小波分析第8部分从尺度函数到多分辨分析课件

多分辨分析(Multi-Resolution-Analysis)MAR构成多分辨分析的闭子空间序列满足(a1)单调性:(a2)(a3)(a4)二进制伸缩相关性：(a5)平移不变性:

尺度函数满足条件

(b1)是Riesz基；(b2)满足双尺度方程(ab)(b3)在连续且构造MAR的两种方法

构造MAR方法之一:从闭子空间序列开始,但证明(a2)(a3)困难.找尺度函数也难.构造MAR方法之二:从尺度函数开始,找闭子空间序列.构造MAR的两种方法涉及条件的互相推出

由满足(b1),(b2)的尺度函数可在定义(ab)下推出闭子空间序列满足(a1),(a3),(a4).在(b1),(b2),(ab)下得出闭子空间序列满足(a1)的证明:如的证明:因只需证明在(b1),(b2),(ab)下得出闭子空间序列满足(a1)的证明:因由双尺度方程有在(b1),(b2),(ab)下得出闭子空间序列满足(a4)的证明:因故

在(b1),(b2),(ab)下得出闭子空间序列满足(a5)的证明:因故

构造MAR的两种方法涉及条件的互相推出

在(b1),(ab)下得出的闭子空间序列满足(a3).即定理5.1(略证).在(b1),(ab)及(b3)条件下得出的闭子空间序列满足(a2).即定理5.2(略证).

尺度函数决定MRA的条件

定理5.3尺度函数若满足:(b1)是Riesz基;(b2)满足双尺度方程(b3)在连续且则空间序列和一起形成一个MRA.由尺度函数决定MRA的条件

应用中，(b1),(b2),(b3)也用下述相应的等价条件代替：(b1’)(b2’)双尺度方程(b3’)定理5.4证明证明：只需证明函数满足定理5.3即可.显然,故(b3)成立.由(5.14),级数中最多有两项不为零,且由(5.15)知,证得(b1).且定理5.4证明为正交尺度函数.令为周期函数,其在上的值由定义.因故证得(b2).Meyer小波Meyer用分段光滑拼接的方法给出的以尺度函数的傅立叶变换满足条件:无穷光滑;导数有界;多项式衰减.构造了Meyer小波.Meyer小波Meyer小波尺度函数,取用恒值函数与多项式函数分段光滑拼接出Meyer小波

Meyer小波实质上,Meyerx小波的尺度函数的傅立叶变换采用了最简单的恒值函数的分段光滑拼接.但傅立叶反变换很困难能解析表示出来.Battle-Lemarie小波用分段光滑拼接的方法给出尺度函数时,若采用整数节点样条函数,则得到Battle-Lemarie小波,且以Haar小波为特例.n=0,取分段常数样条函数显然双尺度方程成立及为规范正交系.又(b3)即成立.由此构成了Haar小波.Battle-Lemarie小波2)n=1,取分段线性样条函数为三角波函数显然双尺度方程成立.又Battle-Lemarie小波n=1但不为规范正交系.又Battle-Lemarie小波n=1但用正交化方法最后可得小波函数(略).Battle-Lemarie小波3)n=2,取分段二次样条函数(分析略)

Battle-Lemarie小波具有指数衰减特性.Meyer小波具有无穷光滑,导数有界性,但为多项式衰减.定理5.8指出小波函数不可能同时具备无穷光滑,导数有界,指数衰减,规范正交性.目前我们尚未构造出具有紧支撑性小波.第6章紧支撑正交小波通过构造正交,紧支撑尺度函数来构造紧支撑小波.令尺度函数满足:(b1)’是标准正交系;(b2)满足双尺度方程(b3)’(b4)是紧支撑的.Marr小波设称为“墨西哥帽子”小波.更光滑的卷积小波函数设是一个小波函数,是一个有界函数,则卷积