重积分知识点

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重积分教学内容

二重积分、三重积分的概念和性质，二重积分、三重积分的计算和应用。教学目的、要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理。

2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。

3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。4.会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）。重点与难点

1重点：二重积分的概念与计算。

2难点：三重积分的计算，重积分的应用。第一节

二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1、曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面(在上连续)且,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积可以这样来计算:用任意一组曲线网将区域分成个小区域

,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体

。（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。）从而。

由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是。整个曲顶柱体的体积近似值为

。为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设个小区域直径中的最大者为,则2、平面薄片的质量设有一平面薄片占有

面上的区域,它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。将分成个小区域

用记的直径,

既代表第个小区域又代表它的面积。当很小时,由于连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,那么第小块区域的近似质量可取为，于是

，

两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念---二重积分。3、二重积分的定义[定义]设是有界闭区域上的有界函数,将区域任意分成个小闭区域：,其中:

既表示第个小闭区域,也表示它的面积。在每个上任取一点，作乘积，并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作，即其中:

叫做被积函数；叫做被积表达式；叫做面积元素；与叫做积分变量；叫做积分区域；叫做积分和。若在闭区域上连续,则在上的二重积分存在。由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作

(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为

。若,二重积分表示以为顶,以为底的曲顶柱体的体积。如果是负的，柱体就在面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果在的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把面上方的柱体体积取成正，下方的柱体体积取成负，则在上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1、【线性性】

其中:是常数。2、【对区域的可加性】若区域分为两个部分区域与,则3、若在上,

,为区域的面积,则：几何意义:高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4、若在上,,则有不等式：特别地,由于，有：5、【估值不等式】设与分别是在闭区域上最大值和最小值,

是的面积,则6、【二重积分的中值定理】设函数在闭区域上连续,

是的面积,则在上至少存在一点,使得

【例1】估计二重积分

的值,

是圆域。解:求被积函数f(x,y)=x2+4y2+9在区域上的最值：,,于是有

【例2】比较积分与的大小,

其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0)。解：三角形斜边方程，在D内有,故,

于是,因此

。

第二节

二重积分的计算法利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、利用直角坐标计算二重积分如果积分区域D为X－型：，，、在区间上连续。的值等于以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得：

如果积分区域D为Y－型：，、在区间上连续。

。X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区域既不是X型区域，又不是Y型区域，则可把D分成几部分，使每个部分是X型区域或是Y型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分对于积分区域具有可加性，它们的和就是在D上的二重积分。

【例1】改变积分

的次序.解：原式.【例2】改变积分的次序.解：原式.

【例3】计算,其中是由抛物线及直线所围成的区域。解：(法一)

,

(法二)

,

【例4】求，其中D是以为顶点的三角形.解:

无法用初等函数表示，

积分时必须考虑次序。注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，即要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性。

【例5】求由曲面及所围成的立体的体积。解:立体在面的投影区域为：

二、利用极坐标计算二重积分

极坐标系中的二重积分,同样可以化归为二次积分来计算。【情形一】，其中函数,

在上连续。

【情形二】，极点O在区域D的边界曲线上。【情形三】，极点O在区域D的内部。

【例6】将下列区域用极坐标变量表示1、解：2、解：【例7】计算，其中D

是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域.解：在级坐标系下，注意：本题如果用直角坐标计算，由于积分不能用初等函数表示，所以算不出来。我们可以利用上面的结果来计算工程上常用的反常积分

。设

，

，显然，而被积函数满足

,故

再利用例7的结果有

,

,故不等式改写成：

所以当时有

,即

。注意：使用极坐标变换计算二重积分的原则：(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(含,

为实数)。

第三节

三重积分一、三重积分的概念[定义]设是空间有界闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域

,其中表示第个小区域,也表示它的体积。在每个小区域上任取一点,作乘积，，并作和式。如果当各小闭区域直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的三重积分。记作，即

其中叫体积元素。自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。若函数在区域上连续,则三重积分存在。特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。如果表示某物体在处的质量密度,是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式

就是物体质量M的近似值,该和式当时的极限值就是该物体的质量M，故。特别地,当时,

。二、三重积分的计算1、利用直角坐标计算三重积分在面上的投影区域为,过上任意一点,作平行于轴的直线穿过内部,与边界曲面相交不多于两点。亦即,

的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。

,，其中,

在上连续,并且

。，若，则三重积分可化为如下三次积分：这就是三重积分的计算公式,它将三重积分化成先对积分变量,次对,最后对的三次积分。如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S相交不多于两点，也可把闭区域投影到yoz面上或xoz面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分。如果平行于坐标轴且穿过闭区域内部的直线与边界曲面S的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法,将分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域(

)上的三重积分之和,当然各部分区域()应适合对区域的要求。【例1】计算,其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。解:

计算三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即所谓截面法。有下述计算公式。设空间闭区域其中是竖标为z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则有：

【例2】计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.解（一）

原式.解（二）

。

【例3】

计算三重积分，其中

是由椭球面所成的空间闭区域.解：，

原式

2、利用柱面坐标计算三重积分设为空间内一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。规定的取值范围是：，，。柱面坐标系的三组坐标面分别为：,即以轴为轴的圆柱面；,即过轴的半平面；,即与面平行的平面。点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式为：

用三组坐标面,,,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为：，这便是柱面坐标系下的体积元素,且有这就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行，其积分限要由在中的变化范围来确定。具体说来，用柱面坐标表示积分区域的方法如下：(1)、找出在面上的投影区域,并用极坐标变量表示之；(2)、在内任取一点,过此点作平行于轴的直线穿过区域,此直线与边界曲面的两交点之竖坐标(将此竖坐标表示成的函数)即为的变化范围。【例4】求下述立体在柱面坐标下的表示形式

球面与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。解：

由锥面与平面所围成的立体。解：【例5】利用柱坐标计算三重积分,其中是由曲面与平面所围成的闭区域。解:

，2、利用球面坐标计算三重积分这里，的变化范围为：,三组坐标面分别为：，即以原点为心的球面；，即以原点为顶点、轴为轴的圆锥面；，即过轴的半平面。不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为

用三组坐标面,

,

,将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量

所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为：，这就是球面坐标系下的体积元素。由此，有：

这就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。其右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。实际中经常遇到的积分区域是这样的，是一包围原点的立体,其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有。例如:若是球体

,

则的球坐标表示形式为

【例6】求半径为的球面与半顶角为饿内接锥面所围成的立体的体积。解：设球面通过原点，球心在轴上，又内接锥面的顶点在原点，其轴与轴重合，则球面方程为，锥面方程为。

第四节

重积分的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中。

若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内。这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为

。一、曲面的面积设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面,该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面在点处的法线向量(指向朝上的那个)为，它与轴正向所成夹角的方向余弦为

，，这就是曲面的面积元素,故，即：【例1】求球面含在柱面()内部的面积。解:所求曲面在面的投影区域

曲面方程为

,则据曲面的对称性,有若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有或

二、质心先讨论平面薄片的质心。设平面上有个质点，它们分别位于，，处，质量分别为．则该质点系的质心的坐标为：

，

。其中为该质点系的总质量，分别为该质点系对轴和轴的静矩。设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的质心坐标。在闭区域上任取一直径很小的闭区域(这小闭区域的面积也记作)，是这小闭区域上的一个点。由于的直径很小，且在上连续，所以薄片中相应于的部分的质量近似等于，这部分质量可近似看作集中在点上，于是可写出静矩元素及：，，以这些元素为被积表达式，在闭区域上积分，便得：，，又由平面薄片的质量为：，从而,薄片的质心坐标为：，如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则十分显然,这时薄片的质心完全由闭区域的形状所决定,因此,习惯上将均匀薄片的质心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。【例2】求位于两圆和之间的均匀薄片的质心。解:因为闭区域对称于轴，所以可知:

，所求质心是

。类似地，占有空间有界闭区域、在点处的密度为(假定在上连续)的物体的质心坐标是，，其中三、转动惯量先讨论平面薄片的转动惯量。设平面上有个质点,它们分别位于点处,质量分别为。设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上