上海高考数学知识点重点详解资料

高考前数学知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合A={xly=lgx},B={yly=lgx},C={(x,y)ly=lgx}.A、B、C中兀素各表示什么？2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决；已知集合A、B,当AcB=0时，你是否注意到“极端”情况：A=0或B=0；注意下列性质：(1)对于含有n个兀素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n—1，2n—1，2n—2.(2)若AcBoAnB=A，AUB=B；(3)：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。学会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法)可以判断真假的语句叫做命题。若paq为真，当且仅当p、q均为真若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真命题的四种形式及其相互关系是什么？(互为逆否关系的命题是等价命题。)原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论；9.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？(定义域、对应法则、值域)10.求函数的定义域有哪些常见类型？11.如何求复合函数的定义域？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。反函数存在的条件是什么？(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(①反解X,注意正负的取舍；②互换X、y；③反函数的定义域是原函数的值域)反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y=x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；会用定义证明函数单调性.；用定义法求函数的单调区间。(设量、作差、因式分解，判正负)如何判断复合函数的单调性？(将增函数看成正号，减函数看成负号，利用乘法原理判断)函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)若以—x)=—f(x)总成立of(x)为奇函数O函数图象关于原点对称若以-x)=f(x)总成立of(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则(0)=0。你熟悉周期函数的定义吗？f(x)=—f(x+a);f(x)=±-nT=2af(x+a)函数的对称性：(1)如果函数y=f(x)对于一切xeR，都有f(a+x)=f(a-x)，那么函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称oy=f(x+a)是偶函数；(2)若都有f(a-x)=f(b+x)，那么函数y=f(x)的图象关于直线x=出对称；2函数y=f(a—x与函数y=f(2x的图象关于直线x=对称；特例：函数y=f(a+x)与函数2y=f(a—d的图象关于直线x=0对称.

（3）如果函数y=f（X）对一切xeR，有f（a+x）+f（a—x）二2b，那么y=f（x）关于点（a,b）对称.（3）如果函数y=f（X）对一切xeR，有f（a+x）+f（a—x）二2b，那么y=f（x）关于点（a,b）对称.（4）奇函数对称区间单调性相同；偶函数对称区间单调性相反。20.掌握常用的图象变换了吗？（理解八爪图）21.熟练掌握初等函数的图象和性质（1）一次函数：y=kx+b（k丰0）（2）反比例函数：y=x（k主0）推广为y=b+x—；（k主0）是中心O'（a，b）的双曲线。（3）二次函数y=ax2+bx+c（a工0）=a〔x+b］+4aCb图象为抛物线V2a丿4a应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程ax2+bx+c=0，A＞0时，两根x、x为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴12的两个交点，也是二次不等式ax2+bx+c＞0（＜0）解集的端点值。求二次函数闭区间［m，n］上的最值和单调性。求二次函数区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。(4)指数函数：y=ax(a>0，a工1)(5)对数函数y=logx(a>0,aa丰d（注意底数的限定！）a（6）幕函数y=xa,aeQ由第一象限图象画其他象限图象！（7）y=x+的图像和性质x22.基本运算上常出现错误1指数运算：ao=1(a丰0),a-p=(a丰0)apmman=nam(a>0)，a—n=-^(a>0)nam对数运算：logM・N=logM+logN(M>0，N>0)logM=logM—logN,

aNaalognM=—logMana对数换底公式：logb=logcbnlogbnalogaamc=—logbmaalogax=x;log1=0,a0=1a掌握求函数值域的常用（分离常数法，二次函数法（配方法），函数有界性，换元法，基本不等式法，利用函数单调性法，数形结合法等。）你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？方法了吗？熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象,并由图象能写出单调区间、最值，对称点、对称轴正弦型函数＜=AsinCx+申）的图象和性质要熟记。［或y=Acos（＜rox+申）］（2）五点作图：令曲+9依次为0,扌，"，乎，2-，求出皿，依点（1）振幅IAI，周期T=一作图。3）根据图象求解析式。（求、w、申值）A作图。3）根据图象求解析式。（求、w、申值）A正切型函数y=Atan（wx+申），T=兀IwI在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。用反三角函数表示角时要注意角的范围，单调性。在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是〔0匹］［0空］［0祠；I辺」’‘2''//兀直线的倾斜角、'1与12的夹角的取值范围依次是［0,兀）,［0，-］；向量的夹角的取值范围是［o,n］会求三角不等式，三角方程。熟练掌握同角三角比关系和诱导公式了吗？熟练掌握两角和、差、倍、降次公式及其逆向应用（1）名的变换：化弦或化切（2）次数的变换：升、降幂公式（3）形的变换：统一函数形式,注意运用代数运算正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？三角形的面积公式。不等式的性质有哪些？(1)a>b,c>0nac>bc(1)a>b,c<0nac<bc(2)a>b，c>dna+c>b+d3)3)a>b>0,c>d>0nac>bd(4)a>b>0n-<ab(5)a>b>0nan>bn，na>nb(6)Ixl<a(a>0丿o—a<x(5)a>b>0nan>bn，na>nb利用基本不等式：a2+b2>2ab；a+b>2\ab,abeR+（一正、二定、三相等）熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解的各种情况。解分式不等式f（x）>a（a丰0）的一般步骤是什么？g（x）（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，标根法解得结果。）用“标根法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底加>1或0<a<1讨论对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（转化为最值问题）如：a<f（x）恒成立Oa<f（x）的最小值；（X）有解Oaf（x）的最大值a>f（x）恒成立Oa>f（x）的最大值；af（x）有解oa>f（x）的最小值等差数列的定义与性质定义：a—a=d（d为常数），a=a+（n—l）d等差中项：x，A,y成等差数列o2A二x+yn+1nn1前n项和Snn(n—1)+前n项和Snn(n—1)+d21n=na21

性质：｛a｝是等差数列n(1)若m+n=p+q,贝Ua+a=a+a；(2)数列｛a｝,｛a｝,｛ka+b｝仍为等差数列；mnpq2n-12nnS,S-S,S-S……仍为等差数列；(3)若三个数成等差数列，可设为1-d,a,a+d；n2nn3n2naS(4)若&,b是等差数列S,T为前n项和，则f=-am—；nnnnbTm2m-1(5)｛a｝为等差数列oS=an2+bn(a,b为常数，是关于n的常数项为0的函数)nn(6)求Sn的最值一般通过an的正负分界项来求出。等比数列的定义与性质定义：tnH=q(q为常数，q丰0),a=aqn-1an1n等比中项：x、G、y成等比数列nG2=xy,或G=±<xyna(q=1)前n项和：S=<aG-qn)(要注意！)n(q丰1)〔1-q性质：｛a｝是等比数列n(1)若m+n=p+q(1)若m+n=p+q,贝Ua2)S，S-S，n2nS-S3n2n仍为等比数列由S求a时应注意什么？(n=［时，a你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：(1)作差(商)法女口：｛a｝满足^a+丄a+n21222=S1n>2时,=S-S)nn-1+a=2n+52nn⑵连乘法+=f(n)‘a⑵连乘法+=f(n)‘a1=亠,其中f(n)可求积例如：数列©｝中，a1=3,n-1ann+1=,求aan+1nn(3)连加法a—a=f(n),a=a,其中f(n)可求和，求a，nn-110n数列{a},a=1,a=3n-1+a(n>2),n1nn-1可转化为等比型递推公式an=pan-1+q(p,汹常数，p丰0J;q丰0)两边同时加上旦p-1例如5例如5)倒数法a=1,12aa=n,

n+1a+26）数学归纳法，注意写出四项再猜，用第五项验证完，再证明。已知a二10,a=a2,求数列的通项公式1n+1n你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。a•aka•akk+1(a+d)dk+1(d丰0)（2）错位相减法：适用于（等差x等比数列）3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。S—a+S—a+a++a+aI丄n12n—1n*相加S—a+a++a+aInnn—1212S—(a+a)+(a+a)+

n1n2n—1+(a+a1n4）分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.5）合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在起先求和，然后再求S.n注意数列是特殊的函数，可用数列的单调性来研究数列的最值。排列、组合问题的依据是：有序排列，无序组合。分类相加，分步相乘解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；数量不大时可以逐一排出结果。50、（1）知道Cm,Pm的意义和计算公式。其中Cm—Cn-m要特别注意nnnn（2）知道二项式展开式通项及二项式系数和系数的差别，以及二项式系数之和和系数和的求法）51、知道简单统计初步的公式：平均数，中位数，方差，标准差（总体和样本）以及抽样方法；52、知道矩阵的基本运算（乘法）以及行列式中相关计算和概念（余子式和代数余子式和按某列展开等）53、你对向量的有关概念清楚吗？1）向量——既有大小又有方向的量。（2）向量的模——有向线段的长度，|a|（3）单位向量Ia0l—1，a0——iai（4）零向量°，0-0方向是任意的。（5）相等的向量o（5）相等的向量o长度相等方向相同在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。°〃°（°h°）o存在唯一实数九，使°=Xa(7)向量的加、减法如图°°°OA+OB—OC°°°OA—OB—BA

8）向量的坐标表示了,j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数X,y,使得a=x丫+y了，称（x，y）为向量a的坐标，记作：a=（x，y）,即为向量的坐标表示。设1=（xi，yiI，=（x2，y2）y）=（x，九y）则a±lb=（x，y）±（y，y）=C土y，x土y）Xy）=（x，九y）111211221若A（x，y）,B（x，y）则AB二C—x，y—y）11222121-x）2+（y-x）2+（y-y）2，A、B两点间距离公式212154.平面向量的数量积IABI=J（1）a・a=1al・IBlcose叫做向量a与a的数量积（或内积）。../Bb.”0•ea—DAe为向量a与a的夹角，egIo，兀］数量积的几何意义：a•B等于Ial与B在a的方向上的射影Iblcose的乘积。（2）数量积的运算法则①aa=a•a②=B•a+a•C③a•a=（xi，y>（x2，y2）=xix2+yiy2注意：数量积不满足结合律（a・b）・c丰a・（b・c）（3）重要性质：设aa=（x，y），ab=（x，y）ii22a丄aa=0ox•x+y•y=0i2i2a〃aoa・a=lal・IBi或a・B=—Ial•IBioa=XB（B丰0，九惟一确定）oxy—xy=0TOC\o"1-5"\h\z22ia•axx+yy\o"CurrentDocument"④cose==i2iia=lal2=X2+y2，Ia・百I<|al-IablIBl•IBl小+平•xx2+y\o"CurrentDocument"iiii22线段的定比分点设P（x，y）,P（x，y），分点pC,y）,设P、P是直线l上两点，P点在iii222i2aal上且不同于P、P，若存在一实数九，使PP=XPP，则X叫做P分有向线段i2i2aPP所成的比（X>0,P在线段PP内，X<0,P在PP外），且i2i2i2p为pp中点时,12x+x122p为pp中点时,12x+x1222—121+九y+Xy121+X如：AABC,A（x,y）,B（x,y）,C（x,y）112233则AABC重心G的坐标是[xi+x2+x3,yi+y2+y3]I33丿※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？线面平行的判定：a〃b,bu面a,awana〃面a（缺一不可）线面平行的性质：线面平行的性质：a〃面a'au面卩，a°卩二bna〃b三垂线定理（及逆定理）：PA丄面a,AO为PO在a内射影，au面a,则a丄OAna丄PO；a丄POna丄AO线面垂直：线面垂直：aa丄b,a丄c,b,cua,b°c二Ona丄aa丄面a,a丄面a,b丄面ana〃b面a丄a,面卩丄ana〃B异面直线所成的角的定义及求法一作、二证、三求、四结论（注意范围）你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。会用等体积法求体积或者求点到平面的距离。熟记下列公式了吗？farctank,k>0(1)l直线的倾斜角你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。会用等体积法求体积或者求点到平面的距离。熟记下列公式了吗？farctank,k>0(1)l直线的倾斜角a貝0,兀)，k=tana=y~汎(a工£，x丰\J一［兀+arctankk<021(2)直线方程：x-xy-y/、’/x点方向式0=0点法向式a(x―x)+b(y―y)=0uv00点斜式：y-y=k(x-x)(k存在)斜截式：y=kx+b00一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为零)(3)点pC，y)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=叽+By。+C00v'A2+B2l与l的夹角公式:12tan0=k—k—211-kk12或cos0=A+BB12122+B222会用行列式判断两直线位置关系？AA+BB=0ol丄l121212怎样判断点，直线，圆与某一圆C的位置关系?直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。怎样判断直线与圆锥曲线的位置?联立方程组n关于x(或y)的一元二次方程n“A”A>0o相交；A=0o相切；A<0o相离分清圆锥曲线的定义'椭圆o|PF|+PF|=2a,2a>2c=|FF|<双曲线o||PF—||=2a,0<2a<2c=|Ff|1212抛物线o|PF|=P到准线的距离,P不在定直线上65.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？420的限制。(求交点,弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在厶列弦长公式PP|=£+k2。)一4xx12y+y)2-4yy121266、抛物线中焦点弦的弦长计算公式：X2=2ay,AB\=叽+yJ+|a|66、抛物线中焦点弦的弦长计算公式：y2=2ax,|AB|=|x+x|+|a67•点差法尽量不要用，用必须考虑A>0

68.如何求解“对称”问题？(1)证明曲线C：F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称，设A(x,y)为曲线C上任意一点，设A'(x',y')为A关于点M的对称点。(由a=x+x，b=y+ynx'=2a-x,y'=2b-y)22只要证明A'(2a-x，2b-y)也在曲线C上，即f(x')=y'(2)点人、A'关于直线l(2)点人、A'关于直线l对称oAA'丄lAA'中点在l上Ik•k=-1<AA'lIAA'中点坐标满足l方程69.圆X2+y2=r2的参数方程为x=rcos0y=rsin00e[0,2兀）Ix=acos0椭圆的参数方程]y=bsin00e[0'2町求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。(没有坐标系一定要建立坐标系)(直接法、定义法、代入法、参数法)知道轨迹和轨迹方程的区别。对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值(注意几种陷阱)会求两种极限，知道无穷等比数列各项和存在的条件(前提去掉无限项的省略号)。多项式形式：最高次系数之比；指数形式：绝对值最大的底数系数之比知道复数的各类概念，实系数一元二次方程解的分类及韦达定理。zn—1zn—1m74复数的技巧：k-Z1的意义;z2=|zI2=z•z三角公式总表S=-LR=-R2国="兀•R,扇2R2Rm360特别注意xe（0,1），则sinx<x<tanx•2abc2•正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）sinAsinBsinC3.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA1111三角形面积公式S=a•h=absinCbcsinA==acsinB/2a222同角三角比关系：ysin0⑴商的关系：①tgysin0⑴商的关系：①tg0=匚=丽sin0-sec0②ctg0=—=c°s0=cos0-csc0ysin0③sin0=—=cos0-tg0

r④sec0=—=—xcos0=tg0-csc0⑤cos0=—=sin0-ctg0r⑥csc0=—=J=ctg0⑤cos0