3.轻弹簧弹力作用下的平衡问题

3.轻弹簧的弹力作用下的平衡问题一知能掌握（一）轻弹簧的弹力特点.轻弹簧（或橡皮绳广质量、重力可视为零.轻弹簧（或橡皮绳）弹力大小的特点：（1）内容：弹簧发生弹性形变时,弹力的大小F跟弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比。（2）表达式：F=kx。①k是弹簧的劲度系数，单位为N/m；k的大小由弹簧自身性质决定。②x是形变量,但不是弹簧形变以后的长度。（3）各处弹力大小相等，压缩和拉伸相同量时，弹力大小相等。.轻弹簧（或橡皮绳）弹力方向的特点：轻弹簧既可伸长，也可压缩，一定沿弹簧轴线，与形变方向相反可以提供拉力、推力.由于弹簧和橡皮绳受到力的作用时，其形变较大，发生形变需要一段时间，所以弹簧和橡皮绳中的弹力不能突变.但是，当弹簧和橡皮绳被剪断时，它们产生的弹力立即消失.（二）平衡问题特点1.这类题常以单一的问题出现，涉及到的知识是胡克定律，平衡条件方程，一般用f=kx或△f=k?△x来求解。2、静止的轻弹簧平衡时两种可能的形变在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态，也可以处于压缩状态，必须全面分析各种可能性，以防漏解。3.涉及多个弹簧和物理时，注意隔离法和整体法的应用（二）解决这类问题的方法是：.选对象。以与弹簧相联系的物体为研究对象，.析受力。进行受力分析，在分析弹力的时候，务必考虑到弹簧伸长和压缩两种可能的状态也就是物体所受弹力的有两个可能的方向。.列方程。对物体应用平衡条件列平衡方程，结合胡克定律列出形变量和弹力的表达式方程.求结果。根据平衡方程和胡克定律方程联立求解弹力或者求出弹簧的伸长量、压缩量以及弹簧的长度与原长。二探索提升【典例1］如图3所示，两木块的质量分别为m和m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2,上面木块压在下面弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧.在此过程中下面木块移动的距离为（C）

Ei皆mgA.k7B.mgmg"kTC.k7解析在没有施加外力向上提时，弹簧k2被压缩，压缩的长度为：A(m+m)gx=kEi皆mgA.k7B.mgmg"kTC.k7解析在没有施加外力向上提时，弹簧k2被压缩，压缩的长度为：A(m+m)gx=k2缓慢向上提m直至m刚离开上面弹簧时,弹簧k2仍被压缩，压缩量为Ax'=震.所以在此过程中，下面木块移动的距离为：Ax—Ax【典例2】三个质量均为1kg的相同木块a、mg।…=~r~,故选C.k2b、c和两个劲度系数均为簧p、q用轻绳连接，如图4所示，其中a放在光滑水平桌面上.开始时木块都处于静止状态.现用水平力F缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到地面为止，g取10m/s2.该过程p弹簧的左端向左移动的距离是(C500N/m的相同轻弹p弹簧处于原长，

c木块刚好离开水平)图4A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm解析“缓慢地拉动”说明系统始终处于平衡状态，该过程中p弹簧的左端向左移动的距离等于两个弹簧长度变化量之和；最初，p弹簧处于原长，而q弹簧受到竖直向下的压力FniFni=mbg=1x10N=10NI,所以其压缩量为Xi=~=2cm;最终c木块刚好离开水平地面，q弹簧k一―一一，，…,一一，Fn2,、.受到竖直向下的拉力Fn2=mg=1X10N=10N,其伸长星为X2=—=2cmi,拉力F=(m+m)gk=2X10N=20N,p弹簧的伸长量为X3=~=4cm,所以p弹簧的左端向左移动的距离x=Xik+X2+X3=8cm.【典例3】如图所示，原长分别为天花板上。两弹簧之间有一质量为L1和L2、劲度系数分别为k1和k【典例3】如图所示，原长分别为天花板上。两弹簧之间有一质量为m的物体，最下端挂着质量为m2的另一物体，整个装置处于静止状态。(1)这时两个弹簧的总长度为多大?(1)这时两个弹簧的总长度为多大?（2）若用一个质量为M的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，求这时平板受到下面物体R2的压力解：（1）劲度系数为ki轻质弹簧受到的向下拉力（m+m）g,设它的伸长量为xi,根（除。十稗Jg„…呵—r―TOC\o"1-5"\h\z据胡克te律有：（m+m）g=kixi解得：/劲度系数为k2轻质弹簧受到的向下拉力m^g,设它的伸长量为X2,根据胡克定律有：n2g=k2X2解得：2这时两个弹簧的总长度为：L=Li+L2+Xi+X2=Li+L2+用+/（2）用一个平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和时，下面的弹簧应被压缩x,上面的弹簧被拉伸X。以m为对象，根据平衡关系有:（ki+k2）X=mg解得：弓.0以田为对象，设平板对m的支持力为Fn,根据平衡关系有：故这时平板受到下面物体m2的压力Fni7三高考真题TOC\o"1-5"\h\z（20i9・新课标全国卷，i5）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为i00cm;再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（）A.86cmB.92cmC.98cmD.i04cm解析：将钩码挂在弹性绳的中点时，由数学知识可知钩码两侧的弹性绳（劲度系数设为k）与竖直方向夹角0均满足sine=4,对钩码（设其重力为G静止时受力分析，得G=5m0.8m2k———2—cos0;弹性绳的两端移至天花板上的同一点时，对钩码受力分析，得G=L0.8m2k万—―2-,联立解得L=92cm,可知A、CD项错误，B项正确.答案：B（20i0・新课标全国卷，i5）一根轻质弹簧一端固定，用大小为Fi的力压弹簧的另一端，

平衡时长度为ll；改用大小为F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为(C).F2—FiF2+FiF2+FiF2—FiA12—llB.I2+I1C.l2-ll"l2+l1解析设弹簧原长为l,由题意知，Fi=k(l-li),F2=k(12—l),两式联立，得k='j,选项C正确.12——li(20ii・山东卷，i9)如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁.开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力FfaWO,b所受摩擦力Ffb=0.现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间(AD).A.Ffa大小不变B.Ffa方向改变C.Ffb仍然为零D.Eb方向向右解析剪断右侧绳的瞬间，右侧细绳上拉力突变为零，而弹簧对两木块的拉力没有发生突变，与原来一样，所以b对地面有向左的运动趋势，受到静摩擦力Ffb方向向右，C错误,D正确.剪断右侧绳的瞬间，木块a受到的各力都没有发生变化，A正确，B错误.四实践拓展练习i:一根轻质弹簧，当它上端固定、下端悬挂重为G的物体时，长度为Li；当它下端固定在水平地面上，上端压一重为G的物体时，其长度为L2,则它的劲度系数是(D).A.GB.LA.GB.L2GC.Li-L22GD，Li-L2解析设弹簧原长为L。，由胡克定律知，G=k(Li-Lo),_.2G,G=k(Lo—L2),联乂可得k=~,D对.Li—L2练习2:（单选）如图2—1—17所示，将一轻质弹簧的一端固定在铁架台上，然后将最小刻度是毫米的刻度尺竖直放在弹簧一侧,刻度尺的度是毫米的刻度尺竖直放在弹簧一侧,刻度尺的0刻线与弹簧上端对齐，使弹簧下端的指针恰好落在刻度尺上.当弹簧下端挂一个端挂两个50g的祛码时，指针示数为50g的祛码时，指针示数为恰好落在刻度尺上.当弹簧下端挂一个端挂两个50g的祛码时，指针示数为1.2=5.10cm.g取9.8m/s2.由此可知（A）.A.弹簧的原长是1.70cmB.仅由题给数据无法获得弹簧的原长C.弹簧的劲度系数是28N/mD.由于弹簧的原长未知，无法算出弹簧的劲度系数解析设弹簧原长为L0,由胡克定律得k（L1-L0）=mgk（L2—L0）=2mg解得Lq=1.70cm,k=29N/m,A正确.ki>kz；A和B表本质重分别现要求两根弹簧a练习3：S和5表示劲度系数分别为ki,和k2两根轻质弹簧，为rki>kz；A和B表本质重分别现要求两根弹簧aA.Si在上，A在上B.Si在上，B在上C.S2在上，A在上D.S2在上，B在上参考答案:D练习4:（单选）如图2—1—20所示，重80N的物体A放在倾角为的粗糙斜面上，有一根原长为10cm,劲度系数为1000N/m的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8cm,现用一测力计沿斜面向上拉物体，若物体与斜面间最大静摩擦力为25N当弹簧的长度仍为8cm时，测力计读数不可能为（D）.A.10NB.20NC.40ND.60N解析当物体受到的静摩擦力方向沿斜面向下，且达到最大静摩擦力时，测力计的示数最大，此时F+kAx=mgsin0+Ffmax解得F=45N,故F不能超过45N,选D.练习5:如图2—1—10所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L,两根相同的橡皮条自由长度均为L,在两橡皮条的末端用一块软羊皮（长度不计）做成裹片.若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k,发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L（弹性限度内）,则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为（D）.A.kLB.2kLC.-23kLD.解析对裹片受力分析，由相似三角形可得:则裹片对弹丸的最大作用力为尸丸=尸=噂吐，故选项D正确.练习6:如图所示，两个木块的质量分别为m和R2,两个轻质弹簧的劲度系数分别为ki和k2,上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上

面的木块，直到它刚离开上面的弹簧.在此过程中上面的木块移动的距离为（D）A.mg

kimgmg

A.mg

kimgmg

kikiCmgC.k2练习7:（2019年广东珠海期末联考质量分别为m和m的木块1和2,）如图5—2所示，在一粗糙水平面上有两个中间用一原长为I、劲度系数为k的轻弹簧连接起来，木块与地面间的动摩擦因数为现用一水平力向左拉木块1,当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离是（）l+(1Fl+(1Fmg1+-(m+m)gLtmmD・Nf^g解析：以木块2为研究对象，受到向左的弹簧的拉力和向右的地面的摩擦力而做匀速运动，拉力等于摩擦力，kAx=（img,Ax=_kn2g,两木块之间的距离是l+~k~mg,C正确，AB、D错误.答案：C练习8:（2019年大庆铁人中学模拟）如图5—3所示，轻质弹簧连接AB两物体，弹簧劲度系数为k,AB质量分别为m、A放在水平地面上，B也静止；现用力拉B,使其向上移动，直到A刚好离开地面，此过程中，B物体向上移动的距离为A.mg

kB.A.mg

kB.mg

k(m+m)gm一D.--(m+m)g解析：开始时，A、B都处于静止状态，弹簧的压缩量设为xi,由胡克定律有kxi=mg,物体A恰好离开地面时，弹簧的拉力为mg,设此时弹簧的伸长量为X2,由胡克定律有kx2=mg,这一过程中，物体B上移的距离d=xi+X2,联立可解得d=（m：m）g,c正确.故k选C.答案：C练习9:（2019年潍坊质检）（多选）如图5—10所示，在倾角为30°的光滑斜面上，AB两个质量均为m的滑块用轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数为k,水平力F作用在滑块B上，此时弹簧长度为l,且在弹性限度内，则下列说法正确的是（）A.弹簧原长为l+mg2k上A.弹簧原长为l+mg2k上……',3C.力F的大小为《-mgB.弹簧原长为l+mg

k23D.力F的大小为—3-mg解析：对A物体，据平衡条件得mgsin30=kx,其中mgx=l0—l,斛得10=l+~,2k正确，B错误；对A、B构成的整体，据平衡条件得Fcos30°=2mgsin30°,解得F=/-mg3C错误，D正确.答案：AD练习10:一轻弹簧两端分别连接物体a、b,在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图2—1—9所示，在水平面上时，力为Fi,弹簧长为Li,在斜面上时，力为F2,弹簧长为L2,已知a、b两物体与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长L1+LL1+L2A2B.F1L1—F2L2F2—F1F2Li-FiL2F2Li+FiL2F2—FiF2+Fi解析设物体a、b的质量分别为m、m,与接触面间的动摩擦因数为,弹簧原长为Lo,在水平面上时，以整体为研究对象有Fi-^(m+m)g=(m+m)a,①隔离a物体有k(L解析设物体a、b的质量分别为m、m,与接触面间的动摩擦因数为,弹簧原长为Lo,在水平面上时，以整体为研究对象有Fi-^(m+m)g=(m+m)a,①隔离a物体有k(Li—L0)—(1mg=ma,②……一m…联立解得k(Li—L0)=而2Fi，③m_同理可得k(L2-L0)=---F2,④m十iT2一r一，.ELi—RL2联立③④可得轻弹簧的原长为Lo=匚匚,C对.「2—Fi练习11:如图9所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部O处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点.已知容器与水平面间的动摩擦因数为w,op与水平方向间的夹角为e=30°.下列说法正确的是A.C.CD)水平面对容器有向右的摩擦力容器对小球的作用力大小为B…i.弹黄对小球的作用力大小为2mgmgD.弹簧原长为R+mgk解析以容器和小球组成的整体为研究对象,受力分析可知，竖直方向有总重力、地面的支解析以容器和小球组成的整体为研究对象,受力分析可知，竖直方向有总重力、地面的支持力，水平方向上地面对半球形容器没有摩擦力,故持力，水平方向上地面对半球形容器没有摩擦力,故A错误.对小球进行受力分析可知，小球受重力、容器的支持力及弹簧的弹力而处于静止状态，由共点力的平衡条件可求得小球受Fn=F到的弹簧的弹力及小球受到的支持力.对小球受力分析如图所示，由几何关系可知,=mg故弹簧原长为R+罟故B错误，CDFn=Fk练习i2:(多选)如图2—i—2i所示，两根光滑细棒在同一竖直平面内，两棒与水平面成37°两小球在图中位置处于静角，棒上各穿有一个质量为m的相同小球，两球用轻质弹簧连接,两小球在图中位置处于静止状态，此时弹簧与水平面平行，则下列判断正确的是（AC）.A.弹簧处于拉伸状态B.弹簧处于压缩状态33C.弹黄的弹力大小为4mgD.弹黄的弹力大小为名mg解析若弹簧处于压缩状态，右侧小球受到竖直向下的重力，水平向右的弹簧弹力和垂直细杆斜向左下方的弹力，小球不可能平衡，所以弹簧处于拉伸状态，对左侧小球受力分析3如图所不，由平衡条件知F=mgan37=[mg则A、C对，B、D错.练习13:（多选）两个中间有孔的质量为M的小球用一轻弹簧相连，套在一水平光滑横

杆上.两个小球下面分别连一轻弹簧.两轻弹簧下端系在同一质量为m的小球上，如图5—9所示.已知三根轻弹簧的劲度系数都为k,三根轻弹簧刚好构成一等边三角形.则下列判断正确的是（）A.水平横杆又•质量为M的小球的支持力为M/mgB.连接质量为m小球的轻弹簧的弹力为号3C.连接质量为m小球的轻弹簧的伸长量为T^mg3KTOC\o"1-5"\h\zD.套在水平光滑横杆上车5弹簧的形变量为-3mg6K解析：水平横杆对质量为M的小球的支持力为M/m2gg选项A错误；设下面两个弹簧的弹力均为F,则2Fsin60°=mg解得F=卓mg结合胡克定律得Kx=^3mg则x=[3mg333K选项B错误，选项C正确；下面的一根弹簧对M的水平分力为Fcos60°=33mg再结合胡33克定律得Kx=m（g解得x，=^mg选项D正确.答案：CD图5-6练习14：（多选）如图5—6所示，小球a的质量为小球b质量的一半，分别与轻弹簧AB和轻绳相连接并处于平衡状态.轻弹簧A与竖直方向夹角为60。，轻弹簧AB伸长量刚好相同，则下列说法正确的是（）A.轻弓t簧A、B的劲度系数之比为3：1B.轻弓t簧AB的劲度系数之比为2：1C.轻绳上拉力与轻弹簧A上拉力的大小之比为2：1D.轻绳上拉力与轻弹簧A上拉力的大小之比为小:2解析：设轻弹簧AB伸长量都为x,小球a的质量为m则小球b的质量为2m对小球b,由平衡条件，弹簧B中弹力为kBx=2mg对小球a,由平衡条件，竖直方向kBx+mg=kAXcos60°,联立解得kA=3kB,选项A正确，B错误；水平方向，轻绳上拉力F=kAXsin60°,选项C错误，D正确.答案：AD练习15:如图所示，A、B是两个相同的弹簧，原长都是Lo=10cm,劲度系数k=500N/m,若悬挂的两个物体质量均为m现测得两个弹簧的总长为26cm,则m=。（g取一2、10m/s）解析：首先以下面物体为研究对象，然后以两物体为整体，求出对上端弹簧拉力，分别列出弹力方程：□n可/+4）即tn=-L=强3g答案：1kg练习16:如图5-12所示，质量为m的物体连接在置于水平面上的劲度系数为k的竖直轻弹簧上.一根弹性细绳跨过定滑轮与物体连接.弹性细绳没有拉力时，其端点位于M位