[1,6]△=X2-4之0=X之2或XE-2,因此方程x2+Xx+1=0有实根的概率为一~一一6-2p=P{X-2}P{X<-2}-=0.8.6-1二、填空题.随机变量X的分布函数F(x)是事件的概率..随机变量X只能取-1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次是—,—,—,—,2c4c8c16c那么C=.当a的值为时,p(X=k)=a(|)k,k=1,2,…才能成为随机变量X的分布列..设离散型随机变量X的分布函数为：.x<-1a,-1<x<1F(x)="--a,1<x<23a+b,x>2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1.且p(x=2)=—,那么a=,b=5.设X〜U[1,5],当x1<1<x2<5时,p(x1<X<x2)=.X.设随机变量X〜N('仃2),那么X的分布密度f(x)=.假设丫=,CF贝1丫的分布密度f(y)=..设X〜N(3,4),那么p{—2<X<7}=..设X〜N(3,22),假设p(X<c)=p(X>c),那么c=^………一…J1J一一….假设随机变量X的分布列为I,那么Y=2X+1的分布列为^050.5।.设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,那么随机变量丫=X2在(0,4)内的概TOC\o"1-5"\h\z率密度为fv(y)=^答1.XMx.解：由标准性知1=.+工+工+,=但=c=".2c4c8c16c16c16解：由标准性知1=2a(2)k=aN23_=2a=a=-.k331-2/32解：由于P{X=x}=P{XEx}—P{X<x}=F(x)—F(x—0),所以只有在F(X)的不连续点(x=-1,1,2)上P{X=x}不为0,且P(X=-1)=F(-1)

-F(-1-0)=a,-F(-1-0)=a,P{X=1}=F(1)-F(1-0)=2/3-2a,P{X=2}=F(2)-F(2-0)=2a+b-2/3,由标准性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3,故a=1/6,b=5/6.5.解:由于X〜U[1,5],所以X的概率密度为1,1_x_5f(x)=4'【0,其它故p(x二一x211x2)=：,f(x)dx=14dx=-(x2-1)..f(x)_(x_J2e2a,*<x<笺；f(y)=.解:P'：-2二X=P-2-3X-37-3<<<:=.：,(2)—：D(-2.5)=中(2)中(2.5)-1=0.99720.9938—1=0.9910p(X二c)=p(X-c)=p(X:二c)=1-p(X:c)8.解:由=①(0)=1=p(X<c)=p(^3<一)=◎(.).2222-c-3――=0=c=329.-9.-13<0.50.5；1010.解：%(y)=P{Y<y}=P{X<...y}=0y1.1'二dx=%y,(0二y二4)j221故〞"47y(°"4).三、一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只,以X表示取出的三只球中的最大号,写出随机变量X的分布律解：X可以取值3,4,5,分布律为1CnP(X=3)=P(一球为3号,两球为1,2号)=一二C3P(X=4)=P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)=1101C；

C33101C?P(X=5)=P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)=一34C5610也可列为下表X:P:3,1104,53610,100,x<1,四、设随机变量X的分布函数为FX(x)=」lnx,1Ex<e,,1,x_e.求(1)P(X<2),P{0<X<3},P(2<X<%)；(2)求概率密度fX(x).解：(1)P(X<2)=Fx(2)=ln2,P(0<X<3)=Fx(3)-Fx(0)=1,_5_5_55P(2二X:二£-Fx(1)-Fx(2)-lnj-ln2-ln^(2)f(x)=F'(x)={1彳—,1<x<e,:ix0,其它五、设随机变量X的概率密度f(x)为x0<x<1f(x)=12—x1<x<2[0其他求X的分布函数F(x).x解：F(x)=P(X_x)=i-f(t)dtx当x：二0时,F(x)=•匚0dt=00xv2当0<x：二1时,F(x)=0dttdt=—02\o"CurrentDocument"01xx2当1Ex£2时,F(x)=0dt°tdt(2-t)dt=8-或-1012x当2二x时,F(x)=匚0dt°tdt：(2-t)dt.20dt=1故分布函数为TOC\o"1-5"\h\z0x<02*0Mx<1F(x)=(222x---11<x<2212<x六、六、设K在〔0,5〕上服从均匀分布,求方程4x2+4xK+K+2=0有实根的概率00:二K<5其他K的分布密度为:f(K)=K的分布密度为:要方程有根,就是要K满足〔4K〕2—4>4X〔K+2〕>0.解不等式,得K>2时,方程有实根.二30d二30dx=-P(K-2)=2f(x)dx=2、dx,七、设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布(1)求Y=eX的分布密度:X^^分布密度为：f(x)={0羽^1Y=g(X)=eX是单调增函数又X=h(Y)=lnY,反函数存在且a=min[g(0),g(1)]=min(1,e)=1:=max[g(0),g(1)]=max(1,e)=ef,1,..Y的分布密度为：Wy)=/[h(y)]|h(y)|=171<y<e0y为其他八、设X的概率密度为2xn0<x<Ttf(x)=</0x为其他求Y=sinX的概率密度.Fy(y)=P(Y<y)=P(sinX<y)当y<0时：Fy(y)=0当0&y&1时：Fy(y)=P(sinX<y)=P(0<X<arcsiny或兀一arcsiny<X<#

arcsinarcsiny2x7c2xdxWdx_arcsiny兀当1<y时：Fy〔y〕=1..Y的概率密度少〔y〕为:yW0时,4(y)=[Fy(y)]'=(0)'=00<y<1时,4(y)=[Fy(y)]'=arcsiny2x7t2xdx冬dxTt_arcsiny兀2l?y时,8(y)=[Fy(y)]'=(1)'=0第三章多维随机变量及其分布、选择题1.1.设Fi〔x〕与F2〔x〕分别是随机变量X与Y的分布函数,为使aF［〔x〕-bF2〔x〕是某个随机变量的分布函数,那么a,b的值可取为〔〕.A.a=3,b5B.a=2,b=2C.a-A.a=3,b5B.a=2,b=2C.a--1,b2D.2.设随机变Xi的分布Xi-1114(i=1,2)且P{X1X2=0}=1,那么P{X1=X2}=().A.0D.1.以下表达中错误的选项是〔〕.A.B.C.D.联合分布决定边缘分布边缘分布不能决定决定联合分布两个随机变量各自的联合分布不同边缘分布之积即为联合分布,但边缘分布可能相同.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,那么〔〕.1A.P{X=i,Y=j}=刀,j=1,2j"636B.,、1P{X=Y}盛,、1P{X-二Y},、1P{X-二Y}2,、1P{X<Y}=—25.设〔X,Y〕服从二维正态分布,22N〔b*2,,,仃2,P〕,那么以下错误的选项是〔〕.2、X-NG,；1)2X-N(^,<T2)C.假设p=0,那么X,丫独立D.假设随机变量S-N〔%32〕,T〜NW2,.；〕那么〔S,T〕不一定服从二维正态分布6.假设X-N〔N1,52〕,Y〜N〔N2,仃2!〕,且X,Y相互独立,那么〔〕.A.XY-N〔」1」2,〔二1二2〕2〕X-Y-N(4-」2,二12C.X-2丫〜N(」1-2」2,二124二；),,22D.2X-Y〜N(2」1--l-2l2r102)7.X〜N(-3,1),Y〜N(2,1),且X,Y相互独立,记Z=X—2Y+7,那么Z~().A.N(0,5)B.N(0,12)C.N(0,54)D.N(-1,2)Csin(xy),0三x,y8.(X,Y)〜f(x,y)={'"'<—4’那么C的值为〔〕.0,其他A.I2B.2CC.、2-1D...219.设(X,Y)~f(x,y)x21xy,

3y<2,,、y,那么P{X+Y21}=()00,其他A.史B.C.D.717272727210.为使f(x,y)="Ae42x3y)xy_0,,yU为二维随机向量0,其他〔X,Y〕的联合密度,那么A必为().12.设(X,Y)~3xy2,0Mx•三212.设(X,Y)~f(x,y)={2,那么(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)(0,其他为顶点的三角形内取值的概率为〔〕.A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8213.设Xl,X2,|||,Xn相独立且都服从N〔巴.〕,那么〔〕.A.X1A.X1=X2二XnB.1(X1nX2|HXn)-N(<—)n222C.2X13~N(2：+3,4.3)D.Xi-X2~N(0,；「i-；：)答：.答案：(A)解：要使F(x)=aF1(x)-bFz(x)是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质,在这里利用Fe)=1这一性质可以得到aFH)-bF2(g)=a-b=1,只有选型A满足条件..答案：(A)解：由P{XiX2=0}=1可知RX1X2=0}=1—P{XiX2=0}=0,故P{X1=-1,X2=-1}P{X1t-1,X2=1}P{X1=1,X2=7}P{X1=1,X2=1}=0=P{Xi=-1,X2=-1}=P{Xi=-1,X2=1}=P{Xi=1,X2=-1}=P{Xi=1,X2=1}=0又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知:1~~~、P{X1=7}=P{X1=—1,X2=-1}P{X1=-1,X2=0}P{X1=-1,X2=1}4,、1=P{Xi--1,X2=0}=—41P{X1=1}=P{X1=1,X2--1}P{X1=1,X2=0}P{X1=1,X2=1}41=P{X1=1乂=0}二41一=P{X2=0}=P{X1=—1,X2=0}P{X1=0,X2=0}P{X1=1,X2=0}21=P{X1=0,X2=0}=--P{X1=-1,X2=0}-P{X1二1,X2=0}=02故P{X1=X2}=P{X11,X2=—1}P{X1=1,X2=1}P{X1=0,X2=0}=0..答案：〔D〕解：联合分布可以唯一确定边缘分布,但边缘分布不能唯一确定联合分布,但如果随机变量X与Y是相互独立的,那么由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布..答案：〔A〕TOC\o"1-5"\h\z解：由问题的实际意义可知,随机事件{X=i}与{Y=j}相互独立,故111...P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{丫=j}=-T-7=—,i,j=1,2,|||6;C6C6366611{X=Y}="{X=k,Y=k}=P{X=Y}="P{X=k,Y=k}6=kmkd36615P{X二Y}=1-P{X=Y}=1一~；66{X<Y}={X<Y}u{X=Y},而事件{X<Y}又可以分解为15个两两不相容的事件之和,即{X二Y}胃X=k,Y=k1}-{X=k,Y=k2}JU-{X=k,Y=6},k=1,2,3,4,5151517故P{X二Y}二一二P{X<Y}二P{X二Y}一P{X=Y})———一3636612.答案：〔B〕解：当〔X,Y〕|_N〔d,%,52,o2,P〕时,X~N〔〕,.；〕,Y~N〔心.力,且X和Y相互独立的充要条件是P=0;单由关于S和关于T的边缘分布,般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的..答案：〔C〕解：〔方法1〕首先证实一个结论,假设丁~N〞q2〕,那么S=TM〔蚀仃2.证实过程如下〔这里采用分布函数法来求S=-T的概率密度函数,也可以直接套用教材64页的定理结论〔5.2〕式〕：由于FS(s)=P{SMs}=P{-T<s}=P{T一-s}=1-P{T—s}=1-P{T<-s}=1-FT(-s),J」2(s-1一一21--T-2-故fS(s)=—fT(—s)M(—1)=fT(—s)=-^e笛=-^e2仃,这说明-T•.2二二.2二二也服从正态分布,且S--T-N(-J,-2).所以这里-Y〜N(-%,4).再利用结论：假设Xi与X2相互独立,且Xi~N(%52),i=1,2,那么X1+X2〜N(3+均,.12+a分.便可得出X+Y〜N(W.；+o；);X—Y〜N(此-邑2,V+.2)；22X-2Y=(X-Y)-Y〜N(J1-2」2M4二2)；222X-Y=X(X-Y)-N(2」1-」2,4；L；二).(方法2)我们还可以证实：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,且假设Xi〜N(以仍),i=1,2jll,n,那么TOC\o"1-5"\h\znnnY八kH〜N「kiJk'i2)

i4i4i4故X+Y~N(地+西,52+仃2);X-Y〜N(丹—％.2+4)；\o"CurrentDocument"2222X-2Y〜N(4-2%,二i24；")；2X-丫〜N(2」i-」2,4『二2)..答案：(A)X3解：由于X~N(-3,1),Y-N(2,1),所以乙==(X+3)〜N(0,1,)1Z2=T=(Y-2)LN(0,1),故Z3=—2Z2=—2(Y—2)1N(0,(—2)2父1)=N(0,4),1而Z=Z1+Z3,所以Z〜N(0,5)..答案：(D)解：由联合概率密度函数的标准性知二二44431=f(x,y)dxdy=Cdxsin(xy)dy=C[cosx-cos(x)]dx

蠢30004.=C[sinx-sin(x-)]04-22—1=C=,/214.答案：(A)解：P{XY_1}=f(x,y)dxdyxy_129115Q40165二dx(xxy)dy=(-x-xx)dx:——°1137770632772.答案:(B)解：由联合概率密度函数的标准性知1rnlnMnnlnuniTOC\o"1-5"\h\z■■■■…、八A-2v--3,A1=f(x,y)dxdy=Adxe'y)dy=—ed(-2x)eyd(-3y)--A=6.二006.06.答案：(C)解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域,用G表示矩形域［0<x<2,0<y<1］,那么所求的概率为2124P{(X,Y)D}=f(x,y)dxdy=-xy2dxdy=dx-xy2dy=(1*)dx=0.6.DD「］G20x220216.答案:(B)解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,且假设Xi~NN,.：)J=1,2,|||,n,那么TOC\o"1-5"\h\znnnY八kiXi~N「k"「k"i2).1i1i1n1.n1cc..：■-2idnidn因此一(Xi+X2+HI+Xn)~N(E—N,£(—)2.2)=idnidn..222X1-X2~N("-J,.二)=N(0,2.).令Z=2XJ3,由教材64页定理结论中的(5.2)式可知,Z的孑*2[z-(2R3)]2概率密度函数为fz(z)=^je-k.三后西e-k,故2X1+3N^^2仃3,4)、填空题(X,Y)是二维连续型随机变量,用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示以下概率:1)p(a<X<b,Y<c)=;2)p(X；a,Y：二b)二；3)p(0；Ywa)=；4)p(X>a,Y<b)=..随机变量(X,Y)的分布率如下表,那么Ct,P应满足的条件是.12311/61/9P1/1821/2ot12.设平面区域D由曲线y=—及直线y=0,x=l,x=e所围成,二维随机变量(X,Y)在区域xD上服从均匀分布,那么(X,Y)的联合分布密度函数为..设(X,Y)〜N(%&,.2,仃2,P),那么X,丫相互独立当且仅当P=..设两个随机变量X与Y独立同分布,且P(X=-1)=P(Y=-1)=1/2,P(X=1)=P(Y=1)=1/2,那么P(X=Y)=;P(X+Y=.=;P(XY=1)=.答：1.F(b,c)-F(a,c);F(a,b);F(+«,a)-F(+«,0);F(+,b)-F(a,b).：:=1/6.解：SD「dx=[ln|x|h2,故f(x,y)上2,吧:D.1x0,(x,y)-D4.0.5.解：P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)=P(X=-1)P(Y=-1)+P(X=1)P(Y=1)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)=1/2;P(X+Y=0)=P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1)=P(X=-1)(Y=1)+P(X=1)P(Y=-1)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)=1/2;P(XY=1)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)=P(X=-1)P(Y=-1)+P(X=1)P(Y=1)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)=1/2.设随机变量(X,Y)概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0：：：x：：：2,2：：：y：：：40,其它(1)确定常数k.P{X<1,Y<3}(3)求P(X<1.5}(4)求P(X+YP4}分析：利用P{(X,Y)CG}=[ff(x,y)dxdy=』［f(x,y)dxdy再化为累次积分,其中G'DoDo二3(x,y)0二x<2,k4四、(3)(4)1.541P(X<1,5k4四、(3)(4)1.541P(X<1,5)=P(X<1,5,Y二二)=dx(6-x-y)dy02824「xP(XY<4)=dx-0-0设二维随机变量(cxX,Y)的概率密度为f(x,y)=?0,其它(1)试确定常数(2)求边缘概率密度.2732■二-一二1y212—解：1=!Jf(x,y)dxdy=dycxydx二c4y2dy二----0-y034c二2121c=—4X~fX(x)=1212zx27xydy21二一x80,2(1其它解:=〕ff(x,y)dxdy=〕[k(6-x-y)dydx解:-02—13P(X；1,Y：二3)=0dx,2-(6-x-y)dy=j0-y-1其它y212HY〜fY(y)=70-y-1其它四、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为4.8y(2-x)f(x,y)=04.8y(2-x)f(x,y)=0J其它0MxM10MxM1其它解：fx(x)=/f(x,y)dy二,[4.8解：fx(x)=/f(x,y)dy二,2,y2yx11x21x21——P(Y£X)=f(x,y)dxdy=0dx0e2dy-0dx°de2=1-0e2dxD20ri1一,一、•一,一2、一,一、产一㈠打4.8y(2-x)dx=2.4y(3-4y+y2)0<y<1fY(y)=Jf(x,y)dx=」Jyq©其它五、设X,Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布.Y的概率密度为fY(y)=12,0,y<0.(1)求X和丫的联合密度.(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率.--1,xW(0,1)解：(1)X的概率密度为fX(x)=J、0,其它Y的概率密度为[1工1c2fY(y)=\2e,y>0且知X,Y相互独立,TOC\o"1-5"\h\z0,y<0.>于是(X,Y)的联合密度为11^八f(x,y)=fX(x)fY(y)=2e0：x：：1,y0、0其它(2)由于a有实跟根,从而判别式A=4X2—4Y之0\o"CurrentDocument"22.即：Y<X记D={(x,y)10cx<1,0<y<x}

0一二~二1一、2：--1e2dxu1—..2：(：：1(1)-：：,(2))u1--2；(0.8413-0.5)..2二0N(160,202)分布.随机=1-2.50663120.3413=N(160,202)分布.随机六、设某种型号的电子管的寿命〔以小时计〕近似地服从地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解：设Xi,X2,X3,X4为4只电子管的寿命,它们相互独立,同分布,其概率密度为:2〔t」60〕2忏⑴-——1e-kV1222011f{X<11f{X<180}=FX(180)=2-20180(t-160)22022-dt入t-160u120__,2二t=S=0.8413u2e2du二中〔180-6020)设设N=min{X1,X2,X3,X4}P{N>180}=P{Xi>180,X2>180,X3>180,X4>180}=P{X>180}={1—p[X<180]}=(0.1587)=0.00063第四章随机变量的数字特征、选择题1.X为随机变量,E(X)=-1,D(X)=3,那么E[3(X21.X为随机变量,A.1A.18B.92.设二维随机向量C.30D.32〔X,Y〕的概率密度函数为e4xy)0::x：二0：y:…f(x,y,0,,其它,'那么E(XY)=()A.0B.1/2C.2D.1〔X,Y〕是二维随机向量,与Cov〔X,Y〕=0不等价的是〔〕.A.E(XY)=EXEYB.D(XY)=DXDYC.D(X-Y)=DXDYD.X与Y独立X,Y独立,且方差均存在,那么D(2X—3Y)=().A.2DX-3DYB.4DX-9DYC.4DX9DYD.2DX3DY.假设X,Y独立,那么().A.A.D(X-3Y)DX-9DYB.D(XY)=DXDYP{Y=aXb}=1C.E{[X-EX][P{Y=aXb}=1.假设Cov(X,Y)=0,那么以下结论中正确的选项是().A.X,Y独立D(XY)A.X,Y独立C.C.D(XY)=DXDYD.D(X—Y)=DX-DY.X,Y为两个随机变量,且E[(X—EX)(Y—EY)]=0,那么X,Y().A.独立B.不独立C.相关D.不相关.设D(X+Y)=DX+DY,那么以下结论正确的选项是().A.X,Y不相关B.X,Y独立C.Pxy=1D.Pxy=—1.下式中恒成立的是().A.E(XY)=EXEYB.D(X-Y)=DXDYCov(X,aXb)=aDXD.D(X1)=DX1.下式中错误的选项是().D(XY)=DXDY2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY一一1一Cov(X,Y)[D(XY)-DX-DY]2D(2X-3Y)=4DX9DY-6Cov(X,Y).下式中错误的选项是().A.A.EX2=DX(EX)2B.D(2X3)=2DXC.C.E(3Yb)=3EYbD.D(EX)=0.设X是一随机变量,EX=N,DX=仃2,仃＞0,那么对任何常数c,必有().----2_2_2A.E(X-c)=EX-CB.2.2E(X-c)=E(X-」)C.C.E(X-c)2:二DXD.13.随机变量X的概率分布律为P{X().A.—(n21)B.—(n2-1)1212■、日工e导14.随机变量X〜f(x)={10e,&,A.—1B.10C.21D.20E(X-c)2_二2,一一,=k}=—,k=1,2jll,n,那么D(X)=n212C.12(n1)D.(n-1)12x>0,那么E(2X+1)=().x_041014.X服从［0,2］上的均匀分布,那么DX=().A.B.CA.B.C.D.112.假设Y=X1+X2,Xi〜N(0,1),i=1,2,那么().A.EY=0B.DY=2C.Y~N(0,1)D.Y~N(0,2).设(X,Y)服从区域D={(x,y):0Mx,yWa}上的均匀分布,那么E|X—Y|的值为().TOC\o"1-5"\h\z1八D.A.0B.aCD.2.以下表达中正确的选项是().X-EX~N(X-EX~N(0,1)DXA.D()=1DXC.EX2=(EX)2D.EX2=DX(EX)219.2x,0,0:：x：二1其他以Y表示对X的三次独立重复观察中XM—〞出现的次数,那么DY=().A.2B.屿C.刍D.41694320.设〔X,Y〕为连续型随机向量,其联合密度为f〔x,y〕,两个边缘概率密度分别为fX(x)与fy(y),那么下式中错误的选项是()."fao-bo-boA.EX=xfX(x)dxB.EX=xf(x,y)dxdy-****C.EY2!」y2f(x,y)dxdyD.E(XY)!」,xyfX(x)fY(y)dxdy答：1.答案：(D)解：由于D(X)=E(X2)—[E(X)]2,所以E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+1=4,故E[3(X2)20]=E[3(X2)]E(20)=3E[(X2)]20=3420=32..答案：〔D〕解:二一二-二-二--x-y)：-_x_解:E(XY)-1—xyf(x,y)dxdy=xye"dxdy=[xedx]=1000.答案：〔D〕解：Cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y),故Cov(X,Y)=0uE(XY)=EXEY;D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y),故Cov(X,Y)=0uD(X+Y)=DX+DY；D(X—Y)=DX+DY—2Cov(X,Y),故Cov(X,Y)=0仁D(X—Y)=DX+DY；Cov(X,Y)=0=Pxy=0,但不能说明X与Y独立.解：由于X,Y独立,所以2X与3Y也独立,故D(2X-3Y)D(X)D(Y3)D4X.(DY.答案：(C)解：当X,Y独立时,D(X-3Y)=D(X)+D(3Y)=D(X)+9D(Y)；E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}:E[XY-XE(Y)-YE(X)E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y),而当X,Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y),故E{[X-EX][Y-EY]}=0；P{Y-aXb}=1=|成丫|=1..答案：(C)解：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),当X,Y独立时,可以得到Cov(X,Y)=0而Cov(X,Y)=0uPxy=0,即X,Y不相关,但不能得出X,Y独立；D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y),故Cov(X,Y)=0uD(X+Y)=DX+DY；D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y),故Cov(X,Y)=0=D(X-丫)=DX+DY..答案：(D)解：E[(X-EX)(Y-EY)]=0=Cov(X,Y)=0=PXY=.,即X,Y不相关..答案：(A)解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=DX+DY=Cov(X,Y)=0=Pxy=0,即X,Y不相关..答案：(C)解：E(XY)=EXEY成立的前提条件是X,Y相互独立；当X,Y相互独立时,有D(X—Y)=DX十DY,即D(X—Y)=DX+DY成立的充分条件是X,Y相互独立；而D(X-Y)=DXDY-2Cov(X,Y)=DXDY：二Cov(X,Y)=0=：；xy=0即X,Y不相关,所以D(X-Y)=DX+DY成立的充要条件是X,Y不相关；Cov(X,aX+b)=Cov(X,aX)+Cov(X,b)=aCov(X,X)=aD(X);D(X1)=D(X)D(1)2Cov(X,1)=D(X)..答案：(D)解：由1D(+X)=—；Y+2D(2X-3Y)=D(2X)D(3Y)-2Cov(2X,3Y)=4D(X)9D(Y)-12Cov(X,Y),.答案：(B)解：由D(X)=E(X2)-[E(X)]2nE(X2)=DX+[E(X)2]；D(2X+3)=D(2X)+D(3)+2Cov(2X,3)=4D(X)；E(3Yb)=E(3Y)E(b)=3E(Y)•b；E(X)是一个确定的常数,所以D(E(X))=0..答案：(D)解：E[(X-c)2]=E(X2-2cXc2)=E(X2)-2cE(X)c2

=E(X2).[E(X)]2{[E(X)]2-2cE(X)c2)TOC\o"1-5"\h\z222_2_2二E(X2)-[E(X)]2[E(X)-c]2=D(X)[E(X)-c]2,D(X)-c2.答案：(B)解：£凶=鼠1二鼠二3=0,k4nnk^n222、：,211；,21n(n1)(2n1)(n1)(2n1)E(X)二k一二一、k二二)k」nnkmn66故D(X)汩^T(n2F.答案：(C)5二5二二1二解：E(X)=xf(x)dx=xe10dx.：：o10厂xxrxy1二—x=-xde10=-xe10|0--10e10d()=10o010=E(2X1)=E(2X)E(1)=2E(X)1=21..答案：(B)22解：由于当X[]u[a,b]时,D(X)=(二),故这里D(X)=(偌)=』.16.答案：(A)解：由于Xi〜N(0,1),i=1,2,所以E(X1)=E(Xz)=0,D(X1)=D(Xz)=1又由于Y=X/X2,所以E(Y)=E(X"E(X2)=0,D(Y)=D(X1)D(X2)2Cov(X1,X2)=22[E(X1X2)-E(X1)E(X2)]=22E(X1X2),而X1与X2的独立性未知,所以E(X1X2)的值无法计算,故D(Y)的值未知.解：由于(X,Y)服从区域D={(x,y)|0Ex,ywa}上的均匀分布,所以(X(X,Y)的概率密度为f(x,y)=1-2,(x,y)Da0,(x,y)-Dda_da_a.x.、.2ax2.2dx(x-y)dy—dx=a00a02解：令X*『,那么有EX*=0,DX*=1,但不一定有/axay1.

E|X-Y|=.|x-y|f(x,y)dxdyF[dx(x-y)dydy(y-x)dx]002a3a/万"318.答案:(D)*X-EXX=八、N(0,.1)、DX.答案：(A)解：由题意知P{XM；}=(2xdx=1,故Y服从参数为3和1/4的二项分布,即Yb(3」),因止匕D(Y)=npq=3父]黑°=2.44416.答案：(D)解：E(XY)=f^^xytxydxdy只有当X与Y独立时,才有E(XY)=J-j-xyfx(x)fy(y)dxdy.二、填空题.随机变量X服从参数为九的泊松分布,且D(X)=2,那么p[X=仆=^.离散型随机变量X可能取到的值为：-1,0,1,且E(X)=0.1,E(X2)=0.9,那么X的概率密度是

2.设随机变量X~N(此仃),那么X的概率密度f(x)=X-口、,一…、EX=；DX=.假设Y=,那么Y的概率密度f(y)=aTOC\o"1-5"\h\zEY=；DY=..随机变量X~N(匕4),且E(X2)=5,那么X的概率密度函数p(2<X<4)=0.3,为^.假设随机变量X服从均值为3,方差为仃2的正态分布,且P(2<X<4)=0.3那么P(X<2)=^.随机变量X的分布律为：X01234p1/31/61/61/121/4TOC\o"1-5"\h\z那么E(X)=,D(X)=,E(-2X+1)=..设DX=4,DY=9,PXY=0.5,那么D(2X-3Y)=.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次击中目标的概率为0.4,那么X2的数学期望E(X2)=.答：1.解：由题设K=D(X)=2,故p{X=1}=2%%=23：.解：假设P(X=-1)=a,P(X=0)=b,P(X=1)=c,贝Ua+b+c=1,-a+0+c=e(x)=o.i,a+c=e(x2)=0.9,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即X的概率分布是P(X=-1)=0.4,P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.5.1_(x-)21当f(x)--^^e4,EX=」,DX=.2；f(y)-e2,EY=0,DY=1.2二二2二解：由题设E(X2)=D(X)+[E(X)]2=4+N2=5=N=1,故X的概率密度函数度函数为f(x)=_1_2、2二,(x4)2一_8~解：由题设p(2：X：二4)=p"：…：三).p(」^3口.J)7(」)craaaaacraTOC\o"1-5"\h\z二2：：,(1)-1=0.3=[J)=0.65.craX-32-311=p(X：：2);p(::)=：/(-_)=1」u(l)=0.35CTCTffCT.解:E(X)=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4;E(X2)=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12;D(X)=E(X2)-[E(X)]2=67/12-49/16=121/48;E(—2X+1)=-2E(X)+E(1)=-7/2+1=-5/2..解:DX=4,DY=9,：XY=0.5,D(2X-3Y)=D(2X)D(3Y)-2Cov(2X,3Y)=4D(X)9D(Y)-12Cov(X,Y).=4D(X)9D(Y)-12:xy、、DXDY=1681-36=61.解：由于X服从n=10,p=0.4的二项分布,根据二项分布的性质,EX=np=4,DX=np(1-p)=2.4,故E(X2)=DX+(EX)2=18.4.三、设随机变量x的分布为X-202Pk0.40.30.3求E(X),E(3X2+5)解：E(X)=(—2)>0.4+0>0.3+2>0.3=—0.2E(X2)=(-2)2X0.4+02>0.3+22X0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+E(5)=8.4+5=13.4四、设随机变量X的概率密度为f(x)=f(x)=e^,x>00,x<0求(1)Y=2X(2)Y=e-2x的数学期望.解：(1)E(y)j-2xf(x)dxo二C斗,2xedxri+oOri+oO-l-2xe,-2e’•=20「Nx・E(Y)=e/xf(x)dx=’6二Nx/eeexJ3x———e3五、设随机变量Xi,X2的概率密度分别为fl(X)=fl(X)=3r_2x2ex>0一、f2(x)—“4eX,0.4x,x0,x<0求(求(1)E(Xi+X2),E(2Xi—3X2);(2)又设Xi,X2相互独立,求E(X1X2)解:E(X1解:E(X1•X2)=E(X1)•E(X2)='x2e^x0dx-।x4e'xdx