多目标优化方法概论

多目标优化方法Multi-ObjectiveOptimization第一节概述第三节多目标优化的第一类方法第二节多目标优化设计理论第四节多目标优化的第二类方法第五节多目标优化的第三类方法国际上通常认为多目标最优化问题最早是在1886年由法国经济学家Pareto从政治经济学的角度提出的。多目标规划的真正发达时期，并正式作为一个数学分支进行系统的研究，是上世纪七十年代以后的事。现在，对多目标规划方面的研究集中在以下几个方面:一、关于解的概念及其性质的研究，二、关于多目标规划的解法研究，三、对偶问题的研究，四、不可微多目标规划的研究，五、多目标规划的应用研究。到现在为止，多目标优化不仅在理论上取得许多重要成果，而且在应用上其范围也越来越广泛，多目标决策作为一个工具在解决工程技术、经济、管理、军事和系统工程等众多方面的问题也越来越显示出它强大的生命力。第一节概述1.多目标优化设计示例示例1：某工厂生产两种产品A和B,每件产品A需制造工时和装配工时分别为1时和1.25时，每件产品B需制造工时和装配工时分别为1时和0.75时，每月制造车间和装配车间能够提供的最多工时为200时，另外，每月市场对产品A需求量很大，而对产品B的最大需求量为150件，产品A和产品B的售价分别为4元和5元，问如何安排每月的生产，最大限度的满足市场需求，并产值最大？多目标优化设计模型示例2：如图所示，设计一苦空心阶梯悬臂梁，根据结构要求，已确定梁的总长为1000mm，第一段外径为80mm，第二段外经为100mm，梁的端部受有集中力F＝12000N，梁的内径不得小于40mm，梁的许用弯曲应力为180MPa，确定梁的内径和各段长度，使梁的体积和静挠度最小。12D1=100D2=80L=1000x1x2F多目标优化设计模型在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较出其优劣，这是因为单目标优化问题是完全有序的；而在多目标优化设计中，任何两个解不一定都可以比较出其优劣，这是因为多目标优化问题是半有序的。2.多目标优化问题解的特点213第一类：转化法。这类多目标最优化方法的基本思想是将多目标问题转化为一个或一系列的单目标优化问题，通过求解一个或一系列单目标优化问题来完成多目标优化问题的求解。3.多目标优化方法分类第二类：非劣解集法。这类多目标最优化方法的基本思想是求得多目标问题的非劣解集，然后在非劣解集中进行协调和选择，确定出优惠解。第三类：交互协调法。这类多目标最优化方法的基本思想是通过在分析者与抉择者间的不断交互，逐渐搞清抉择者的选择意图，获得多目标问题的优惠解。第二节多目标优化设计理论1.多目标优化设计模型简记为VOP多目标优化问题(Multi-ObjectiveOptimizationProblem)又称为向量优化问题(VectorOptimizationProblem)。2.决决策策空间间与目目标空空间以设计计变量量为坐坐标的的实空空间Rn称为决决策空空间。。以目标标函数数为坐坐标的的实空空间Rm称为目目标空空间。。决策空空间可可行域域：目标空空间可可行域域示例1决策空间可行域目标空间可行域示例2决策空间可行域目标空间可行域3.解的的定义（1）理理想解(idealsolution)在目标空间间内，以单单目标最小小值为分量量而形成的的点，称为为多目标问问题的理想想解。在多目标优优化问题中中，由于各各个目标间间往往是矛矛盾的，所所以一般不不存在使各各目标皆达达到各自最最优值的理理想解。fxX(0)f1(0)f2(0)f1f2（2）非非劣解（NoninferiorSolution）或Pareto解对于可行点点XPD，若不存在另一个个可行点XD，使成立，则称称Xp为多目标问问题的非劣劣解。向量不等式式的含义为为决策空间非劣解集目标空间非劣解集（3）满满意解（最最佳协调解解或优惠解）效用函数值值的大小反反映决策者者对多目标标值的喜爱爱程度，一一般来说，，决策者希希望效用函函数的值越越大越好。。效用函数：：决策者对多多目标函数数优化解进进行评价的的函数，记记为使效用函数数取最大值值的非劣解解称为最佳佳协调解。。对于效用函函数未知的的情况，无无法直接求求得最佳协协调解。我我们把多目目标优化过过程满意结结束的解称称为优惠解解。满意解4多目目标优化问问题的K－－T条件对于多目标标优化问题题VOP1.主目目标法转化为第三节多多目标优优化的第一一类方法主目标法就就是从多目目标中依据据重要程度度选择一个个目标作为为主目标，，而将其它它目标转化化为约束，，即将多目目标优化问问题主目标法中中约束目标标的约束值值选取2.线性性加权法转化为线性加权法法就是将多多目标的加加权和作为为单目标，，即将多目目标优化问问题(2）对权权系数的要要求(3)权权系数的确确定老手法线性加权法法的有关说说明：（1)线线性加权之之前，各目目标应进行行无量纲化化处理。3.极小小极大法转化为极小极大法法就是求取取多目标函函数中的最最大值，然然后使最大大值函数在在可行域内内极小化，，即将多目目标优化问问题(2)极小小极大法也也可以引入入一个变量量和m个约束，即即极小极大法法的有关说说明：（1)考考虑到各目目标的重要要程度差别别，可以对对各目标乘乘以权系数数，然后再再求最大值值函数，即即4.理想想点法转化为理想点法就就是将距理理想点最近近的点作为为多目标问问题的优惠惠解，即将将多目标优优化问题理想点法的的有关说明明：考虑到各目目标的重要要程度差别别，可以对对各目标乘乘以权系数数，即权系数的选选取可以参参阅线性加加权法。5.功效效系数法在多目标优优化问题，，各目标的的要求不全全相同，有有的要求极极小化，有有的要求极极大化，有有的要求有有一个合适适的数值。。为了反映映这些不同同的要求，，故引入如如下的功效效函数：功效系数的的确定：1.直线法法2.折线法法3.指数法法6.分层层序列法将多目标优优化问题的的各目标分分清主次，，按其重要要程度逐一一排序，然然后依次对对各目标函函数求最优优解，但应应注意后一一目标应在在前一目标标的最优解解域内进行行寻优。照此继续下下去，最后后求得第m个目标函函数得最优优解，真个个解即为多多目标优化化问题的最最终解。在分层序列列法中，当当前面有某某个目标函函数的最优优解唯一时时，该方法法就发生中中断现象，，因此需要要引入目标标容差。7.协调调曲线法协调曲线法法主要用于于求解两个个目标函数数的多目标标优化设计计问题。1.变权权系数法对于非负的的权系数，，若线性加加权函数在线性加权权法中，系系列地改变变权系数值值，可获得得大量的非非劣解，形形成非劣解解集。第四节多多目标优优化的第二二类方法存在唯一的的最优解，，则该最优优解是多目目标问题的的非劣解。。2.－约束法转化为从多目标中中依据重要要程度选择择一个目标标作为主目目标，而将将其它目标标转化为约约束，即将将多目标优优化问题可以证明，，对于一组组值，若X*为－约束问题的的唯一最优优解，则其其一定为多多目标问题题的一个非非劣解。通过系列地地改变值，可获得得大量的的非劣解解，形成成非劣解解集。值应大大于各单目标标函数的的最优值值，可依依据实际际情况在在下列范范围中变变化：－约束法有有关说明明1.逐逐步法在迭代过过程中，，分析者者向决策策者不断断提供试试验解及及其相应应的目标标函数值值，请决决策者指指出哪一一个目标标值可以以增加，，哪一个个目标值值应减少少。分析析者根据据决策者者的意图图，增添添新的约约束，求求得新的的试验解解，进入入下一步步迭代。。直到求求出使决决策者满满意的优优惠解。。逐步法(StepMethod)是1971年年由Benayoun等人提提出的求求解线性性多目标标优化问问题的一一种交互互式方法法，此方方法本质质是在某某种范数数下求距距理想点点最近的的点。第五节多多目目标优化化的第三三类方法法对于线性性多目标标优化问问题定义逐步法的的计算步步骤（1）建建立支付付表f1f2…fm1

2

m

……（2）求求第k次迭代点点（3）与与决策者者对话将目目标标函函数数值值提提供供给给决决策策者者，，若若决决策策者者对对所所有有目目标标值值皆皆满满意意，，则则获获得得优优惠惠解解，，停停止止计计算算；；若若决决策策者者对对所所有有目目标标值值皆皆不不满满意意，，则则计计算算失失败败，，停停止止计计算算；；若若决决策策者者对对部部分分目目标标值值满满意意，，对对部部分分目目标标值值不不满满意意，，则则继继续续计计算算。。在满满意意的的目目标标中中选选一一个个目目标标fj*，并并给给出出一一个个可可以以牺牺牲牲的的量量fj*，意意思思是是愿愿意意让让目标标fj*增大大fj*，以以换换取取其它它不不满满意意目目标标值值的的减减小小。。并并进进行行如如下下计计算算：：2.代代替替价价值值交交换换法法代替替价价值值交交换换法法(SurrogateWorthTrade-offMethod)是是1971年年由由Haimes等等人人提提出出的的求求解解非非线线性性多多目目标标优优化化问问题题的的一一种种交交互互式式方方法法。。其－－约束束问问题题为为对于于多多目目标标优优化化问问题题－－约束束问问题题的的K－－T条条件件可以以证证明明，，约约束束目目标标函函数数对对应应的的Lagrange乘乘子子即约约束束目目标标函函数数对对应应的的Lagrange乘乘子子wj是目目标标fk对目目标标fj的交交换换率率。。分析析者者与与决决策策者者的的交交互互分析析者者求求得得一一个个非非劣劣解解（（即即－－约束束问问题题的的最最优优解解））X(k)，及及其其对对应应的的所所有有目目标标函函数数值值与与约束束目目标标函函数数对对应应的的Lagrange乘乘子子wj，向向决决策策者者提提问问：：在目目标标值值f1(X(k)),……,fm(X(k))时，，你愿愿意在其它它目标标值保保持不不变的的条件件下，，以目目标fj增大一一个单单位量量，而换换取目标fj减小wj单位量量吗？？决策者者通过过给代代替价价值函函数Skj赋值，，回答答上述述问题题。代代替价价值函函数Skj赋值规规律如如下：：（1））若决决策者者同意意上述述交换换，应应给Skj赋正值值，其其值越越大表表示越越赞成成；（2））若决决策者者同意意反向向交换换，即即赞成成以目目标fj减小一一个单单位量量，而换换取目标fj增大wj单位量量，应给Skj赋负值值，其其绝对对值越越大表表示越越赞成成；（3））若决决策者者对上上述两两种交交换都都不赞赞成，，应给给Skj赋零值值。代替价价值函函数Skj赋值规规律Skj取值范范围是是－10到到＋10之之间的的整数数，其其取值值含义义为：：代替价价值交交换法法的计计算步步骤（1））求各各目标标的极极大值值和极极小值值（2））求非非劣解解得最优优解和和约束目目标函函数对对应的的乘子子。求－－约束问问题(3)代代替价价值函函数Skj赋值将所求求得的的最优优解和和约束目标函函数对应的的乘子提供供给决策者者，决策者者依据自己己对目标函函数的喜爱爱程度和具具体问题要要求，给代代替价值函函数Skj赋值。(4)求求最终解若对某个非非劣解，对对应的所有有代替价值函函数Skj值皆为零，，则该非劣劣解为最终终解，停止止计算。否否则，用回回归分析法法，建立代代替价值函函数的近似似表达式:(5)构构造新的－约束问题求解方程组组得令形成－约束问题转（2）。。9、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。09:03:2609:03:2609:0312/23/20229:03:26AM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。12月-2209:03:2609:03Dec-2223-Dec-2212、故人江海别别，几度隔山山川。。09:03:2609:03:2609:03Friday,December23,202213、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。12月-2212月-2209:03:2609:03:26December23,202214、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。23十十二月20229:03:26上午午09:03:2612月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。十二月229:03上午午12月-2209:03December23,202216、行动出出成果，，工作出出财富。。。2022/12/239:03:2609:03:2623December202217、做前，能够够环视四周；；做时，你只只能或者最好好沿着以脚为为起点的射线线向前。。9:03:26上午9:03上上午09:03:2612月-229、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、很多事情努努力了未必有有结果，但是是不努力却什什么改变也没没有。。09:03:2609:03:2609:0312/23/20229:03:26AM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。12月-2209:03:2609:03Dec-2223-Dec-2212、世间成事，，不求其绝对对圆满，留一一份不足，可可得无限完美美。。09:03:2609:03:2609:03Friday,December23,202213、不知香积寺寺，数里入云云峰。。12月-2212月-2209:03:2609:03:26December23,202214、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。23十二月月20229:03:26上午09:03:2612月-2215、楚塞三湘接接，荆门九派派通。。。十二月229:03上上午12月-2209:03December23,202216、少年年十五五二十十时，，步行行夺得得胡马马骑。。。2022/12/239:03:2609:03:2623December202217、空山山新雨雨后，，天气气晚来来秋。。。9:03:26上上午9:03上上午午09:03:2612月月-229、杨柳柳散和和风，，青山山澹吾吾虑。。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、阅阅读读一一切切好好书书如如同同和和