小学奥数专题-第1讲：相遇问题与追及问题(老师版)

6/6小学奥数专题——第1讲：相遇问题与追及问题(老师版)第1讲:相遇问题与追及问题

1、速度的定义：

速度就是单位时间内所经过的路程。

2、速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们的关系如下：

路程＝速度×时间

速度＝路程÷时间

时间＝路程÷速度

3、行程问题中常用的数量单位

（1）常用的路程单位：米、千米。

（2）常用的时间单位：秒、分钟和小时。

（3）常用的速度单位：米/秒、米/分、千米/小时。

【例1】甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时．如果按照原定的时间到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？

【例1】45千米/时；60千米/时

详解：（1）行驶路程是360千米，行驶时间是8小时，所以行驶速度是360÷8=45千米/时；

（2）后一半路程是360÷2=180千米，行驶总时间仍然是8小时，前半程花了

4+1=5小时，所以后半程行驶时间是3小时，后半程的速度是180÷3=60千米/时．

【例2】A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：（1）甲从A走到B需要多长时间？

（2）两个人从出发到相遇需要多长时间？

【例2】（1）80分钟；（2）30分钟

详解：（1）甲行驶的路程是4800米，行驶的速度是60米/分，所以行驶的时间是4800÷60=80分钟；（2）两人从出发到相遇行驶的路程和是4800米，行驶的速度和是60+100=160米/分，所以相遇时间是4800÷160=30分钟．

1、墨莫练习慢跑，12分钟跑了3000米，按照这个速度，跑25000米需要多少分钟？如果墨莫每天都以这个速度跑10分钟，连续跑一个月(30天），他一共跑了多少千米？

1、100分钟；75千米

解答墨莫跑的速度为3000÷12=250米/分，跑25000米需要

25000÷250=100分钟．每天跑10分钟，跑一个月，一共跑了

250×10×30=75000米，即75千米．

2、兔子和乌龟赛跑，从A地跑到B地，全程共6000米．兔子计

划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的

要少200米．那么兔子实际跑完全程用了多长时间？

2、6分钟

简答：原计划5分钟跑完6000米，所以原计划速度为6000÷5=1200米/分，实际每分钟跑1200－200=1000米，所以实际时间为6000÷1000=6分钟．

3、阿呆和阿瓜从相距5000米的A、B两地同时出发，相向而行．如果阿呆每分钟走150米，阿瓜每分钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？

3、10分钟

简答：从出发到相遇，路程和为5000米，速度和为150+350=500米/分，所以相遇时间为5000÷500=10分钟

两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能相反。当它们行进方向相反时，如果它们面对面地接近，我们称为“相向而行”；如果它们背对背远离，我们就称为“相背而行”。

相遇问题关心的是两个移动物体的“速度和”以及“路程和”。根据行程问题基本公式，我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式：路程和＝速度和×相遇时间

相遇时间＝路程和÷速度和

速度和＝路程和÷相遇时间

使用上述公式的时候一定要注意，两个运动物体必须同时行进。如果相遇过程中并不是同时行进的，这个公式就不能直接用了，需要分段考虑。

对于一些复杂的行程问题，单靠凭空想象已经无能为力了，这时需要用一种形象的语言，把运动过程直观地表现出来，这就是我们解行程问题的最得力的助手——线段图。

画线段图时要特别注意：

(1)专人专线：如果我们考虑的是两个或多个对象的运动，可以

把它们的运动路线并排摆放，

要注意不同人的运动路线不同；

(2)同时性：如果运动时间分为几个阶段，那么应该在运动路线

上表示相应的时刻．

比如上图表示汽车A与汽车B分别从甲地、乙地同时出发，从

开始＠时刻到＠时刻两车相

遇，从＠时刻到＠时刻表示两车相遇后各自的运动情况．这样一来，我们就可以借助线段图把

整个行程过程看得更清楚．

画线段图是解行程问题最基本的方法．通过作图，可以将题目中的

条件梳理清楚，还可以

通过对图形的观察，挖掘出很多字面上看不出来的隐藏条件，

进而找到解题的突破口．

【例3】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距350千米的两地出发相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米．请问：

（1）2小时后两车相距多少千米？

（2）出发几小时后两车第一次相距50千米？

（3）出发几小时后两车第二次相距50千米？

【例3】（1）150千米；（2）3小时；（3）4小时

详解：（1）两车的速度和是40+60=100千米/时，行驶时间是2小时，所以两车的路程和是l00×2=200千米，两车相距350－200=150千米；

（2）两车第一次相距50千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和是350－50=300千米，两车行驶的速度和是40+60=100千米/时，行驶时间是300÷100=3小时；

（3）两车相遇后继续行驶，第二次相距50千米时，两车行驶的路程和是350+50=400千米，两车行驶的速度和是40+60=100千米/时，

行驶时间是400÷100=4小时．

【例4】甲、乙两地相距350千米，一辆汽车早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地，2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地．请问：什么时候两车在途中相遇？

【例4】13点

详解：画行程图，如图所示，“车1"提前出发2小时所行驶的路程是40×2=80千米，剩下的路程是两辆汽车在相同时间内行驶的路程和，路程和是350－80=270千米，速度和是40+50=90千米/时，所以相遇时间是270÷90=3小时，“车2"从10点出发，行驶了3小时，所以13点两车在途中相遇．

1、A、B两地相距400千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米．请问：

（1）出发几小时后甲、乙两车第一次相距100千米？

（2）再过多长时间两车第二次相距100千米？

1、（1）3小时；（2）5小时

简答：（1）两车第一次相距100千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和是400－100=300千米，两车的速度和是40+60=100千米/时，行驶时间是300÷100=3小时；

（2）两车相遇后继续行驶，第二次相距100千米时，两车行驶的路程和是400+100=500千米，两车的速度和是40+60=100千米/时，行驶时间是500÷100=5小时．

2、小王和小许从相距5000米的各自的家里出发相向而行，小王每分钟走200米，小许每分钟走300米，小王出发10分钟后小许才从家出发．那么小王走了多长时间两人才相遇？

2、16分钟

简答：画行程图，如图所示，小王提前出发10分钟所行路程是200×10=2000米，剩下的路程是两人在相同时间内行的路程和是5000－2000=3000米，速度和是200+300=500米/分，相遇时间是3000÷500=6分钟，所以小王一共走了10+6=16分钟两人才相遇

【例5】（1）小高跑400米用50秒，旗鱼每小时能游120千米．请问：谁的速度更快？

（2）一般情况下，成年人跑100米要用14秒，河马奔跑的速度是

40千米/时，河马跑得比人快吗？

【例5】（1）旗鱼快；（2）河马比人快

详解：（1）小高的速度是400÷50=8米/秒，单位不一样，无法比较，所以把小高的速度变成米/时，1小时小高跑8×3600=28800米，速

度即28800米/时；旗鱼的速度是120000米/时，所以旗鱼的速度更快；

（2）成年人14秒跑100米，1秒跑7米多；河马1小时跑40千米，1秒跑

11米多，所以河马跑得比人快；或者可以统一路程比速度：河马跑40000米用1小时即3600秒，而成人跑40000米需要14×400=5600秒，路程相同，河马用时短，所以更快．

【例6】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走50米，乙走完全程要18分钟，出发3分钟后，甲、乙仍相距450米．请问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？

【例6】5分钟

详解：甲3分钟所行的路程是50×3=150米，乙距离A地还有

150+450=600米乙行全程要18分钟，已经行了3分钟，还需要行15分钟才能走完600米，所以乙的速度是600÷15=40米/分，450米是两人之后的路程和，速度和是50+40=90米/分，所以还要过450÷

90=5分钟，甲、乙两人才能相遇

1.甲、乙两地相距450千米，快车和慢车分别从甲、乙两地出发相向而行，快车每小时

行60千米，慢车每小时行30千米．请问：

(1)如果两车同时出发，几小时后相遇？

(2)如果慢车比快车早出发3小时，当两车相遇时快车走了多远？

1、5小时(2)240千米

解答如图：

（1）出发时两车相距450千米，每过1小时，快车走60千米，慢车走30千米，所以两车距离每小时拉近90千米．经过了450÷90=5小时后，两车之间的距离拉近到0千米，也就是两车相遇了．

（2）慢车比快车早出发3小时，所以快车出发时，慢车已经行驶了30×3=90千米．由于甲、乙两地的距离是450千米，因此当快车

出发时，两车之间的距离是450－90=360千米．通过与(1)类似的办法可得，再过360÷90=4小时两辆车即可相遇．快车一共行驶了4小时，它行驶的路程为60×4=240千米．

2、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶40千米，两车6小时后相遇，相遇后它们继续前进，又过了3小时，甲车到达B地．问：乙车还要过多久才能到达A地？

2、9小时

解答如图：

甲车每小时行40千米，从A地行到C地的时间为6小时，所以A、C两地距离为40×6=240千米。甲车从C地行到B地的时间为3小时，所以C、B两地的距离为40×3=120千米。这也等于乙车6小时走的路程，所以乙车的速度为120÷6=20千米/时，乙车从B地行到A地的时间为(120+240)÷20=18小时，乙车已经走了9小时，那么还需要18－9=9小时才能到达A地．

基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题。

追及问题中两个移动物体是同向而行，因此我们考虑的是两个移动物体的“速度差”以及“路程差”。仿照行程问题基本公式，我们

同样可以得到追及问题的三个基本公式：

路程差＝速度差×追及时间

追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

【例1】A,B两地相距260米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发同向而行（乙在前，甲在后），甲每秒走5米，乙每秒走3米．那么甲出发多长时间后可以追上乙？

【例1】130秒

详解：从出发到追上，甲、乙的路程差是A、B两地的全程即260米，速度差是5－3=2米/秒，所以追及时间是260÷（5－3）=130秒．

【例2】墨莫步行上学，每分钟行75米．墨莫离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米．求爸

爸追上墨莫所需要的时间．

【例2】3分钟

详解：墨莫先出发了12分钟，速度是75米/分，所以墨莫行的路程

是75×l2=900米．所以爸爸从出发到追上墨莫，两人的路程差就是900米，速度差是375－75=300米/分，追及时间是900÷300=3分钟．

1、京、津两地相距120千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发同向而行，客车在前，货车在后．巳知客车每小时行100千米，货车每小时行120千米．那么出发后多长时间货车追上客车？

1、6小时

简答：从出发到追上，甲、乙的路程差是京、津两地的距离120千米，速度差是120－100=20千米/时，所以追及时间是120÷20=6小

时

2、龟、兔赛跑龟比兔先出发100分钟，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米．请问：兔出发后多久追上乌龟？

2、10分钟

简答：乌龟先出发100分钟，速度是30米/分，所以乌龟爬行的路程

是30×100=3000米．兔子从出发到追上乌龟，路程差就是3000米，速度差是330－30=300米/分，追及时间是3000÷300=10分钟。

【例3】一辆公共汽车和一辆小轿车从相距100千米的两地同时出发同向而行，公共汽车在前，每小时行40千米，小轿车在后，每小时行60千米．请问：

（1