初二数学数据的集中趋势与离散程度讲义

第8关数据的集中趋势与离散程度(讲义部分)知识点i数据的频数分布1.频数与频率(i)频数是指每个对象出现的次数.(2)频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比).即频率=频数+总数一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率.频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量..频数(率)分布表列频率分布表的步骤：(1)计算极差，即计算最大值与最小值的差.(2)决定组距与组数(组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5〜12组).(3)将数据分组.(4)列频率分布表..频数(率)分布直方图画频率分布直方图的步骤：(1)计算极差，即计算最大值与最小值的差.(2)决定组距与组数(组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5〜12组)(3)确定分点，将数据分组.(4)列频率分布表.(5)绘制频率分布直方图.题型1数据的频数分布【例1】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据:次数12345678910黑棋数2515474336根据以上数据，解答下列问题：(I)直接填空：第10次摸棋子摸到黑棋子的频率为;(n)试估算袋中的白棋子数量.【解答】解：(I)第10次摸棋子摸到黑棋子的频率为6+10=0.6,故答案为：0.6;E)根据表格中数据知，摸到黑棋子的频率为2+5+1+5+4+7+4+3+3+6=04,100设白棋子有x枚，,一___10由题息，得：=0.4,10x解得：x=15,经检验：x=15是原分式方程的解，答：白棋子的数量约为15枚.【点评】此题主要考查了频数与频率，根据试验次数得出黑棋子的频率，从而得出关于白棋子个数的方程是解决问题的关键.【例2】某班某天音乐课上学习了《感恩的心》这一首歌，该班班长由此歌名产生了一个想法，于是就“每年过生日时，你是否会用语言或其他方式向母亲道一声‘谢谢’”这个问题对该校初三年级30名同学进行了调查.调查结果如下：否否否有时否是否否有时否

否有时否是否否否有时否否否否有时否否是否否否有时(1;(2)请你选择适当的统计图描述这组数据；(3)估计全校3000名同学中，在过生日时，曾经用语言或其他方式向母亲道谢的人数有多少?【解答】解：(1)说“否”的有21人，故频数为21,频率=21+30=0.7.30，全校3000名同学中，在过生日时，曾经用语言或其他方式向母亲道谢的人数=3000x2=900人.30【点评】本题考查画条形图，因为条形图表现每组里面具体的数据，以及频数，频率概念的掌握情况.【例3】25日某路段雷达测速区监测到一组汽车时速数据，经整理得到如下频数表和频数直方图(每组含后一边界值，不含前一边界值)25日某路段监测汽车时速的频数表频数频率30-40100.0540-503650-600.3960-7070-8040.0280-9020.01(1)请你把表中的数据填写完整.(2)补全频数直方图.(3)若该路段限速70(汽车时速高于70千米/小时即为违章)，抽测到违章车辆有多少辆？统计表明25日全天通过这个路段的汽车大约有15000辆.请估计这天超速违章的车辆有多少辆？25日其髓殴£乩:■时注明颈数直方囤80-70网50匚。...............__I_I_I>30辆立闻7Q80网速度【解答】解：（1）10+0.05=200,36+200=0.18,200M0.39=78,200-10-36-78-4-2=70,70"200=0.35,

故表格中，依次填写0.18,78,75,0.35,惭鼬频率30-401C00540-503601850〜607G0.3060-707C0.3570^8040.C2即~902口G1(2)补全的频数直方图如图所示:(3)4+2=6辆，15000M(0.02+0.01)=450辆，答：抽测到违章车辆有6辆；这个路段的汽车大约有15000辆.估计这天超速违章的车辆有450辆.：汩窈否蜷柞时鳏圉【点评】瑟款80706050403050103。物前即RSOM速度Ckm；h)10【点评】瑟款80706050403050103。物前即RSOM速度Ckm；h)10考查频率分布直方图、频数分布表的制作方法,表格中各个数量之间的关系式解决问题的关键，依据频数画出频数分布直方图.【例4】为了节约能源，某城市开展了节约水电活动，已知该城市共有10000户家庭，活动前,某调查小组随机抽取了部分家庭每月的水电费的开支(单位：元)，结果如左图所示频数直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)；活动后，再次调查这些家庭每月的水电费的开支，结果如表所示某城市部分家庭每月水电费开支的频数分布表(活动后组别(从左至右)频数第1组7第2组13第3组14第4组4第5组2第6组0(1)求所抽取的样本的容量；(2)如以每月水电费开支在225元以上(含)为不达标，请问通过本次活动，该城市大约增加了多少户家庭达到节约标准？(3)活动后，这些样本家庭每月水电费开支的总额能否低于6000元？某城市部分冢蜃每月水电费升支的瓶数分布亘方图01001502002503W35»最㈤【解答】解：（1）所抽取的样本的容量为6+12+11+7+3+1=40;12M1（2）活动刖达到节约标准的豕庭数为10000M=7250（户），40M314活动后达到节约标准的豕庭数为10000M=8500（户），408500-7250=1250（户）所以该城市大约增加了1250户家庭达到节约标准；（3）这40户家庭每月水电费开支总额为7X100+13X150+14X200+4X250+2X300=7050（元），所以活动后，这些样本家庭每月水电费开支的总额不低于6000元.【点评】本题考查的是频数分布直方图的运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.频数分布直方图能清楚地表示出每个项目的数据.知识点2数据的集中趋势与离散程度1.算术平均数1.一般地，如果有n个数据X1,X2,…,Xn,那么，一（x1+x2+…xn）就是这组数据的平均n、,.，E“一”一一rr―1一数，用X表示，即：X=—（x1+x2+…+xn）,"X读作"X拔.n2.加权平均数如果在n个数据f1,f2,…，fk分别表示数据X1,X2，…,Xk出现次数（f1+f2+,,,+fk=n,kEn）或者表示数据X1,X2,"'Xk在总结果中的比重，我们称其为各数据的权，那么，根据平均数的定义，这n个数据的平均数科院表示为-XiX2f2XkfkX=f1.f2…fk这样求的平均数x叫做这n个数据的加权平均数.3,中位数一般地，当将一组数据按照大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数为偶数时）叫做这组数据的中位数..众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数..方差设一组数据X1,X2,■■Xn,他们的平均数为X,我们用

212,一、2/-、2,S=—[(%-X)(X2-X)-"-X)]n来衡量这组数的离散程度，并把他们叫做这组数据的方差^求方差的步骤①求平均数；②计算各偏差的平方；③求各偏差的平方和；④求各偏差平方的平均数题型2数据的集中趋势与离散程度【例5】某校为了解全校1600名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的部分学生，对这些学生每周课外体育活动时间x(单位：小时)进行了统计，根据所得数据绘制了一幅统计图，根据以上信息及统计图解答下列问题.(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为;(2)求这些学生每周课外体育活动时间的平均数;(3)估计全校学生每周课外体育活动时间不少于4小时的人数【解答】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为5+8+22+12+3=50人,故答案为：50;,口—1538—5227：：1293(2)由题意可得，385—93=5(小时)，50答：这些学生每周课外体育活动时间的平均数5小时；故答案为：5小时；(3)根据题意得：22123501600=118422123501600=1184答：估计全校学生每周课外体育活动时间不少于4答：估计全校学生每周课外体育活动时间不少于4小时的人数有1184人.甲、85甲、85故答案为：1184.【点评】本题考查频数分布直方图、样本、总体、样本容量、用样本估计总体、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.【例6】某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙、丁从笔试、面试两个方面进行量化考核.乙、丙、丁两项得分如下表：(单位：分)甲乙丙丁笔试86928090面试90889484(1)这4名选手笔试成绩的中位数是分，面试的平均数是分；(2)该公司规定：笔试、面试分别按40%,60%的比例计入总分，且各项成绩都不得低于分.根据规定，请你说明谁将被录用.8690【解答】解：(1)这4名选手笔试成绩的中位数是一--二88分，面试的平均数是90889484八=89分；故答案为：88,89.(2)由题意得，丙、丁不符合录取要求.消=86黑40%+90x60%=88.4,定=92x40%+88x60%=89.6x?：：：化,「.乙被录用.【点评】考查了中位数及加权平均数的知识，解题的关键是了解有关定义，难度不大.【例7】我校初二体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多.为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整下题表格.收集数据：从选择篮球和排球的学生各随机抽取10人，进行了测试，测试成绩如下：排球99.5998109.5849.5篮球9.59.58.58.5109.56869整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：项目人数成绩X4.0,x<5.55.5x<7.07.0,x<8.58.5,x<1010排球10261篮球02161(说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格.)分折数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：项目平均数中位数众数排球8.55a9和9.5篮球8.458.75b应用数据(1)填空：a=,b=.(2)初三年级的小伟和小明看到上面数据后，小伟说：排球项目整体水平较高：小明说：篮球项目整体水平较高.你同意的看法，理由为：①;②.(从两个不同的角度说明推理的合理性)(3)如果初二年级有180人选排球项目，请信计该年级排球项目获得优秀的人数.【解答】解：(1)篮球成绩从大到小排序后处于第5、6为的都是9,篮球成绩的中位数a=9分,排球成绩为9.5分出现次数最多，是3次，因此排球成绩的众数为b=9.5分；故答案为：9,9.5.(2)小伟，①排球成绩的平均数较高，②排球成绩的中位数较大；故答案为：小伟，①排球成绩的平均数较高，②排球成绩的中位数较大；.61.(3)180=<—=126(人)，答：该年级排球项目获得优秀的人数有126人.【点评】考查平均数、中位数、众数的意义及求法，掌握数据整理的方法，用样本估计总体是统计中常用方法.【例8】判断正误(正确打"«'、错误打“X”)，打“黑”的结论要举例说明其错误的理由(举反例)，打“4”的结论不必说明理由：(1)给定一组数据，那么这组数据的众数有可能不唯一;(2)给定一组数据，那么这组数据的平均数一定是这组数据中的一个数;(3)n个数的中位数一定是这个n数中的某一个；(4)求9个数据(“、X2、…、X9,其平均数为m)的标准差S,计算公式为：S=j；[(X1—m)2十(X2—m)2十…十(X9-m)2].【解答】解：(1)给定一组数据，那么这组数据的众数有可能不唯一«

(2)给定一组数据，那么这组数据的平均数一定是这组数据中的一个数M;(3)n个数的中位数一定是这个n数中的某一个X；(4)求9个数据(/、X2、…、X9,其平均数为m)的标准差S,计算公式为:S=J；[(Xi—m)2+(X2—m)2+…+(xg—m)2]7.故答案为：(1)N;(2)M;(3)M;(4)【点评】此题主要考查了中位数、众数、平均数、标准差求法，把握相关计算方法是解题关键.【例9】一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息:ABCDE平均分方差数学71726968702英语888294857685(公式：方差s2=1[(为-X)2+(%-X)2+…+(xn一X)2],其中X是平均数.)n(1)求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差.(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分个人成绩—平均成绩WS是：标准分个人成绩—平均成绩WS(说明：标准差为方差的算术平方根)从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？解：(1)数学成绩的平均分为：71‘72‘69+68+7。=7Q；5英语成绩的标准差为：1____2___2__2__2__2___—[(88—85)2+(82—85)2+(94-85)2+(85-85)2+(76-85)2]=36；5故答案为：7。，36;(2)A同学数学标准分为:71-70(2)A同学数学标准分为:71-70_2~2，A同学英语标准分为:88-851--,62A同学在本次考试中，数学学科考得更好.本题考查了平均数和方差的计算，正确把握方差的定义是解题关键.【例10】河南某校招聘干部一名，对A、B、C三人进行素质测试，他们各项成绩如下表：将语言、综合知识、创新和处理问题能力测试成绩按20%、30%、30%、20%比例计算，谁将被录用？测试项目测试成绩ABC语言859590综合知识908595创新959585处理问题能力959095【解答】解：A的测试成绩为85M20%十90父30%十95M30%+95M20%=91.5,B的测试成绩为95M20%+85^30%+95父30%+90父20%=91,C的测试成绩为90M20%+95^30%+85父30%+95父20%=91,因为91.5>91=91,所以A将被录用.【点评】考查加权平均数的意义和计算方法，将一组数据的数据赋予不同的权重，会对平均数造成不同的影响.【例11】某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念.在外打工的王大叔返回家乡创业，承包了一座荒山，栽了1000棵小枣树，发现成活率均为90%,并已挂果.为了分析收成情况，他从这座山上随意采摘了6棵树上的小枣，每棵的产量(千克)如下：483642363642(1)这组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示:极差平均数中位数众数———(2)这座山的枣子采摘后全部被某加工厂收购去进行精加工，经过两道工序的加工筛选后，最后筛选到合格的枣子总量为23040千克，平均每道工序筛选的损耗率是多少？【解答】解：(1)故答案为：12,40,39,36;极差平均数中位数众数12403936(2)设平均每道工序筛选的损耗率是x,根据题意得，100090%40(1-x)2=23040,解得：x=0.2,答：平均每道工序筛选的损耗率是20%.【点评】本题考查了极差、平均数、中位数、众数的定义，一元二次方程的应用，熟记各定义是解题的关键.【例12】某校九年级两个班各选派6名学生参加“垃圾分类知识竞赛”各参赛选手的成绩如下(满分100分)：九(1)班：87,91,91,92,94,96;九(2)班：84,88,90,90,91,97.(1)九(1)班参赛选手成绩的中位数为分，众数是分；(2)求九(2)班参赛选手成绩的方差.【解答】解：(1)九(1)班参赛选手成绩的中位数为91产=91.5(分)；众数是91分；故答案为：91.5,91;1(2)九(2)班参赛选手成绩的平均数是：—(84+88+90+90+91+97)=90(分)，6199222..2则万差是：一[(84-90)2+(88-90)2+2(90-90)2+(91-90)2+(97-90)2]=15(分).6【点评】本题考查众数、中位数以及方差的定义，解题的关键是正确理解各概念的含义.【例13】某射箭队准备从王方、李明二人中选拨1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩(单位：环数)如下次序12345678910王方89798678108李明679791087710(1)根据以上数据，将下面两个表格补充完整王方10次射箭得分情况:环数678910频数10环数10频数(2)分别求出两人10次射箭得分的平均数;(3)从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适.【解答】解：(1)王方10次射箭得分情况：6,7,8,9,10的频数分别为1,2,4,2,1.

李明10次射箭得分情况：6,7,8,9,10的频数分别为1,4,1,2,2.故答案为：1,2,4,1,1;1,4,1,2,2.(2)王方的平均成绩=62784921〜,10李明的平均成绩=6'7-"8+9、2»2=8.10(3)王方10次射箭得分情况：6,7,8,9,10的频数分别为1,2,4,2,1.李明方差=。[(8-6)22(8-7)24(8—8)22(9-8)2(10—8)2]=1.210199999李明的万差=—[(6—8)24(7—8)2(8—8)22(9-8)22(10—8)2]=1.4,10；1.2：：:1.4,，王方的成绩比较稳定.【点评】本题考查方差，频数，加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.第8关数据的集中趋势与离散程度(题册部分)【课后练1】某学校组织七年级学生参加了一次“运算能力”比赛，共有400名学生参加，参赛学生的成绩x均为整数，且至少为60分.为了解本次比赛学生的成绩分布情况，抽取了其中若干学生的成绩作为样本，制作了如下两个统计图：请根据所给信息，解答下列问题：(1)成绩为60,x<70这一组的频率是;成绩为70,x<80这一组的扇形统计图圆心角为;成绩为80,x<90这一组的频数是人，样本容量为.(2)请补全频数分布直方图.(3)若成绩在90分及以上的为“优秀”等级，请你估计这次参加比赛的学生中“优秀”等级的有多少人？【解答】解：(1)54+360=0.15,360tx20%=72口，108+360=30%,8+20%=40人，40M30%=12人，40-6-8-12=14人，故答案为：0.15,72°,14,40.(2)补全频数分布直方图如图所示：【课后练2】有30张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，抽到红桃、黑桃、梅花、方块的频率依次为20%、32%、45%、3%,试估计四种花色的牌各有多少张？【解答】解：根据分析，可以估计其中有红桃约为6张，黑桃约为10张，梅花约为14张，方块约为1张.【课后练3】我市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：cm)如下：甲：170165168169172173168167乙：160173172161162171170175(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪名运动员的成绩更为稳定？为什么？(3)若预测，跳过165cm就很可能获得冠军.该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测，跳过170cm就能破记录，选哪位运动员参赛？【解答】解：(1)分别计算甲、乙两人的跳高平均成绩：

1甲的平均成绩为：-(170+165+168+169+172+173+168+167)=169cm,1乙的平均成绩为：—(160+173+172+161+162+171+170+175)=168cm;8(2)分别计算甲、乙两人的跳高成绩的方差分别：Sp=-48=6cm,8S2=-父252=31.5cm2，8二甲运动员的成绩更为稳定；(3)若跳过165cm就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了165cm,而乙只有5次，所以应选甲运动员参加；若跳过170cm才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次都跳过了170cm,而乙有5次，所以应选乙运动员参加.【课后练4】甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行了统计第一场第二场第三场第四场第五场甲队8086959198乙队11090838780(1)已知甲队五场比赛成绩的平均分辱=90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x乙；(2)分别计算两队成绩的方差；(3)若从甲、乙两队选派一支球队参加篮球比赛，从平均分、方差和获胜场次三个方面进行分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？【解答】解：(1)乙队五场比赛成绩的平均分XT1=—(11090838780)5=90(分)122222(2)甲队成绩的万差=—父[(80—90)2十(86—90)2十(95—90)2+(91-90)2+(98—90)2]5=41.2122222乙队成绩的万差=—[(110-90)(90-90)(83-90)(87-90)(80-90)]5=111.6(3)1甲队的方差小于乙队的方差甲队的平均数等于乙队的平均数甲队的得分越来越高，，应派甲队参加比赛.【课后练5】某班综合实践活动小组对该班50名学生进行了一次《学生每周做家务劳动时间统计》的调查，有关数据如下表：每周做家务的时间(小时)011.522.533.54人数(人)2268121343根据上表中的数据，回答下列问题：(1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？(2)这组数据的中位数、众数分别是多少？【解答】解：(1)该班学生每周做家务劳动的平均时间为02121.56282.5123133.5443,50=2.44(小时)50答：该班学生每周做家务劳动的平均时间为2.44小时.(2)这组数据的中位数是2.5(小时)，众数是3(小时).【课后练6】某校八年级(6)班分甲、乙两组各10名学生进行数学抢答，共有10道选择题,答又t8道题(包含8道题)以上为优秀，各组选手答对题数统计如下表:答对题数5678910平均数众数中位数方差优秀率甲组选手1015218881.680%乙组选手004321(1)请你填上表中乙组选手的相关数据；(2)根据你所学的统计知识，利用上述数据从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩.【解答】解：(1)(7父4+8父3+9父