新课标高中数学必修5全套教案

课题:§1.1.1正弦定理C转动。图1.1-1）角与边的等在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中,式关系。如图1.1-2,在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asinA

cC转动。图1.1-1）角与边的等在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中,式关系。如图1.1-2,在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asinA

c又sin从而在直角三角形sinBcsinCABC中,asinAsinBsinCC(图1.1-2)授课类型：新授课・教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系,引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。培养学生合情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力， 通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。・教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。・教学过程I.课题导入如图1.1-1,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?n.讲授新课［探索研究］思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3,当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=a如图1.1-3,当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,贝U—a—sinAsinB同理可得从而—sinCsin

bsinAsinBcsinC图1.1-3)由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究思考：是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。uuuu（证法二）：过点A作j AC,由向量的加法可得uuruuruirABACCBiruiriruuruirjABjuuuu（证法二）：过点A作j AC,由向量的加法可得uuruuruirABACCBiruiriruuruirjABj(ACCBiruiriruuruuirjABjACjCBruurABcos900A0rurnCBcos90同理，过点从而类似可推出，当csinAasinC,即uurBC,可得sinAc

sinCsinBsinCsinAsinBsinCABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinAsinBsinC［理解定理］（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA,bksinB,(2)存在正数k使aksinA,bksinB,(2)sinAsinBsinC等价于cksinC;

bsinAsinBsinCsinBsinAsinC从而知正弦定理的基本作用为:①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如b①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如bsinAa sinBsinAasinAasinBo

b解三角形。解三角形。②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作［例题分析］例1.在ABC中，已知A32.00,B81.80,a42.9cm,解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20;根据正弦定理,

basinBsinA根据正弦定理，asinCbasinBsinA根据正弦定理，asinCc-sinA 0—80.1(cm);sin32.0042.9sin66.20 、sin32.00 74.1(cm).评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2.在ABC中，已知a20cm,b28cm,A400,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm)。bsinA28sin400sinB 0.8999.a因为00vBv1800,⑴当B640时，所以20B640,或B1160bsinA28sin400sinB 0.8999.a因为00vBv1800,⑴当B640时，所以20B640,或B1160.C1800(AB)1800(400640)760,asinC20sin760c 0sinAsin400⑵当B1160时，30(cm).C1800(AB)1800(4001160)240,asinC20sin240c 0sinAsin40013(cm).评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,m.课堂练习第5页练习第1(1)、2(1)题。［补充练习］已知ABC中，sinA:sinB:sinC(答案：1:2:3)W.课时小结(由学生归纳总结)可能有两解的情形。1:2:3,求a:b:c(1)或a(2)定理的表示形式：-a-sinAksinA,bksinB,c正弦定理的应用范围：bsinBcsinCksinC(k0)sinAsinBsinC①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。v.课后作业第10页［习题1.1］A组第1(1)、2(1)题。・板书设计・授后记

课题：§1.1.2余弦定理授课类型：新授课・教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法， 并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论， 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。・教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。・教学过程I.课题导入如图1.1-4,在如图1.1-4,在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C,求边c(图1.1-4)1-5,r2br2arr

2ab从而1-5,r2br2arr

2ab从而2 2 2cab2abcosC( 图1.1-5)同理可证2,2 2abc2bccosAn.讲授新课［探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边由于涉及边长问题，b2a2c22accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量， 可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：,2 2 2bca,2 2 2bca2bc2 2 .2acb2ac2 2 2bac2ba［理解定理］从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若 ABC中，C=900,则cosC0,这时c2a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。［例题分析］例1.在ABC中，已知a2J3,c76J2,B600,求b及A⑴解：b2a2c22accosB二（2.3）2（、6.2）222.3（'.62）cos450=12(,6 2)243(31)二8b22.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:12,⑵解法一：「cosab\c2a2(22)2(6 2)2e3)12,2bc 22.2(.6 2)A600解法二：:sinAasinB2^3sin450,b2.2又•••7672>2.41.43.8,2T3<21.83.6,..a<c,即00vA<900,A600

A的取值范围。134.6cm,b87.8cm,c161.7cm,解三角形可由学生通过阅读进行理解)评述：解法二应注意确定例2.在ABC评述：解法二应注意确定例2.在ABC中，已知a(见课本第8页例4,解：由余弦定理的推论得：2 2 2cosAbca2bc87.82161.72134.622 2I2「cabcosB 2ca_2 2 _2C1800(AB)1800(5602032C1800(AB)1800(5602032053)m.课堂练习第8页练习第1(1)、2(1)题。［补充练习］在ABC［补充练习］在ABC中，若a2b2c2bc,求角A(答案：A=120°)W.课时小结(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的应用范围：①.已知三边求三角；②.已知两边及它们的夹角，求第三边。V.课后作业①课后阅读：课本第9页［探究与发现］②课时作业：第11页［习题1.1］A组第3(1),4(1)题。・板书设计・授后记

课题：§1.1.3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课・教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能， 从而从本质上反映了事物之间的内在联系。・教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。・教学过程I.课题导入［创设情景］思考：在ABC中，已知a22cm,b25cm,A1330,解三角形。(由学生阅读课本第9页解答过程)从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。n.讲授新课［探索研究］例1.在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况分析：先由sinBbsinA可进一步求出B；a则C1800(AB)从而c从而casinC

A.当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。.当A为锐角时，如果a>b,那么只有一解；如果ab,那么可以分下面三种情况来讨论:(1)若absinA,则有两解；(2)若absinA,则只有一解；(3)若absinA,则无解。(以上解答过程详见课本第 9:10页)

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAabA为锐角且[随堂练习1](1)在ABC中，已知a80,b100,A450,试判断此三角形的解的情况。1 C .(2)在ABC中，若a1,c—,C400,则符合题意的b的值有个。2 (3)在ABC中，axcm,b2cm, B45°,如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。(答案：(1)有两解；(2)0;(3)2x2夜)例2.在ABC中，已知a7,b5,c3,判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知a2 b2 c2 A是直角 AB(g直角三角形a2 b2 c2 A是钝角 ABC1钝角三角形a2 b2 c2 A是锐角 AB提锐角三角形(注意：A是锐角/AB提锐角三角形)解：Q725232,即a2b2c2,•••AB(g钝角三角形。[随堂练习2](1)在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3,判断ABC的类型。(2)已知ABC满足条件acosAbcosB,判断ABC的类型。(答案：(1) AB(g钝角三角形；(2) ABC是等腰或直角三角形)例3.在ABC中，A600,b1,面积为—,求 abc 的值2sinAsinBsinC_ -1 _1,…一一、、一分析：可利用三角形面积定理 S1absinC-acsinB」bcsinA以及正弦定理TOC\o"1-5"\h\z2 2abc abcsinAsinBsinCsinAsinBsinC解：由S IbcsinA—彳导c2,\o"CurrentDocument"2 2从而abcsinAsinBsinCasinAm.课堂练习(1)在ABC中，若a55,b16,且此三角形的面积S220%/3,求角C(2)在ABC中，其三边分别为a、从而abcsinAsinBsinCasinAm.课堂练习(1)在ABC中，若a55,b16,且此三角形的面积S220%/3,求角C(2)在ABC中，其三边分别为a、2 2 2b、c,且三角形的面积Sa一b4—,求角C(答案：(1)600或1200;(2)450)w.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。V.课后作业（1）在ABC中，已知b4,C10,B300,试判断此三角形的解的情况。（2）设 x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。（3）在ABC中，A600,a1,bc2,判断 ABC的形状。（4）三角形的两边分别为 3cmi5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x27X60的根,求这个三角形的面积。•板书设计•授后记课题:§2.2解三角形应用举例第一课时授课类型：新授课•教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣 ,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力•教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解•教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图•教学过程.课题导入[复习旧知 ]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？[设置情境 ]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。n.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解]（2）例1、如图，设 A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点 C,测出AC的距离是55m, BAC=51, ACB=75。求A、B两点的距离 （精确到0.1m）ii启发提问1: ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题 ，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出 AB边。解：根据正弦定理，得AB=ACsinACB sinABCAB=ACsinACB

sinABC=55sinACBsinABC= 55sin75sin(18051 75)=55sin75

sin54〜65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东60,则AB之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略：.2akm例2、如图，AB两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量 A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。 首先需要构造三角形，所以需要确定CD两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。图1.2-2解：测量者可以在河岸边选定两点 CD,测得CD=a并且在GD两点分别测得 BCA=,ACD=,CDB=,BDA=,在ADC^BDC中，应用正弦定理得AC= asin()= asin()sin[180()]sin()BC= asin= asinsin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=AC2BC22ACBCcos分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60,ACD=30,CDB=45,BDA=60略解：将题中各已知量代入例 2推出的公式，得AB=20J6评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点， 结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。m.课堂练习课本第14页练习第1、2题W.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解V.课后作业课本第22页第1、2、3题・板书设计・授后记课题：§2.2解三角形应用举例第二课时授课类型：新授课・教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。 采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导 一面论一明纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。 作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力・教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件・教学过程I.课题导入提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题n.讲授新课［范例讲解］例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。图L2-I分析：求AB长的关键是先求AE在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG使HGB三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、 ，CD=a,测角仪器的高是h,那么，在ACD中，根据正弦定理

可得AC=asinsin()AB=AE+h= AC可得AC=asinsin()AB=AE+h= ACsin+hasinsinsin()例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=5440,在塔底C处测得A处的俯角=501。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)图1.2-5ABD中求CABD中求C口.根据正弦定生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。解：在ABC中，BCA=90+,ABC=90- ,BAC=- ,BAD=理，BC=AB

sin()sin(90)BCsin(90)BCcos所以 AB= = sin()sin()解RtABD中，得BD=ABsin BAD=BCCossinsin()将测量数据代入上式，得27.3cos501sin5440BD= sin(5440501)27.3cos501sin5440sin439=177(m)CD=BD-BC=177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米.师：有没有别的解法呢？生：若在 ACD中求CR可先求出AG师：分析得很好，请大家接着思考如何求出 AC?生：同理，在 ABC中，根据正弦定理求得。(解题过程略)例3、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 ，到A处时测得公路南侧远处一山顶在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8求此山的高度CD.师：欲求出CR大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在BCD中师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件，易计算出哪条边的长？生：BC边解：在ABC中， A=15,C=25-15=10，根据正弦定理，BCAB——=——,sinAsinCABsinA5sin15BC= = sinCsin10〜7.4524(km)CD=BCtan DBOBCtan8=1047(m)答：山的高度约为1047米m.课堂练习课本第17页练习第1、2、3题W.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图 ，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。V.课后作业1、课本第23页练习第6、7、8题2、为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30,测得塔基B的俯角为45,则塔AB的高度为多少m?答案：20+生3(m)3・板书设计・授后记课题：§2.2解三角形应用举例

第三课时授课类型：新授课・教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例 1,还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。 课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观： 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。・教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题・教学过程I.课题导入［创设情境］提问：前面我们学习了如何测量距离和高度， 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中 ，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。n.讲授新课［范例讲解］例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行 ，需要航行多少距离？(角度精确到0.1 ，距离精确到0.01nmile)

学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC边所对的角即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角 CAB解：在ABC中，ABC=180-75 +32=137,根据余弦定理,AC=..AB2BC22ABBCcosABC=67.5254.02267.554.0cos137=113.15根据正弦定理，BC=AC

sinCABsinABCsin CAB=BC-ABCAC= 54.0sin137113.15~0.3255,所以 CAB=19.0,75 -CAB=56.0答：此船应该沿北偏东56.1的方向航行，需要航行113.15nmile例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m,至点顶端A的仰角为2,再继续前进10行m至D点，测得顶端A的仰角为4,求建筑物AE的高。卜EABCC处测得的大小和ABCC处测得的大小和生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法， 让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30,AD=DC=10用,TOC\o"1-5"\h\zADC=180-4 ,103 30 - Osin2sin（180 4）因为sin4 -2sin2cos28s2-,得2 -30-15，在RtADE中，AE-ADsin60-15答：所求角为15,建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE-x,AE-h在RtACE中,（10.3+x）2+h2-302在RtADE中,x2+h2-（103）2两式相减，得x-53,h-15TOC\o"1-5"\h\z〜c …i c h 3在RtACE中,tan2 一10,3x32-30, -15答：所求角为15,建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE-8,由题意，得BAC-,CAD-2,AC-BC-30m,AD-CD-10 3m, ， x _在RtACE中，sin2-- ①30在RtADE中，sin4-—4—, ②M3②①得cos2=2L-,2=30, =15,AE=ADsin60=15答：所求角为15,建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120（14x）2=92+（10x） 2-2 910xcos120化简得32x-30x-27=0,即x=—,或x=——（舍去）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 16所以BC=10x=15,AB=14x=21,BCsin12015 35.3又因为sinBAC= =— ——= AB21 2 14BAC=3813，或BAC=14147（钝角不合题意，舍去），3813+45=8313答：巡逻艇应］亥沿北偏东 8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解， 但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解m.课堂练习课本第18页练习W.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（ 1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。 （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。V.课后作业1、课本第23页练习第9、10、11题2、我舰在敌岛 A南偏西50相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10的方向以10海里/小时的速度航行 .问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）•板书设计•授后记课题:§2.2解三角形应用举例授课类型：新授课•教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验•教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目•教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题•教学过程I.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BCCAAB上的高分别记为ha、hb、hc,那么它们如何用已知边和角表示？

生：ha=bsinC=csinBhb=csinA=asinChc=asinB=bsinaA1师：根据以前学过的三角形面积公式 S=-ah,应用以上求出的高的公式如 ha=bsinC代入,2可以推导出下面的三角形面积公式， S=1absinC,大家能推出其它的几个公式吗？2生：同理可得，S=—bcsinA,S=-acsinB2 2师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外， 知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解n.讲授新课［范例讲解］例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积 S(精确到0.1cm2)(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;(2)已知B=62.7,C=65.8 ,b=3.16cm;(3)已知三边的长分另1J为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识， 观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素， 就可以求出三角形的面积。一 ― 1 ，r解：(1)应用S=-acsinB，得S=114.823.5sin148.5 =90.9(cm2)2(2)根据正弦定理，b=c

sinBsinCc =bsinCsinBS=1bcsinA=1b2sinCsinA2 2sinBA=180 -(B+C)=180 -(62.7 +65.8 )=51.52sin65.8sin51.5 2sin62.73.16 =4.0(cm)

sin62.7(3)根据余弦定理的推论，得

2 2 .2cab

cosB= 2ca_38.72 41.42 27.32238.741.4〜0.7697sinB(3)根据余弦定理的推论，得

2 2 .2cab

cosB= 2ca_38.72 41.42 27.32238.741.4〜0.7697sinB=*cos2B=J10.76972^0.6384… 1 ，r应用S=-acsinB,得Spg41.438.70.6384~511.4(cm2)例2、如图，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园 ，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2)?师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，2 2 .2cabcosB= 2ca1272682882= 〜0.7532212768sinB=..10.75322 0.6578应用S=1acsinB2S1681270.6578~2840.38(m2)答：这个区域的面积是2840.38m2。例3、在ABC中，求证:(1)2u2

ab2

c2 2_sinAsinB; )sin2C(2)2.2a+b+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设c_=ksinAsinBsinC

sinAsinBsinC显然k0,所以左边=k2sin2显然k0,所以左边=k2sin2Ak2sin2B,2.2,

ksinC2 2_sinAsinB

sin2C=右边(2)根据余弦定理的推论，b2 2右边=2(bc 2bc2 2 2.2acab—+ca 2ca+ab2,2 2abc2ab)=(b 2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边变式练习1:已知在ABC中，B=30,b=6,c=673,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9,3;a=12,S=18.3变式练习2:判断满足下列条件的三角形形状，acosA=bcosBsinAsinBsinC= cosAcosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”师：大家尝试分别用两个定理进行证明。生1:(余弦定理)得TOC\o"1-5"\h\z.2 2 2 2 2.2bcacaba =b 2bc 2ca2/2 -2\ 4 -4 /2 -2 2 .2xc(a b) a b=(a b)(a b)2 .2 2 2 .2ab或cab根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2:(正弦定理)得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,A=B根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考,谁的正确呢？生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为 sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180,A+B=90（2）（解略）直角三角形m.课堂练习课本第21页练习第1、2题W.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。V.课后作业课本第23页练习第12、14、15题•板书设计•授后记课题:§3.1不等式与不等关系第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题， 体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。【教学过程】.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v不超过40km/h

写成不等式就是：v40引例2:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写成不等式组就是一一用不等式组来表示f2.5%p2.3%问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则d|AB|。问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为 x元，怎样用不等x2.50.10.2)x万元，那么不等关系式表示销售的总收入仍不低于 x2.50.10.2)x万元，那么不等关系解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为(8“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8x2.50.1(8x2.50.10.2)x20问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mmf口600mmM种。按照生产的要求,600mmi勺数量不能超过500mmiW管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得500mm勺钢管x根，截得600mm勺钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm;(2)截得600mm管的数量不能超过500mmtW管数量的3倍；(3)截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：500x600y4000;3xy;x0;y0..随堂练习1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。2、课本P82的练习1、2.课时小结用不等式(组)表示实际问题的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。.评价设计课本P83习题3.1[A组]第4、5题第2课时授课类型：新授课【教学目标】.知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；.过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；.情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力 ^【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。【教学过程】1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若abacbc2）不等式的两边同时乘以或除以同一个 正数，不等号的方向不改变；即若 a b,c 0 ac bc3）不等式的两边同时乘以或除以同一个 负数，不等号的方向改变。即若 a b,c 0 ac bc讲授新课1、不等式的基本性质：师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？证明：「（a+c）—（b+c）=a—b>0,a+ob+cQ（ac）（bc）ab0，.acbc.实际上，我们还有ab,bcac,（证明：<a>b,b>c,•.a—b>0）b—c>0.根据两个正数的和仍是正数，得（a—b）+（b—c）>0,即a—c>0,a>c.于是，我们就得到了不等式的基本性质：ab,bc acabacbcab,c0 acbcab,c0acbc2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

ab,cdacbd；ab0,cd0acbd；(3)ab0,nN,n1(3)ab0,nN,n1证明：a>b,a +,.c>d,b +由①、②得 a+c>b+d.ab,c0 acbc\o"CurrentDocument"，证明：a>b,a +,.c>d,b +由①、②得 a+c>b+d.ab,c0 acbc\o"CurrentDocument"，cd,b0 bcbdacbd3）反证法）假设naVb,a0这都与ab矛盾,abn''a Vb.［范例讲解］：例1、已知ab0,c0,求证cc-oab、r,, ~, 1证明：以为ab0,所以ab>0,—0。ab- 1 1 1于 a—b—,即一ababb由c<0，得c-ab3.随堂练习11、课本P82的练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)(V3+<2)26+276(2)(<3-拒)2(V6—1)2；(3)<52 (3)<52 V6星'(4)当a>b>0时，log1alog1b2 2答案：(1)v (2)v(3)v(4)v［补充例题］例2、比较(a+3)(a—5)与(a+2)(a—4)的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负 (注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：(a+3)(a—5)—(a+2)(a—4)=(a2—2a—15)—(a2—2a—8)=—7<0'''(a+3)(a—5)v(a+2)(a—4)随堂练习21、比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)2x25x6与2x25x9.课时小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式， 还研究了如何比较两个实数(代数式)的大小一一作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论.评价设计课本P83习题3.1［A组］第2、3题；［B组］第1题课题：§3.2一元二次不等式及其解法第1课时授课类型：新授课【教学目标】.知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；.过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；.情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。教教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：2x5x0 (1)…….讲授新课1)一元二次不等式的定义象x25x0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二次不等式2)探究一元二次不等式x25x0的解集怎样求不等式(1)的解集呢？探究：(1)二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根： x10,x25二次函数有两个零点：x10,x25于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。(2)观察图象，获得解集2回出一次函数yx5x的图象，如图，观察函数图象，可知：当x<0,或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x25x0;2当0Vx<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y<0,即x5x0；所以，不等式x25x0的解集是x|0x5,从而解决了本节开始时提出的问题。3)探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：2. 一, _、r、2. 一, 一、axbx c0,(a 0)或ax bx c0,(a 0)一般地，怎样确定一元二次不等式 ax2bxc>0与ax2bxc<0的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集， 关键要考虑以下两点：(1)抛物线yax2bxc与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2bxc=0的根的情况(2)抛物线yax2bxc的开口方向，也就是a的符号总结讨论结果：(1)抛物线yax2bxc(a>0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 ax2bx c=0的判别式 b2 4ac三种取值情况(a>0 , A=0, A<0)来确定.因此，要分二种情况讨论2)a<0可以转化为a>0分z>O,&0,k0三种情况，得到一元二次不等式 ax2bxc>0与ax2bxc<0的解集一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2, b24ac,则不等式的解的各种情况如下表： (让学生独立完成课本第86页的表格)0002yaxbxc2yaxbxc2yaxbxc一次函数2yaxbxc(a0)的图象~~0flII'/J3-Tt二次方程ax2bxc0a0的根后两相异实根xi,x2(xi x2)后两相等实根bxix2 _2a无实根ax2bxc0(a0)的解集xxx1或xx2bxx2aRax2bxc0(a0)的解集xx1xx2［范例讲解］例2(课本第87页)求不等式4x24x10的解集

、一2 1解：因为0,万程4x4x10的解是XiX2—解：因为2所以，原不等式的解集是 XX-2例3（课本第88页）解不等式x22x30.解：整理，得x22x30.因为0,方程x22x30无实数解，所以不等式x22x30的解集是.从而，原不等式的解集是 ^.随堂练习课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）.课时小结解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为"+"：A=ax2 bxc>0（或<0）（a>0）②计算判别式，分析不等式的解的情况:i.i.>0时，求根X1<X2,若A 0,则x为或x2；若A0,则为xx2.若若A0,则xX。的一切实数;ii.=0时，求根x1=X2=X0,若A0,则X；若A0,则xX0.iii.<0iii.<0时，方程无解,若A 0,则x R;若A 0,则x .③写出解集..评价设计课本第89页习题3.2[A]组第1题课题：§3.2一元二次不等式及其解法

第2课时授课类型：新授课【教学目标】1.知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；2,过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

3.情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想【教学重点】熟练掌握一元二次不等式的解法教教学难点】理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系【教学过程】1.课题导入.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.一元二次不等式的解法步骤一一课本第 86页的表格2.讲授新课2.讲授新课［范例讲解］例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离1

sx20在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于少？（精确到0.01km/h）sm和汽车的速度xkm/h有如下的关系：2x18039.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多12——x18039.5. 一—，, .12——x18039.5解：设这辆汽车刹车前的速度至少为 xkm/h,根据题意，我们得到—x20移项整理得：x29x71100显然V0,方程x29x71100有两个实数根，即x1 88.94,x279.94。所以不等式的解集为 x|x88.94，或x79.94在这个实际问题中，x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h.例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：_2 y2x220x若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产 x辆摩托车，根据题意，我们得到2x2220x6000移项整理，得2 -x110x30000因为V1000,所以方程x2110x30000有两个实数根x1 50,x260由二次函数的图象，得不等式的解为： 50Vx<60因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得 6000元以上的收益。3.随堂练习1课本第89页练习2［补充例题］▲应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）例：设不等式ax2bx10的解集为{x|1x3},求agb?▲应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）例：设A{x|x24x30},B{x|x22xa80},且AB,求a的取值范围.改：设x22xa80对于一切x（1,3）都成立，求a的范围.2改：右万程x2xa80有两个实根x1,x2，且x13,x21,求a的范围.随堂练习21、已知二次不等式ax2bxc0的解集为{x|x2或x0,求关于x的不等式2cxbxa0的解集.22、若关于m的不等式mx（2m1）xm10的解集为空集，求m的取值范围.改1:解集非空改2：解集为一切实数.课时小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系.评价设计课本第89页的习题3.2［A］组第3、5题课题：§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第1课时授课类型：新授课【教学目标】.知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；.过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程， 提高数学建模的能力；.情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域；教教学难点】【教学过程】1.课题导入.从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型课本第91页的“银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：.讲授新课1.建立二元一次不等式模型把实际问题 uuuu数学问题：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言uuur符号语言）(1)(资金总数为25000000元)xy25000000(1)（预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%,共创收30000元以上）（12%）x+（10%）y 30000即12x10y3000000（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） x0,y0 （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：xy25000000

12x10y3000000x0,y0.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是 1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的 x和y的取值构成有序实数对（x,y）,所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而， 二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合 。.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形一一数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（2）探究从特殊到一般：TOC\o"1-5"\h\z先研究具体的二元一次不等式 x-y<6的解集所表示的图形。 力如图：在平面直角坐标系内， x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类： ；卢第一类：在直线x-y=6上的点； —1 .7八］闻

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点;x-y=6第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。x-y=6横坐标x-3-2-10123点P的纵坐标y1点A的纵坐标y2设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6,请同学们完成课本第 93页的表格，并思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x-y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式 x-y<6。因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。类似的：二元一次不等式 x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同， 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 （xo,yo）,从Axo+Byo+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当Cw0时，常把原点作为此特殊点）【应用举例】例1画出不等式x4y4表示的平面区域。解：先画直线x4y4（画成虚线）.取原点（0,0）,代入x+4y-4,-.0+4X0-4=-4<0,，原点在x4y4表示的平面区域内，不等式x4y4表示的区域如图:归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用 “直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地,当C0时，常把原点作为此特殊点。变式1、画出不等式4x3y12所表示的平面区域。变式2、画出不等式x1所表示的平面区域。例2用平面区域表示.不等式组y3X12的解集。x2y分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集， 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式y3x12表示直线y3x12右下方的区域， x2y表示直线 ：，x2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。 :卜'上；归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集， 因而是各个不等式!”所表示的平面区域的公共部分。变式1、画出不等式（x2y1）（xy4） 0表示的平面区域。变式2、由直线xy20,x2y1 0和2xy10围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为。.随堂练习1、课本第97页的练习1、2、3.课时小结.二元一次不等式表示的平面区域..二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法..二元一次不等式组表示的平面区域..评价设计课本第105页习题3.3[A]组的第1题课题：§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第2课时授课类型：新授课【教学目标】.知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；.过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；.情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。【教学重点】理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；教教学难点】把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。【教学过程】.课题导入

［复习引入］二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ X0,y0）,从Ax）+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当Cw0时，常把原点作为此特殊点）。随堂练习11、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域xy2、画出不等式组xyx3.讲授新课【应用举例】学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万兀初中452学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万兀初中45226/班2/人40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在 20-30之间,万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的所以有20xy30考虑到所投资金的限制，得到26x54y22x23y1200x2y40另外，开设的班数不能为负，则 x0,y0把上面的四个不等式合在一起，得到：20xy30

x2y40x0y0用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例4一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： I4xy10

18x15y66

x0

y0在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。［补充例题］例1、画出下列不等式表示的区域⑴（xy）（xy1）0;（2）x|y2x分析：（1）转化为等价的不等式组； （2）注意到不等式的传递性，由x2x,得x0,又用y代y,不等式仍成立，区域关于 x轴对称。x y 0 x y 0解：（1） " 0xy1或 矛盾无解，故点（x,y）在一带形区域内x y 1 0 x y 1（含边界）。, _ , ,,xy0,（2）由x2x,得x0;当y0时，有,点（x,y）在一条形区域内（边界）;2xy0当y0,由对称性得出。指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解2xy30例2、利用区域求不等式组 2x3y60的整数解3x5y150分析：不等式组的实数解集为三条直线l1:2xy30,l2:2x3y60,13:3x5y150所围成的三角形区域内部（不含边界）。设1112A，I%B,1213C,求得区域内点横坐标范围， 取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y2 3的一元不等式组得出相应的y的整数值。解：设11：2xy30,12：2x3y60,13:3x5y150,1112A,

- 153、 一7512l1l3是看出区域内点的B,l2l3C，…A(—,—),B(0,3),C(—,—)l1l3是看出区域内点的TOC\o"1-5"\h\z84 191975、 4横坐标在（0,——）内，取x=1,2,3,当x=1时，代入原不等式组有 y—19