广西桂林市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题

△嘶的周长是△嘶的周长是12,则椭圆的离心率为（)△嘶的周长是△嘶的周长是12,则椭圆的离心率为（)广西桂林市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.设且d>b,则下列判断一定正确的是（）B.bB.b>

di2•下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）x2-—=l4C.亍丄=123.在MBC中，已知d=笛小=J，,ZB=45°,那么角4等于（）A.30E.30或150°C.60D.60或120。4・在平面直角坐标系xOy中，己知点A（-JU）,点3（1、—1）.点p是动点，且直线4P与BP的斜之积等于£，则动点P的轨迹方程为（）C.x2-3y2=2A.x2-3y2=-2B.xC.x2-3y2=2D.x2-3y2=2（x^=±l）y<2已知变量满足约束条件<x+y>l,则z=3x+y的最人值为（）A.12B.11C.8D.-1已知命题：pAq为真，则下列命题是真命题的是（）A.（予）八（勺）B.（F）V（F）C.pV（F）D.（^P）Aq7・已知点P是椭圆二+匸=1@>2）上的一点，仟,尺分别是椭圆的左右焦点，且cr422TOC\o"1-5"\h\z51JIA.—E・一C.—D.16228.在AABC中，三个角A,5C对应的三边分别是a,b,c,若A,suf3—sm'4=JJsinBsmC—sm'C，则角4等于（）A,C.冬D-6・12TOC\o"1-5"\h\z9•设xeR,贝ij"%2-4x-5<0”是“亍+6x+5>0”的（）A・充要条件A・充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.设f（n）=2+24+27+210+•••+23w+10（we2V#）,则加等于（）|（S，，-l）|（8，，+1-1）TOC\o"1-5"\h\z*87）|（8n+4-l）11•设MBC中，三个角A5C对应的三边分别是abc,且abc成等比数列，则角3的取值范I韦1是（）A.（0，£]B.[―,/T）C.（0,—]D.匕,龙）o633Jn12.以椭圆壬+宁=1上的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C,其左右焦点分别是PM•PF\_PM•片迅，已知点M坐标为（2,1）,双曲线C上点卩（兀』0）（尤0>0,儿>0），PM•PF\_PM•A-I-，则^APA/Fj—的值为（A-IB.1C.2D.4二、填空題已知｛。”｝为等差数列，ci4+a5=18,则Ss=.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于心,开）,3（冷,力）两点•如果\+x2=6,那么等于.

15.若命题“对15.若命题“对Vx>l,都有a<x+”是假命题，则实数。的取值范闱是16.过双曲线用-买=1的右焦点尸作一条直线几直线/与双曲线相交于两点,若有且仅有三条直线/,使得弦4B的长度恰好等于2,则双曲线离心率的取值范围为•三、解答题已知等差数列@”｝满足勺+冬=10,①—6=2.（I）求｛©｝的通项公式；（II）设等比数列｛$｝满足by,b5=a7,问：心与数列的第几项相等？在如图所示四边形ABCD中，AD=DC,AC=5JIBC=-41.^ADC=120°,ABCD=75°,求四边形ABCD的面积.甲乙两地相距100km,货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80如?/力，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的1倍，固定成本为"元.9（1）将全程匀速匀速成本（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）若g=400,为了使全程运输成本最小，货车应以多人的速度行驶？（本小题满分12分）已知抛物线C:y2=4%的焦点为F,直线l-y=k（x+2）.（1）若抛物线C和直线/没有公共点，求R的取值范怜I；（2）若kvO,且抛物线C和直线/只有一个公共点M时，求|MF|的值.已知｛①｝为等比数列，其前〃项和为S”，且S”=2”+cgwM）.（1）求“的值及数列｛$｝的通项公式；(2)若btl=(2n-l)afj9求数列｛»｝的前"项和人・22.设椭圆C：咅+首=l(a>b>0)的左、右焦点分别为垃,尸2,上顶点为力，过点4与4F2垂直的直线交轴负半轴于点Q，且2瓦瓦+耳0=6・若过力、Q.Q三点的圆恰好与直线Z：%-V3y-3=0相切，求椭圆C的方程；在(2)的条件下，过右焦点Q作斜率为C的直线Z与椭圆C交于M、4两点，在兀轴上是否存在点P(m,O)使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形，如呆存在，求出M的取值范闱，如果不存在，说明理由.参考答案A【解析】对于A:函数y=V7在R上单调递增，当a>b时，有扬〉奶，故A对；对于E：当a=O,b=一1时，有a>b但故B错；对于C：当a=l,b=—1时，有a>b但丄>；,故C错；ab对于D：当a=\,b=一1时，a>b但0=问,故D错;故选A.TOC\o"1-5"\h\zA【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为y=±2x,故选a.考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.D【详解】ab亘卫=2“A卫由正弦定理得一匚二一7得五一7?"2所以角4等于60或120•sinAsmB—2故选D.E【解析】设P(x,y),V直线AP与BP的斜率之积等于=i即4—^=-.-.3x+lx-l3jr-l3x2-3v2=-2(x^±1).故选B.E【分析】【详解】画出可行域如图阴影部分,由y=2和x-y=l得C(3,2)目标函数z=3x+y可看做斜率为-3的动直线，其纵截距越人，z越犬,由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3x3+2=11故选BC【解析】试题分析：因为命题pAq为真，所以命题为真，命题为真，则F为假，T/也为假，则(F)/\(F)为假；「PyVLQ为假mq为假，p\/(「G)为真，答案为C.考点：真值判断.A【解析】22椭圆^_+—=1中，b=2,.H=J7t，APF'F,的周长为a~42d+2c=2a+2yja2-4=12/.d+-4=6‘解得a=^"c=~^"e=~^'故选A.C【解析】sin'B-sin2A=V^siiiBsinC一sin2C得b2+c2-a2=羽be:.cosA=—:.A=—■26

故选C・B【解析】解F-4x-5v0可得-1vx<5,解F+6x+5>0可得x〈-5或1，所以―丫一5vO”是乍+6x+5vO"的充分不必要条件.故选B.D【解析】试题分析：数列2,2f2叫…2林是首项为2,公比为F=S的等比数列,所以/<j3)=2+24+27+-.+23wl考点：等比数列通项公式.C【分析】由已知条件结合等比数列知识，代入余弦定理进行化简，求出范I制【详解】b,c成等比数列，•••，=〃，由余弦定理，得COSB二土竺n込竺显又眉（0,，:曲（°,勺2ac2ac23故选C・【点睛】本题利用等比数列，余弦定理表示cosB,结合不等式得出cosB的范閑即可得出角B的范闱.C【解析】・・•椭圆方程为++「］,・・.其顶点坐标为（3,。）、心，0）,焦点坐标为(2,0)、(-2,0),A双曲线方程为—-^-=1,设点P(x,V),记45pM・pRpM・pFI——Fi（-3,0）,F：（3,0）,—=一，所以PM在Pf；上的投影与丽在尸林rr2巫上的投影相等，所以点M到PF；与P&的距离相等，即点M落在AF{PF2的角平分线上，又在双曲线中点M在右顶点的正上方，所以点M为△戶片&的外心，且由纵坐标等于1可知外接圆的半径为1,所以S旳年-S"呗=|（|Pf；|-|Pfi|）r=l-2a.r=6Jr=2xl=2.故选C.点睛：本题通过转化有关向量的等式可知点M落在角平分线上，结合双曲线中二级结论，△PFf,的外心落在右顶点的正上方，可知点M即为外心，再结合双曲线的定义即可解决问题.72【解析】{an}为等差数列，a4+a5=al+a3二1&所以=“弘沁）=4x18=72.2故答案为72.8【分析】抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于B（x2,y2）两点，故|4纠=兀+兀+2,由此易得弦长值.【详解】解：由题意，p=2,故抛物线的准线方程是x=—1,•・•抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于4（西,必）,B（x2,y2）两点，/.|ABf=xi+x2+29又xL+x2=6fA\AB\=xk+x2+2=S・故答案为：8.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，人人降低了解题难度.a>2y/2+l【解析】若命题“对Vx>l,都有«<x+一”是真命题，令y=x—l+—+1>2V2+L当X-lX-1x=V2+l时取等号•所以命题为真命题时，CU2JI+1，命题为假命题时，a>2近7故答案为6/>2^+1-(1“)【解析】匚=1中，a=l,所以2a=2,由题意过右焦点作直线有且仅有三条直线儿使得弦4巧的Zr长度恰好等于2,所以一条为x轴，另外两条肯定是与右支分别有两个交点，所以<2/.b2<1/.c2<2vn=1/.1<^<忑.a故答案为(1,^2).点睛：本题中要利用到过焦点作直线与一支交于两点则弦长>—,与两支分别相交则弦a长>2a,掌握了这点就可以轻松解决此题.(I)an=2n+2；(11)128.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(I)利用等差数列的通项公式，将©，冬，①，①转化成陽和d,解方程得到①和〃的值，直接写出等差数列的通项公式即可；(1【)先利用第一问的结论得到"和仇的值，再利用等比数列的通项公式，将"和力转化为切和q,解出切和9的值，得到心的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出〃的值，即项数.

试题解析：(I)设等差数列｛%｝的公差为d.因为①一&3=2,所以d=2.又因为©+冬=10,所以2q+d=10,故4=4.所以％=4+2(〃一1)=2〃+2(“=1,2,…).(II)设等比数列｛9｝的公比为q.因为$=殆=8,代=①=16,所以q=2,%=4.所以be=4x2i=128.由128=2/?+2,得n=63.所以饥与数列｛alt｝的第63项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.18・10馆.【解析】试题分析：AD=DC,得ZDAC=ZDCA=30°9连接对角线AC,在\ADC中，由正弦定理，得一缪一=一——,即-^―='羽，，解得AD=5.在AABC中，sinZACDsinZADCsiii30sinl20ZBCA=45°，则Sug=saacd+Saacb=*AD•DC•smZADC+*AC•BC•sinZACB,代值计算即得解.试题解析：1on0_i70°由AD=DC.^ZDAC=ZDCA=—一=30%连接对角线AC,在AADC中，2由正弦定理，得4DsmZACDAC由正弦定理，得4DsmZACDACsinZADC即益二鴿’解得初“在WC中，ZBCA=ZBCD-ZACD=75°-30°=45°,则Swm=S、\CD+Skb=—AD-DC-sinZADC+—AC-BCSwm=S、\CD+Skb=—AD-DC-sinZADC+—AC-BC-sinZACB2弓5.5罰2。。+存屈芈19.(i)y=v+-）,定义域为（0,80].⑵当货车以60hn/h的速度行驶，全程运输V成本最小.【解析】试题分析：（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；（2）利用基本不等式y=100（和+型卜19vJ40003即可得结论.试题解析：⑴可变成本为护，固定成本为6,所用时间为晋,100—v2+即y=loo‘1d)—V+—V〔9丿(9V)所以）』,定义域为（0,80].（1400、4000v400（2）y=100-V+——当且仅当只=一,即v=60时，等号成立,vJ39v4000所以当y=60时，.答：当货车以6Qkm/h的速度行驶，全程运输成本最小.（1）kV-1或R>*.（2）2.【解析】试题分析:⑴联立方程yy试题分析:⑴联立方程yy2=4x=k(x+2)+l整理得A）'-4y+4（2£+l）=0,由抛物线C和直线/没有公共点，则AvO,即可求得R的取值范制（2）当抛物线C和直线/只有一个公共点时，记公共点坐标为旳（兀,儿），由A=0,即一16（2/+R—1）=0,解得k=—1或kJ,因为k<0,故k=-l,将y=-x-1代入尸=4x得F-2x+l=0,求得x的值即得点M的坐标，可求阿鬥的值.试题解析:

（1）联立方程<y（1）联立方程<y2=4x

y=k（x+2）+l整理得ky2-4y+4（2k+1）=0,由抛物线C和直线/没有公共点，则△<（）,即一16（2/+k—1）<0,解得kv—1或k>»（2）当抛物线C和直线/只有一个公共点时，记公共点坐标为/"（忑,％），由4=0,即一16（2£‘+R-l）=0,解得R=—1或鸟=壬，因为k<0,故k=-\,将y=-x-l代入y2=4a-得扌-2x+1=0,解得x=l,所以兀=1由抛物线的定义知:|M鬥=#+x°=l+l=2.（1）。=一1,©=2"T（“wN+）；⑵7；=3+（2“—3）・2".【解析】试题分析：（1）当”=1时，©=2+当n>2时，a”=S”—S”t=2”t,因为｛a”｝是等比数列，所以©=2+0=21=1,即q=i,a=—i,可求得数列｛①｝的通项公式;（2）由（1）得b“=（2〃-1）陽=（2〃-1）・2"\利用错位相减法即可求得数列0”｝的前〃项和人.试题解析：（1）当”=1时，S]=q=2+d,当n>2时，aH=Sn-=2"~l,因为｛。”｝是等比数列，所以4=2+o=2」t=1,即q=l,a=—1,所以数列｛a”｝通项公式为an=2n-\neN+）.（2）由（1）得b“=（2,Ll）a“=⑵则7；,=lxl+3x2+5x22+7x22+■••+（277-1）-2,,_17；,=lx2+3x22+5x234-7x22+..-+（2n-3）-2n_1+（2M-l）-2",两式相减可得一*7；=lxl+2x2；!+2x2'+2x2：!+...+2・2"T—（2〃—l）・2”=l+2（2+2，+2，++...+2"T）—（2〃一1）.2",=1+4（2"T-1）-（2n-1）•2"=（3-2町•2",所以7>3+(2〃一3)・2"点睛：本题中利用与S”的等量关系即可求得通项公式，利用错位相减法求得数列前n项和，有关数列求和中的裂项相消法，并项求和法等都需要熟练掌握.(1)e=\(2)=1⑶0vmv扌【解析】⑴设Q(xo,0),由(c,0),A(0,b),知瓦2=(一“)远=(如“)VF.A—AO.:.—ex.—b1=0.7^7?7*i0•°,由2砒+也=0,可阴为£Q中点.从而得到—21+c=—2c,二沪=3/-八，进一步计算可求出记心率的值.(2)由⑴知可求出△AQF的外接圆圆心为(-斗，0),半径尸£|FQ