高三数学理科立体几何练习体积表面积

-.z高三数学理科立几练习(外表积+体积)班级座号一、柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3提示：(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形．二、多面体的外表积的求法：(1)求解有关多面体外表积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中几何元素的联系．(2)旋转体的外表积的求法：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而外表积是侧面积与底面圆的面积之和．三、给出几何体的三视图，求该几何体的体积或外表积时，可以根据三视图复原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的构造特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．假设所给几何体为不规则几何体，常用等体积转换法和割补法求解．练习：1．把球的外表积扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的()．A．2倍B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍D.eq\r(3,2)倍2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为()A.eq\f(142,3)B.eq\f(284,3)C.eq\f(280,3)D.eq\f(140,3)3.圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则其侧面积与全面积的比为，此圆锥体积为4．点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出以下四个命题：①三棱锥A­D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．5.棱长为2的正四面体的外表积是，体积是，其外接球体积为。6．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的外表积及体积．8.一个几何体的三视图如下图．主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的外表积S.9．*几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.10.圆锥的母线长为20cm，则当其体积最大时，其侧面积为〔〕A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2高三(上)数学立几练习(体积外表积)班级座号一、柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3提示：(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形．二、多面体的外表积的求法：(1)求解有关多面体外表积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中几何元素的联系．(2)旋转体的外表积的求法：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而外表积是侧面积与底面圆的面积之和．三、给出几何体的三视图，求该几何体的体积或外表积时，可以根据三视图复原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的构造特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．假设所给几何体为不规则几何体，常用等体积转换法和割补法求解．练习：1．把球的外表积扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的()．答案BA．2倍B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍D.eq\r(3,2)倍2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为()．答案BA.eq\f(142,3)B.eq\f(284,3)C.eq\f(280,3)D.eq\f(140,3)解析根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如下图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3).3.圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则其侧面积与全面积的比为，2:3此圆锥体积为，，4．点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出以下四个命题：①三棱锥A­D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，∴三棱锥P­AD1C的体积不变．又VP­AD1C＝VA­D1PC，∴①正确．∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1，显然③不正确；由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1，∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．答案：①②④5.棱长为2的正四面体的外表积是4eq\r(3)，体积是，其外接球体积为。解析：每个面的面积为：eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴外表积为4eq\r(3)，体积是外接球直径，半径，体积=〔将四面体补成正方体〕6．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.答案13解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个一样的三棱柱，然后将其展开为如下图的实线局部，则可知所求最短路线的长为eq\r(52＋122)＝13(cm)．7．(2021·模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的外表积及体积．解：由得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S外表＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.8.一个几何体的三视图如下图．主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的外表积S.解析(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).9．*几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示．(1)几何体的体积为：V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故几何体的侧面面积为：S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×8×5＋\f(1,2)×6×4\r(2)))＝40＋24eq\r(2).10．〔2021秋•期末〕圆锥的母线长为20cm，则当其体积最大时，其侧面积为〔〕A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【分析】设底面半径为r，用r表示出圆锥的体积，利用函数思想求出体积的极大值点，代入侧面积公式即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则h=，∴圆锥的体积V=πr2h=，令f〔r〕=400r4﹣r6，∴f′〔r〕=1600r3﹣6r5，令f′〔r〕=0，解得r=，当0＜r＜时，f′〔r〕＞0，当＜r＜20时，f′〔r〕＜0．∴当r=时，f〔r〕取得最大值，即圆锥的体积取得最大值．此时，圆锥的侧面积S=πrl=π××20=．应选：B．9.【2021全国大联考1〔课标=1\*ROMANI卷〕】直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为，假设是中心，且三棱柱的体积为，则与平面所成的角大小是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可设底面三角形的边长为，过点作平面的垂线，垂足为，则点为底面的中心，故即为与平面所成的角，由于，而，又因为三棱柱的体积为，由棱柱体积公式得，解得，所以，得，故与平面所成的角大小是，故正确答案为C.(2021·高考课标全国卷Ⅰ)H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的外表积为________．解析：如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面积为π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1,9)R2＋HM2＝eq\f(1,9)R2＋1，∴R＝eq\f(3\r(2),4).∴S球＝4πR2＝4π·(eq\f(3\r(2),4))2＝eq\f(9,2)π.5.〔2021·高考卷)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为__________．[答案]eq\f(1,6)[解析]三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD­A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值eq\f(1,2)，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF­DD1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).二、滚动练习1．设是虚数单位，则等于DA．0B．C．D．2.〔2021·高考理科·Ｔ10〕假设，，均为单位向量，且，〔-〕·〔-〕≤0，则|+-|的最大值为BA．B．1C．D．2【精讲精析】由〔-〕·〔-〕≤0，得，又且，，均为单位向量，得，|+-|2=〔+-〕2==，故|+-|的最大值为1.3.函数f(*)＝，则使函数f(*)的图象位于直线y＝1上方的*的取值围是________．答案