数值分析-第五版-考试总结

第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差.??=??-??近似值的误??=??-??近似值的误差限0|??-??<??近似值相对误差?(猊小时约等)d???????=西〜分近似值相对误差限?:c?????=囱函数值的误差限??(??(??)):??(??(??))〜|??(?夕)|??(?夕)近似值??=±(??,????????x10??有n位有效数字:1??=1x10??-??+12???=??v1

画.2??X10-??+1第二章：插值法.多项式插值其中：.拉格朗日插值?次插值基函数:????=??+????+?+???????????=?????0,1,?,????+????+?+??????=????+????+?+?????=??

?{??+?????+?+???????=?????????4x)=E??阙=汇??而??=0??=0('>?电+1(??)??)????+1(?豺??(??=,??=0,1,?,??(??-??)?(??-???-1)(??-???+1)?(??-??3

(??丁??)?(?%-???-[)(??)?-??(??=,??=0,1,?,??引入记号:?3?+1(??=(??-??)(??-??)?(??-?冽余项:.牛顿插值多项式:?????=????-?%=.牛顿插值多项式:?????=????-?%=????+1)(??(??+1)!?%+1(??,?至(????)???(??=????)+????,??](??■??)+?+????,??,?,?田(0??)?(??-???-1)?阶均差〔把中间去掉,分别填在左边和右边〕????,??,?,???-1,???|=????,?,?2-1,??q-????,??,?,???-1]???-??余项:???(??=??????,??,?,??m?+1(??.牛顿前插公式〔令?=??+???计算点值,不是多项式〕??(??1)2?,+???=??+?????2!?2??+???(??1)?(????1)+??!?阶差分:??-1??-???-1??余项:???二????1)?(???????+1(??+1)!????+"(??,?至(?),??).泰勒插值多项式:??(???(??=????)+??(??)(????)+?+????(??)??!(??-??)???阶重节点的均差:????,??,?,??]=??????(??)????,??,??]????,??,??](??■??)(??■??)+????■??)(??■??)(??-??)????=????)+????,??](????)+其中,A的标定为：??(??)=??(??).分段线性插值:就=??■?就=??■???+1??-??????-???+1?仍+???+1-?多?仍+1第三章:函数逼近与快速傅里叶变换??????=汇?????????=汇????????=02.范数:ML=m强!例????缈器??????)????I??1i=E|?????????|??(??)??????=i????i1??12=(三为2??=i??i??????(??(??)????)??.带权内积和带权正交:???????(??????=汇(x????x?????x??????????(????(??)????)???????=0??(????,????)=/p(x)???????????=0??.最正确逼近的分类(范数的不同、是否离散)：最优一致(8-范数)逼近多项式(??)：II????-?3(??)L=minI????-??(??)L??6湖''''最正确平方(2-范数)逼近多项式(??)：I????-?外??)帐=mn?????-??(??)2最小二乘拟合(离散点)人??)：■???12=minI??-?/?1122??e①2.正交多项式递推关系:.勒让德多项式：正交性：奇偶性：递推关系：?P?+i(??=(???㈤我-????3?-i(????(??=i,??i(??=0一?於id??)…(??)?(??,?%??)'"(????：??,?刎??)

(????-i(??,??)?-i(??)i0,??%??)??(??)???{2-i2??+i??(-??)=(-i)???既)??w????=??7.切比雪夫多项式:递推关系:正交性:?%??在[-1(??+1)???+1(??=(2??+1)???????-???2i(??)?»+1(=2??????-???-i(??1?刑??)照(??)???=-1Vl-??.…1］上有升零点:???=?私+1〔??在［????上有?+1个零点:???二??■??????,/cos???5bs???????{—2cos2??—1????=

2??〔最优一致逼近〕2??+1??+C0S2(??+1)??+2??=,??,??1,?,????w????W0??=0??,??=0,1,?,??首项?钠系数:2??-18.最正确平方逼近:I????-??(??)112=min??(??)??息???-??(??)2=?m?vjp(x)????-??x)]2????法方程:??汇(??????????=(????>???=0正交函数族的最正确平方逼近:9.最小二乘法:情12=?m?n)??I；???(x??[S(x?)?-?帝??=0法方程:??2(??????????=(???????=0正交多项式的最小二乘拟合第四章数值积分与数值微分.求积公式具有欲代数精度??求积公式(多项式与函数值乘积的和),对于次数不超过硝多项式成立,??+1不成?????????(??)????E????(??????=0.插值型求积公式??????????????=???/??)????汇?倒)(=汇(?)????????=0????????=0■-??????=/[????-????；??)]????????；??)????/??=0??????+1)(????????(??+1)!????+1(??)????.求积公式代数精度为?时的余项????????=??????????=????????-?E??????因=????=01r(??+1)![????/???+1????汇???+1]????=0.牛顿-柯特斯公式：将［???我IJ分为舞份构造出插值型求积公式??解=(??-??)汇???)??(??)??=0.梯形公式：当n=1时,?1)??-??(???-??(?212(??2??(??)??=—2—[????+??(??)???(??=-.辛普森公式：当n=2时,?2)=6,??=4,??2)=6.复合求积公式:??=??^???.复合求积公式:??=??^???!??+4??[??+-?+??(??)]??«?=-62??-?????,???=??+??????+1/2=???+2复合梯形公式:T??=2[????+复合辛普森公式:S??=6附+???2??,…

180-(—)4??4)(??)????-12汇?(?+??(??)]??«?=-??--??2??(??)12??=1??-14二?(??+1/2)+??=0??-12汇??(??+??(??)]?%??=--?—?(-)4??4)(??)1802??=1.高斯求积公式(求待定参数?W□????＞：(1)求高斯点(??)：令3?+1(??=(??-??)(??-??)?(??-??)与任何次数不超过酌多项式?(?辨??_一权?(?*父,即那么J????(??)??+1(????(??)????0,由?+1个万程求出局斯点?,?????⑵求待定参数?6???(??)??(??)即限?=0?史??(??)??(?也为次数不超过的多项式..高斯-勒让德求积公式：取权函数为??=1的勒让德多项式??+1(??两零点即为求积公式的高斯点.12??+1.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为????=/钙的切比雪夫多项式的零点??=cos去?;2?卿为求积公式的高斯点.第五章解线性方程组的直接方法1.矩阵的附属范数:??I??lloo=1max,??|????!??行元素绝对值之和中最大的)??=1??||??11=maxE|?????4列元素绝对值之和中最大的)1w??w????=1I??12=V??????????)2.条件数:????????(A)I??1ILl??8?外???/??)??」|????????)|???????2(A)aA—―行I当??=???,????????(A)-??????????)|?????仰?)|第六章解线性方程组的迭代法1.迭代法:????=??(??-????=????=??????????-????????+1)=?????)+??2.迭代2.迭代法收敛:lim??-8?夕?)存在.??????<1,谱半径??=ma?J???,、m103.迭代法收敛的充分必要条件:.渐进收敛速度：=-ln????,迭代次数估计：??>■????().雅可比迭代法:???=????=??-(??+??)=??-??(??-????=????=??????????????

6.6.高斯-塞德尔迭代法:?,?+1)=????)+?????=????=(??-??)-??=??-??(??-????=????=??????????-?????夕?+D=???")+??-塞德尔迭代法均收敛..严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵,其雅-塞德尔迭代法均收敛.I???1??>.|????b???=1??w??.弱对角占优矩阵：假设此矩阵也为不可约矩阵,那么其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛.??I???|??^^I????????=1??丰〞其中,可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式,否那么为不可约矩阵.?/????!(??1??2)(????2).超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正.????????=(??-??)-??=(-??-??)-(-??+??-??)??=(????-??)??=(????+??-??)(??-????=????=??????????-???????=??????=(??-???)/????+,?)?)=(??-????1((1-????+????)

??=?产?=?7??-????1??????+1)=????夕?)+??.最速下降法：是对称正定矩阵???=??????+1)=????+?能???)使下式最小:/CC八/cc、/cc、/cc、/cc、/cc、??/cc、/CC、??(?%?+1))=??(?(??)+???")=??(?/)+??(????)-???,?))+—(???(??),????))那么那么:?????(???(??-??????)(????)?(??))-0?2_(〞)_(')????'??'--(?????????)一(??)夕?))・・■・\・・・・,・・,\・・・・,・・/其其中:?????)=-???(??⑺)=-(????(??-??)=?夕?)故而:????+1)=????+?故而:????+1)=????+?初1?)11.共辗梯度法:(1)令7?0)=??计算?=-(???*-??),取伊)=?.)对?=0,1,?,计算(3)????+〔)=????+??????)

(????),????)?3?=(?????????)

\・・・・,■?夕?+1)=?夕?)-????????????+〔)=????+1)+???????(????+1)?夕?+1))???=~(????),????))~假设???)=0或(???夕?,???)=0,计算停止.第七章非线性方程与方程组的数值解法1二分法：1)计算?(?京有根区间［????的端值?(??)??(??)2计算区间中点值??+??3判断?:个-)=??+????⑤),、—??+??0或者?6)(??)<0.不动点迭代法:????=0??=?7??=????+?????+1=?????.不动点迭代法收敛:lim???=????-8….??(?平［????上存在不动点2?(压缩映射)|????-??(??尸??????<1.不动点迭代法收敛性：满足上条,那么不动点迭代法收敛,误差为：???I???-??lw??^????-??|.局部收敛：存在?的某个邻域内的任意的,迭代法产生的序列收敛到..不动点迭代法局部收敛：其中7?1为?(??的不动点,(??庇?邻域连续.I??(???)|<1.P阶收敛：当k-8时,迭代误差??=???-??,满足缪一W0.牛顿(座根)法：??????+1=???-?????

??(??),???+1=???-.简化的牛顿法:?????+1=???-??(铜

??(??).牛顿下山法:????????+1=???-入行"o,1'?从入=1开始试算,之后逐次减半,直到满足下降条件：|??(??+1)|<|??(??|为止..弦截法:?私+1=???私+1=???-???-1)-5―?(????????-?????-1).第八章矩阵特征值计算.格什戈林圆盘：以??前圆心,以效半径的所有圆盘????=汇|???小??0?={??||???师?<解?C?}??=1??大.??勺每个特征值必属于某个圆盘之中：|入-????只??.?有叶圆盘组成一个连通的并集药和余下?个圆盘是别离的,那么的恰包含?^??个特征值..哥法:设?勺特征值满足条件：|??|>|??|刁?|>?|??|

任取非零向量?3,构造向量序列,=??????=????,?,???+1=?声+1?8?假设：??=????+????+?+?初丰0那么:??OO??

????3?=???1???+???就+?+????粉??=??■[????+汇?3?司?"?????TOC\o"1-5"\h\z??=??1(???+i)??

lim??=????-8(?初1.收敛速度:????=|—|

|??|.哥法改良:??)=??w?????..???=??加-1,?2?=不,??=???询3

????lim???=一??〞????{???}?叫,?=??.加速方法〔原点平移法〕：构造矩阵应用哥法使在计算其主特征值的过程中得到加速.??=??-?????2另1,可?2另1,可得：???=??,??〔=??孩??,那么?^?=1,那么可推导出:??=1承"5?<.假设???=1,称矩阵?；?〕=??2????1为初等反射矩阵.设为两个不等的难向量,口2=U??b,令二????(??2???夕?=??.豪斯霍尔德约化定理:I??2=I??12??????b=sgn(??)I??2??=-(T?