上海历年中考数学压轴题复习试题附答案

上海历年中考数学压轴题复习2001年上海市数学中考27.已知在梯形ABCD中，AD//BC,ADvBC,且AD=5,AB=DC=2.（1）如图8,P为AD上的一点，满足/BPG=/A.图8①求证；△ABF^△DPC②求AP的长.（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足/BPP/A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=V，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；■।②当CE=1时，写出AP的长（不必写出解题过程）.（1）①证明：•./ABP=180—/A—/APB,/DPC=180-ZBPC-ZAPB,ZBPC=/A,/ABP=/DPC.在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,2A=/D.△ABPDPC.②解：设AP=x,则DP=5-x,由△ABP^ADPC,得胆=空，即APDCx2II\I解得x1=1,x2=4,则AP的长为1或4.ARAP2xTOC\o"1-5"\h\z（2）①解：类似（1）①，易得△ABP^ADPQ,•.CB=4.即,PDDQ5-x2y/口125―得y=—-x十—x—2,1<x<4.22②AP=2或AP=3-6（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路.这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径.）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27.操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.图5图6图7探究：设A、P两点间的距离为x.（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为V，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使^PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说\-7歹ii明理由.（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）产一工L_JX\1।I五、（本大题只有1题，？t分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）图1图2图3（1）解：PQ=PB（1分）证明如下：过点P作MN//BC,分别交AB于点M,交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和4CNP都是等腰直角三角形（如图1）.•••NP=NC=MB.（1分）•••ZBPQ=90,ZQPN+』BPM=90.而/BPM+/PBM=90,••・/QPN=/PBM.（1分）又「/QNP=ZPMB=90,△QNP^△PMB.（1分）PQ=PB.（2）解法一由（1）△QNP^△PMB.彳导NQ=MP._2_2AP=x,•.AM=MP=NQ=DN=——x,BM=PN=CN=1-——x,22CQ=CD—DQ=1—2,*2x=1—V2x.211Spcd=2cQ.PN=lx(1-V2x)(1-22y/2——X)13d212x+—x242(111Spcd=2cQ.PN=lx(1-V2x)(1-22y/2——X)13d212x+—x242(1分)12厂S四边形pbccf$pbc+S—pcq=~x_J2x+1.A2—2即y=-x->j2x+1(0<x<-—).22（1分，1分）解法二作PTLBCT为垂足（如图2）,那么四边形PTCN为正方形.P侵CB=PN.又/PNQ=ZPTB=90,PB=PQ,.PBT^APQN.S四边形PBCcT0四边形PB廿S四边形ptc(FS四边形PTcd+SPQN=S正方形pTCNIII(2分)2中'2212.—CN=(1x)=-x-V2x+122[2t-"^2y=-x—v2x+1(0&x<—).22分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形.一、/k卡飞-J①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时POQC△PCQ是等腰三角形，此时X=O...（1分）②当点Q在边DC的延长线上，且CACQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）（1分）1II/79/-v272解法一此时，QN=PM=—x,CF^xy2-x,CN=—CP=1--x.22272―CQ=QN-CN=—x-(1——-x)=V2x-1.当亚-x=^2x-1时，得x=1.(1分)1解法二此时/CPQ=-ZPCN=22.5,ZAPB=90-22.5=67.5,2ZABA180-(45+67.5°)=67.5,得/APB=ZABRJ2——x.4(1分)J2——x.4(1分)-PBC2222•••AP=AB=1,x=1.（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F,G为切点：（1）当/DEF=45o时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE=x,FC=v,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；5一，（3）将^DEF沿直线EF翻折后得^D1EF,如图，当EF=一时，讨论△AD〔D与△ED1F6是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。2004年上海市中考数学试卷「一，27、（2004?上海）数学课上，老师提出：.：'I如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1,0）,点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D,直线OC交BD于点M,直线CD交y轴于点H,记点C、D的的横坐标分别为xC、xD,点H的纵坐标为yH.同学发现两个结论：①SACMD：S梯形abmc=2：3②数值相等关系：xC?xD=—yH（1）请你验证结论①和结论②成立；（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1,0）”改为“A的坐标（t,0）（t>0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；（3）进一步研究：如果上述框中的条件“如勺坐标（1,0）”改为“购坐标（t,0）（t>0）”，又将条件“y或改为"y=a<（a>0）”，其他条件不变，那么xc、xd与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）考点：二次函数综合题。f!!/Jf\专题：压轴题。分析：（1）可先本据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A,B的坐标得出C,D两点的坐标，-再依据C点的坐标求出直线OC的解析式.进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；（2）（3）的解法同（1）完全一样.解答：解：（1）由已知可得点B的坐标为（2,0）,点C坐标为（1,1）,点D的坐标为（2,4）,由点C坐标为（1,1）易得直线OC的函数解析式为y=x,故点M的坐标为（2,2）,3所以8ACMD=1,S梯形abmc=2所以8ACMD：S梯形ABMC=2：3,即结论①成立.设直线CD的函数解析式为y=kx+b,k+b=1则+b=4,k=3解得［b=-2所以直线CD的函数解析式为y=3x-2.由上述可得，点H的坐标为（0,-2）,yH=-2因为xC?xD=2,所以Xc?XD=-yH,即结论②成立；（2）（1）的结论仍然成立.理由：当A的坐标（t,0）（t>0）时，点B的坐标为（2t,0）,点C坐标为（t,t2）,点D的坐标为（2t,4t2）,，,‘•一•一•由点C坐标为（t,t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx,故点M的坐标为（2t,2t2）,3.•.1・1"-所以区CMD=t3,S梯形ABMC=2t3.产L%L_f\\1IL__.I所以SACMD:S梯形abmc=2：3,即结论①成立.设直线CD的函数解析式为y=kx+b,tk+b=t2J「m2tk+b=4t^k=3t解得［b=-2产I所以直线CD的函数解析式为y=3tx-2t2;由上述可得，点H的坐标为（0,-2t2）,yH=-2t2因为xc?xD=2t2,所以xc?xD=-yH,即结论②成立；（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a>0）,且点A坐标为（t,0）（t>0）时，点C坐标为（t,at2）,点D坐标为（2t,4at2）,设直线CD的解析式为y=kx+b,tk+b=at2则：［2桃+b—4。产，k=3at解得lb=-2at2所以直线CD的函数解析式为y=3atx-2at2,则点H的坐标为（0,-2at2）,yH=-2at2.因为xo?xD=2t2,

所以XC?XD=-QyH.点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点.如05年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷1、（本题满分12分，每小题满分各为4分）在4ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D,交线段OC于点E,彳EPLED,交射线AB于点P,交射线CB于点F。如图8,求证：△AD&△AEP;设OA=x,AP=v,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；当BF=1时，求线段AP的长.J2006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。如图9,如果AP=2PB,PB=BO=求证：△CAO^△BCQ如果AP=m（m是常数，且m>1）,BP=1,OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时，求AC:BC的值（结果用含m的式子表示）；在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。25.(1)证明：AP=2PB=PB+BO=PO,二AO=2PO.AO_POPOBO=2AO_POPOBO=2；PO=CO,2分)1分)AOCO.——=——.•/COA=/BOC,「.△CAOs/XBCO.(1分)COBO(2)解：设OP=x，则CB二-1,OA=x+m,；OP是OA,OB的比例中项，2(1分),x=(x-1xx+m),

(1分)得*=工,m-11OB=——m-1即OP.m-1(1(1分）分）；OP是OA,OB的比例中项，即OAOPOPOB'；OP=OC,OAOCOCOB(1分）设圆O与线段AB的延长线相交于点得*=工,m-11OB=——m-1即OP.m-1(1(1分）分）；OP是OA,OB的比例中项，即OAOPOPOB'；OP=OC,OAOCOCOB(1分）设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P,点Q不重合时,*/AOC=/COB,「.△CAOs^BCO.ACOC=BCOB,处=处=史=m；当点C与点P或点Q重合时，可得生=m,BCOBOBBC二当点C在圆O上运动时，AC:BC=m；(1(1(1分）分）分）(3)解：由(2)得，ACaBC,且AC—BC=(m—1)BC(m>1),AC+BC=(m+1)BC,圆B和圆C的圆心距d=BC,显然BC＜（m+1）BC,a圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含.当圆B与圆C相交时，(m—1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2,(1分）当圆B与圆C内切时，（m—1）BC=BC,得m=2；(1分）(1分)当圆B与圆C内含时，BC＜（m-1）BC,得(1分)2007年上海市初中毕业生统一学业考试25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）,（3）小题满分各5分）已知：ZMAN=60,，点B在射线AM上，AB=4（如图10）.P为直线AN上一动点,以BP为边作等边三角形BPQ（点B,P,Q按顺时针排列），O是4BPQ的外心.（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在/MAN的平分线上；（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C,设用天，ACljAO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;（3）若点D在射线AN上，AD=2,圆I为4ABD的内切圆.当4BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离.

25.(1)证明：如图4,连结OB,OP,；0是等边三角形BPQ的外心，.•.OB=OP,1分圆心角.BOP=362-=1201.3当OB不垂直于AM时，作OH_LAM,OT_LAN,垂足分别为H,T.由/HOT+NA+/AHO+/ATO=360，,且/A=60，,.AHO=/ATO=90「.HOT=120.TOC\o"1-5"\h\zJ./BOH=/POT.1分二RtABOH0RtAPOT.1分二OH=OT.二点O在/MAN的平分线上.…1分当OB_LAM时，/APO=360，—/A—/BOP—/OBA=90.即OP_LAN,「.点O在/MAN的平分线上.综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在/MAN的平分线上.；AO平分/MAN,且NMAN=60，,BAO=NPAO=30’.1分由（1）知，OB=OP,/BOP=120，,1'II/'I，/CBO=300,「./CBO=2PAC.TOC\o"1-5"\h\z：/BCO=jPCA,，AOB=2APC.1分ABaAABO^AACP.ABAO.二AC[_AO=AB[_AP.-y=4x.ACAP一定义域为：x>0.(3)解：①如图6,当BP与圆I相切时，AO=2>/3；2分②如图7,当BP与圆I相切时，AO=4J3;1分3图6③如图8,图6③如图8,当BQ与圆2008年上海市中考数学试卷25.（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知AB=2,AD=4,ZDAB=90,AD//BC（如图13）.E是射线BC上的动点（点E与点B不重合）,M是线段DE的中点.设BE=x△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长;AN,D为顶点的三角形与4BME相似,交线段AM于点N,如果以求线段BEE与点B不重合）,M是线段DE的中点.设BE=x△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长;AN,D为顶点的三角形与4BME相似,交线段AM于点N,如果以求线段BE的长.25.解:点H,联结MH,DMA7m为DE的中点,又：工BE,j.MH_LAB.图132如果以线段联结BD,1121।囹13=abLmh，得BE,MH（1分）ECx+2（x>0）；备用图国分）（2分）（1分）（2）由已知得DE=J（x-4）2+22.（1分）以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,1,1r1,1一=-AB+一DE,即一（x+4）=一:222厂2,；（4-x）222（2分）4解得x=—,即线段

3（3）由已知，以A,4BE的长为一；3N,D为顶点的三角形与4BME相似,（1分）又易证得NDAM=2EBM由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①/ADN=/BEM又易证得NDAM=2EBM由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①/ADN=/BEM;②/ADB（1分）=/BME.①当/ADN=/BEM时，：AD//BE,ADN=/DBE.DBE=/BEM.:DB=DE,易得BE=2AD.得BE=8;②当/ADB=/BME时，AAD//BE,「./ADB=/DBE.DBE=』BME,又/BED=/MEB,AABED^AMEB.DEBEBEDEBEBEEM,即BE2=EMLDE,得x2=1*2+(x_4)2.22+(x_4)2.(2分)解得x=2,X2=—10(舍去).即线段BE的长为2.(2分)综上所述，所求线段BE的长为8或2.2009年上海市初中毕业统一学业考试25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)已知NABC=90°,AB=2,BC=3AD//BQ改线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足吧_=怛(如图8所示).PCAB(1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段PC的长；\/1//I\_\J..I3(2)在图8中，联结AP.当AD=3,且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离2S为x,—"土=y，其中SAAPQ表不△APQ的面积，SApbc表不△PBC的面积，求y关Sapbc于x的函数解析式，并写出函数定义域；(3)当ADcAB,且点Q在线段AB的延长线上时(如图10所示)，求ZQPC的大小.(200A年上海因为/A=90PQ/PC=AD/AB=1所以：△25箪析)解：(1)ap=2,日占(2)如H,h,则：SQD点重合，根哂意7i：海和辅助线，根据题意，两个，2-xH/2=(2*3//2-(x*H/2*3/2)*(2-h(200A年上海因为/A=90PQ/PC=AD/AB=1所以：△25箪析)解：(1)ap=2,日占(2)如H,h,则：SQD点重合，根哂意7i：海和辅助线，根据题意，两个，2-xH/2=(2*3//2-(x*H/2*3/2)*(2-hS2=3*hB2因为两S1/S2=y,消音H,hBY=-(1/4)*x+(1/2),图8图9PQE等腰三角形，BC=3三角形的面积以以分别表示成PBGD^PDA,图10CB/乙C所以：PQ=3/2,S1.S2,高分别是定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PCQhWBD时，这时X=0,连接DC,作QD垂直DQ由已知条件得：BQD、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知:三角形QDG目似于三角形ABDQD/DC=AD/AB=3/4令QD=3t,DC=4t,贝U:QC=5t,由勾股定理得:直角三角形AQD中：(3/2)A2+(2-x)A2=(3t)A2直角三角形QBC中：3A2+*人2=(5。A2整理得：64xA2-400x+301=0(8x-7)(8x-43)=0得x1=7/8x2=(43/8)>2(舍去)所以函数：Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0,7/8](3)因为：PQ/PC=AD/AB假设PQ不垂直PQ则可以作一条直线PQ垂直于PC,与AB交于Q'点，则：B,Q',P,C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB^以，点Q'与点Q重合，所以角/QPC=90

2A1或咬于点E,连淤QE并延长,中毕业统一学业考试数学卷/DPRt^ABC中，A2A1或咬于点E,连淤QE并延长,中毕业统一学业考试数学卷/DPRt^ABC中，AACB=907.*径为1的圆A与边当/B上30,口手飞第二AP,BC的延〜、，，AEP与4BDP相似，-CCE白CB（Q

图8',图9（2）若CE=2,BD=BC求/BPD的正切值；DAP.C图10Q1（3）右tan/BPD=—，设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.3图9图10（备用）图11（备用）2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt^ABC中，/ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点，直线PEXA