倒易点阵复习材料

5?5?例题2.1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵.反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵.［证明］选体心立方点阵的初基矢量如图1.8所示,aia2a3a2a2a2其中a是立方晶胞边长,?,?Z?是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积Vca1a2a33-a2根据式（2.1）aia2a3a2a2a2其中a是立方晶胞边长,?,?Z?是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积Vca1a2a33-a2根据式（2.1）计算倒易点阵矢量a2a3ai,b32V7a1a2Vca2a3a2a2ya2a2a2

a22—)?2Vca3aia2a2a2a2a2a2Vc2b3aia2旦2a2旦2旦2旦2a2于是有：2 2 2b——xy,b2——？？，fc3——??a a a显然b1,b2,b3正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4/a.同理,a1a同理,a1a?2a2aQ-y2a3a????对面心立方点阵写出初基矢量如图1.10所示。初基晶胞体积V印a如图1.10所示。初基晶胞体积V印a2a3根据式(2.1)计算倒易点阵矢量—x>??,b2— x>a a2y?,b3-a显然，bi,b2,b3正是体心立方点阵的初基矢量,故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4/a.2.2.2(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是32 /Vc，这里Vc是晶体点阵初基晶胞的体积；(b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身.［证明］(a)倒易点阵初基晶胞体积为 bib2b3，现计算bib2bs.由式(2.1)(a)知,bl22

a?abl22

a?a3,bzV 2 V7c V(—a3c2a1，b3V—a1a2c此处乂 a1 a2a32 22 22 22 2b2b3VTa3 ai ai a22vTa3aia2aia3 ai ai a2这里引用了公式：ABCDBCD。由于a3aiai 0，故有b2b322_vTa3aia2aiVc a3aia2故有b2b322_

vTaibl b2b322a1bl或写成bl b2b3Vcaia232a3Vcai a2 a3倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的23倍。(b)现要证明晶体点阵初基矢量ai,a2,a3满足关系aib2b32 ,a2bi b2 b3b3bib~W，a32pgb1b2b3有前面知:22b2b3Vai令c, 2b2 b3bi b2b322Vcai bl b2 b31又知b1b2b3 —2Vc3，代入上式得:33332C, ——VccVc~ai 32ai同理C2b3b,2 bi b2 b3 a2C3 2可见,倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身.2.3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面 (hkl),(a)证明倒易点阵矢量Ghkl hb,kb2lbC3 2可见,倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身.2.3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面 (hkl),(a)证明倒易点阵矢量Ghkl hb,kb2lbs垂直于这组平面(hkl)；(b)证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为:dhkl2Ghkl(C)证明对初基矢量ai,a2,a3互相正交的晶体点阵，有1dhkljf2 2 2上一丄Va a2 a3(d)证明对简单立方点阵有adhkl Jh2k2l2证明参看图2.3,在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是a7h,ajk,a^l.现要证明G(hkl)垂直于ABC,只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可.b1b2a3bi b2 bs2222罔2,3a? a3CA辛孑，CBkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2.2),立即可得GhklCA hb,罔2,3a? a3CA辛孑，CBkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2.2),立即可得GhklCA hb,kb2lb3 —— hdhllb3同理，GhklCB0故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl).(b)点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为GhkldhklOA?—hGhklahb,kb2h |ghklIlb32Ghkl(c)如果晶体点阵的初基矢量ai,a2,a3彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交.b, bi5?,b2 b2?b3 bs?由倒易点阵基矢的定义bi2Vca2a3,b2VVcasabi2Vca2a3,b2VVcasa,,b32Vcai a2Vca1a2a3得bl2/ai,b22/a2,b32a3hkl/222Vhh kb2 lb32££上~~2~2~~2aia2a3a2as于是面间距为dhkl jGTkidhkl jGTki1[—22h A¥ai a22丄a3(d)对立方晶系中的简单立方点阵,a(d)对立方晶系中的简单立方点阵,ai a2 a3a，用(C)的结果可得dhklIaJh2k2I22.4二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB=4,AC=3，夹角BAC/3的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量.［解］解法之一参看图2.4,晶体点阵初基矢量为a1 45?用正交关系式(2.2)求出倒易点阵初基矢量b,,b2。设bl bbl bixXbiy?b2b2xX^b2y?由b由b1a1 2,b1a20,b?ai 0,b?a? 2得到下面四个方程式45?3x5?Dy? 2(1)4:?b2xXb2y? 0b2x：?由式⑴得:4bx2,bix由式⑵得:乎由式⑴得:4bx2,bix由式⑵得:乎bly343〒九0解得:bly由式(3)得：4b2x0,b2x代入式⑷得：萼％,b2y代入式⑷得：萼％,b2y43/3于是得出倒易点阵基矢4bl??诙恥373解法之二选取a3为？方向的单位矢量，即令a3 ?于是初基晶胞体积Vc为Vc aVc aia2 a34?6/3倒易点阵基矢为a3a3ai3/3?a1a2 2?对二维点阵，仅取X,?两个方向，于是得blr?近？bblr?近？b22.5简单六角点阵的倒易点阵简单六角点阵的初基矢量可以取为73ai——ai2证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为 2n/C和4/J3a，并且相对于正点阵转动了30角;当比率C/a取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值？如果正点阵的C/a比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少 ？(C)绘出简单六角点阵的第一布里渊区,并计算其体积.［解］(a)选取简单六角点阵的初基矢量如图(C)绘出简单六角点阵的第一布里渊区,并计算其体积.［解］(a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2.5所示.ai—ax*a?,a2 —a?222|y'a3cZ初基晶胞体积为ZO1aa2.5简单阵的一组初基矢ZO1aa2.5简单阵的一组初基矢aVc a3 ai a2 逅a2c2倒易点阵初基矢量为2一a2Vca3?屆Vc a3 ai a2 逅a2c2倒易点阵初基矢量为2一a2Vca3?屆20J?ab22一a3Vcai?075a2备?b32一aVca22Vc)?43a243a2或写为¥?，b2>/3a2?2同正点阵初基矢量,a2,a3cZ?比较看出，bi,b2,b3所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为 2/c和4I罷a，并相对于正点阵绕c转动了30角（见图2.6）。bbi b2b3bbi b2b3caa2/3gT撐撐0.931若c/a c/a,则有c2/a2^’c/a故当正点阵的c/a值为搏时,倒易点阵的c/a和正点阵的c/a有相同值。若正点阵c/a=罟，则倒易点阵的c/a为c/a霁0.53TOC\o"1-5"\h\z故当正点阵的c/a为理想值时，倒易点阵的这个比值为 0.53.简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的为一六角正棱柱(如图2.7),其体积为3 32_ 163Vc 娱2c即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为163

亦a2c2.6底心正交点阵的倒易点阵证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵.［证明］1b?a3cZ底心正交点阵的惯用晶胞如图21b?a3cZai aZ,a2一af2初基晶胞体积为VabcVcV倒易点阵基矢为bia2bia2a3 2Vc1 1 2 4 2-X -?,b2 ——a3 ai ——?b3 ——aiab Vc b Vca2由图2.4/a,43占底心正爻点時的一缸九芯天盘由图2.4/a,43占底心正爻点時的一缸九芯天盘a 底心正交歳阵的创昌成陆Ast2.7三角点阵的倒易点阵三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为为B,试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为其中是倒易点阵初基矢量间的夹角,满足-cos0=cos0/(1+cos9［证明］三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等.现令初基矢量为asin?acos?acos(1)a1a)?a2acos?asin?acos?acos(1)a3acosX参见图2.10,cos,cos,cos是a3在X、y、z三个方向的方向余弦。cosa3qcos2~

a得coscoscosa3a?coscos1coscossin于是有cos[12cos2 i12cos]coS 1cos212sin2图3-101212121212121212由倒易点阵基矢的定义可知b,,b2,b3分别垂直于正点阵初基晶胞的9293,9391,9192平面，且有相同长度，b,b2b3b2 2.——9SinVcVc 9i 929393 919293sincos代入上式得229sin9 9sincos9cos(8)bl,b2,b3彼此间应有相间夹角.bib2cos 29cos一9利用公式ABCbi,b2间的夹角为22_

vT929393 91ABC上式化为COS同理可以证明为了计算cos192 93934.~9sin9192939391 9291934 . 29sinbi,b2,b3任意二矢量间的夹角均为此值。9，利用式（4）得到cos22彳212cos1cossin2 122cos1coscos1cos2coscos代入式(7)得9 —192coscos(9)都是最短的倒易点阵矢量，都是最短的倒易点阵矢量，bl a b3，并都在立方晶胞的＜111＞方向，故｛111｝都是最短的倒易点阵矢量，都是最短的倒易点阵矢量，bl a b3，并都在立方晶胞的＜111＞方向，故｛111｝2.8点阵平面上的阵点密度d/Vc，这里d/Vc，这里Vc是初基晶胞的体积，d是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离;证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是｛111｝面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是｛110｝面.［证明］(a)考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图 2.11所示.设该平行六面体中包含n个阵点，它的体积为VnVc或写为VAd其中A是所考虑的平行六面体底面的面积，d是它的高.由以上二式得AdnVc于是点阵平面上的密度为ndA Vc(b)由(a)可知，面间距d较大的点阵平面也有较大的阵点密度.由倒易点阵矢量与面间距d的关系Ghkl2Ghkl2dhkl可知，倒易点阵矢量G(hkl)越短，与之垂直的点阵平面(hkl)两点密度也就越大.面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量2a2面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量2a2a2abib2)?y??平面有最大的阵点密度.体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量232b体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量232bly?b2y?3也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的V 110＞方向，故｛110｝平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面.2.9单斜点阵的面间距 已知平面族(hkl)的面间距与倒易点阵矢量G(hkl)间的关系为dhkl其中Ghklhb,其中Ghklhb,kb2lb3，试证明单斜点阵的面间距d(hkl)由下式决定_1产hkl sin*2_1产hkl sin*2证明:90, 90,3, 32 33初基晶胞的体积为

Vc a2 a^ ai 3]a2a3sin(hkl)平面族的面间距为dhkl2dhkl2Ghkl要计算d(hkl)，除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义biVcasinbiVcasin2 a3 ai2Vca22|aia22Vca3sin2 a?2b2b3此外，有b3bi24b3bi24qa2 a2爲77224a a： a：a3.24cosa1a3sinbib2b2b3 0代入d(hkl)的表达式中得42

d2hklsin2hai1l42

d2hklsin2hai1l22hlcosaia3k2a2_1__d2hkl1・2

sina32hlcos k2—2aia3 a22.10外斯晶带定律属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明,(a)晶带轴［uvw］与该晶带中的平面(hkl)满足关系uhvkwl0(b)证明晶面(hikili)，(hzkzJ)，(hsks®属于同一晶带的条件是0000111213hikih?k111213证明(a)以晶面指数(hkl)为指数的倒易点阵矢量G(hkl)是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是Ghklgkb2lb3必定在晶面(hkl)法线方向.而晶带轴［uvw］的方向矢量为Rua1va2wa3.既然晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向，带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行RGhkl0用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系abj 2abj 2ij0,ij2,ij直接可得uhvkwl(b)既然h(b)既然hikili,h2k2l2,gksk属于同一晶带，由(a)有uh-ivkiwli0uh2vk2wl2 0uh3vk3wl3 0由于u,v,w不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即1112132.11hikih1112132.11一个单胞的尺寸为ai4,a26,as8,a 90, i20，试求:(a)倒易点阵单胞基矢;(b)倒易点阵单胞体积;(210)平面的面间距;此类平面反射的布喇格角(己知A1.54?).(a)画出此单胞如图2.13所示. 写出晶体点阵单胞基矢如下:a4X；a2 3:?3/3?,a38?晶体点阵的单胞体积为乂a3a1a2 a1a2a3sin12096/3(?)3闇2.13闇2.13单斜单胞乐:心询珈法倒易点阵单胞的基矢为2 C1c」Vr倒易点阵单胞的基矢为2 C1c」Vra2a32"石？，b22一a3Vc 3—aia? —?Vc 4(b)倒易点阵单细体积为(b)倒易点阵单细体积为b1 b1 b2 b3-3(c)与晶面(hkl)(c)与晶面(hkl)垂直的最短倒易点阵矢量Ghkl为4?Ghklhbkb2bh訂 h2/354?2 5G210 *忑看39>?373?G210d210 2(d)(210)面反射的布喇格角 为154Sin ——0.53422d2102arcsin0.5342 32.32.12(a)从体心立方结构铁的(110)平面来的X-射线反射的布喇格角为22,X-射线波长入=1.54?，试计算铁的立方晶胞边长；(b)从体心立方结构铁的(111)平面来的反射布喇格角是多少?(c)已知铁的原子量是55.8,试计算铁的密度.(a)求出(110)平面的面间距」…C 1.54d110 2sin 2sin22于是求得点阵常数为d(110)2.056?a血d110 2.91?(b)(111)平面的面间距为ad111丁1.68?

V3于是(111)平面反射的不喇格角为Sin訂?0.458arcsin0.458 27.28(c)固体密度的公式为ZMa3其中a是立方惯用晶胞边长，Z是立方惯用晶胞中的原子数，M为原于的质对M个阵点求和后，上式化为9.已知半导体GaA豊具有闪锌矿结构，Ga和A鮭两原子的彳近距离d=245X10山口试求：(1)晶格常数；(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；(:密勒指数为(110)晶面族的面间距；(4)密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角，解：⑴由题意可知，GaAs^晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处彳面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上.HJiGHJiG= a4-,巧d= a44J=-=x2.45x1 =5.59囂10一巴用打可知:d)由于G^As的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：TOC\o"1-5"\h\zCI IJIa,=-{j+kl=2/795x +2a.=-(k+i)=2.795x +i)2a.=-(i+j)=2.795xll)-'\i+j)2其倒格子基矢为:2t 10b]=—(-i+j+k)=lJ24xl{)"(-i+j+k)dbj=—(i-j+k)=1.124 -j+k)abj=—(i+j-^k)=1J24xi(r'\i+j-k)□G)密勒指数为(110)晶面族的面间距为:1-b, +0b.(4)根据倒格于矢的性质可知，密勒指数为⑴0)和⑴1)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢和之间的夹角，设为CL,则有：Ka-arccos“『K山_Um十16+0小}(15-1小严l・bj|kuo|-K^jI|l-bj+Ibl+O-bJIbb,-1 +l*b3=arccos{-03015)=107.55"6•如图所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a,试求正格子基矢和倒格子基矢.解：取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使町的方向和i的方向相同，于是有：那么有:刃,=日1d・叭？3应.a=一丄+ J「22加r1

=—(I--J>QV34jr.b,=2—玄［xk)

kXa,ba=2矿 -J=-ja,(Hjxk)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4如果基矢厅/’？构成简单正交系*证明晶面族（ftt/）的面间距为： [tl-\ =\h2Jt2 /3（―）n+（—）'/tf h （'证明；简单正交系：a丄：丄？ «1=«/.«2=hj,=ck倒格子基矢:a h C倒格子矢量:K=hby+kb空+吊3倒格子矢量:2兀一 "-=h /+疋 7+/ ka b C品面族的面间距:p试问如下晶体的基元是什么？布拉菲格子是什么？基元OOO布拉菲格子基元OOO布拉菲格子(20)(20)4岸of-吟舁表明该晶体厲单斜晶系*衷明该晶4岸of-吟舁表明该晶体厲单斜晶系*衷明该晶体澀交晶系*卩)表明该蔚休膺六方晶系,简单航斜点阵璽式.〃b有右螺旋轴，丄b有歸?鞠而.榆单正交点阵，如有2欄旋轴，/7b有2關旌轴，处有药简单A方点阵.处有压、螺K轴，仝有町窿而•着明镀晶体展四労胡系f体心四方点阵珂处药7反轴，必有'i旌楼输《前b有M滑樣而・g明跆S休風;MT品系，而心立方点阵儿处有4屈旋轴，丄萌溺移面，"叶X有3反轴，右2雄暮轴，_0+