2022届北京市朝阳区高三一模数学试题(word版)

北京市朝阳区2022届高三一模数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2．直线被圆截得的弦长为（）A．1B．C．2D．3．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．34．设A．，若，，，则（）B．C．D．，则实数的值为（5．已知函数，若）A．B．C．1D．2，则“”是“6．已知”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知三棱锥，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为()A．3B．6C．9D．128．已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期.若四个数列分别满足：①②，，；；③④，，，；.则上述数列中，8为其周期的个数是（A．1B．2C．3D．4）9．如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为直角坐标系，设，下口半径为，高为，.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面，，，则双曲线的方程近似为（）（参考数据：，，）A．B．C．D．10．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和），则该截面面积（单位：）的最大值是（A．B．C．D．二、填空题11．计算________．12．已知直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是___________.13．在平面直线坐标系中，设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于点，且点在轴上方，过点作抛物线的切线与抛物线的准线交于点，与轴交于点.给出下列四个结论：①的面积是；②点的坐标是；③在轴上存在点使；④以为直径的圆与轴的负半轴交于点，则.其中所有正确结论的序号是___________.三、双空题14．已知数列___________；是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则___________.15．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则___________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________.四、解答题16．在中，.(1)求；(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使积.存在且唯一确定，求的面条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.17．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；(3)在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）18．如图1，在四边形中，，，，沿，，，分别是的位置，得到五棱锥，上的点，，，.将折起到，如图2.(1)求证：(2)若平面平面；平面，（i）求二面角（ii）对线段19．已知的余弦值；上任意一点，求证：直线与平面相交.，.(1)若曲线在点处的切线与轴重合，求的值；(2)若函数(3)设在区间上存在极值，求的取值范围；，在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由.20．已知椭圆：的一个焦点为，且过点.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线的斜率的比值.交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线21．对非空数集，，定义与的和集素的个数..对任意有限集，记为集合中元(1)若集合，，写出集合与；(2)若集合数列；满足满足，，且，求证：数列，，，是等差(3)设集合，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.参考答案：1．D2．B3．A4．C5．C6．A7．B8．B9．A10．B11．12．（答案不唯一）13．①③④14．15．米平方米.16．(1)（1）利用正弦定理可得（2）选①②利用正弦定理可得；，进而可得，即得；，又利用诱导公式及和差角公式可得，可得不存在；选①③利用余弦定理及面积公式即得；选②③利用正弦定理可得，再利用面积公式即求.(1)∵，∴∴，又，，即，又，，∴；(2)选①②，由，，∴，，，又，∴不存在；选①③，，，由余弦定理可得，，即，∴∴，即，的面积为；选②③，∵，，，∴，，∴，∴的面积为；.17．(1)(2)分布列见解析，；(3)(1).由直方图可得第二组的频率为，∴全校学生的平均成绩为：(2)由题可知成绩在80分及以上的学生共有所以可取0,1,2,3，则人，其中中的人数为5，，，，，故的分布列为：0123P；(3).18．(1)证明见解析；(2)（i），（ii）详见解析.(1)∵，，∴，∴，又；，∴平面(2)（i）由又平面∴，可知为的平面角，平面，，即，又，∴平面，如图建立空间直角坐标系，则，∴，，设平面的法向量为，则，即令，则，又平面的一个法向量可取，∴，；∴二面角（ii）由题设∴的余弦值为，又，，∴，又，∴，又平面的一个法向量为，由，可得，又，∴，∴直线与平面相交.19．(1)(2)(3)单调递减，理由见解析.(1)解：因为所以曲线因为曲线，，，在点处的切线方程为，即，在点处的切线与轴重合，所以，解得.(2)解：由（1）得，因为函数所以在区间上存在极值，在区间上有变号零点，当当时，在区间在区间上单调递增，，故不符合题意；时，上单调递减，且当趋近于时，趋近于，故要使在区间上有变号零点，则，即综上，，即的取值范围是.(3)解：函数在区间上单调递减，理由如下：，在，，所以，令，则在恒成立，所以函数上单调递减，由于，所以函数所以函数在上恒成立，在区间，上的单调递减.20．(1)(2)2(1)由题设有，故，故椭圆的方程为，故离心率为.(2)由题设可得设的斜率必存在且不为零，，，则，由故可得，，，由故可得，即，且，又故，，21．(1)(1)，