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第十二章微分方程机动目录上页下页返回结束(三)(18)第十二章总习题十二一.选择题的特解是().1.微分方程满足初始条件机动目录上页下页返回结束解:设则原方程变为分离变量:两边积分:把初始条件代入上式得则有所给方程的特解为两边积分:把初始条件代入上式得应选(A).A2.容易验证的解,解:机动目录上页下页返回结束是二阶微分方程试指出下列哪个函数是方程的通解.().由于常数,线性无关,所给微分方程的通解为应选(B).B解:机动目录上页下页返回结束由所给函数的导数知可选将所以代入所给微分方程有:故应选(C).是所给方程的解.5.若方程的系数满足则该方程有特解().A解:由所给函数的导数知可选将代入所给微分方程有:所以是所给方程的解.故应选(A).机动目录上页下页返回结束(m为非零实常数)6.若方程的系数满足则该方程有特解().C解:由所给函数的导数知可选将代入所给微分方程有:所以是所给方程的特解.故应选(C).二.填空题1.已知是微分方程的解,机动目录上页下页返回结束则其通解为__________________.解:由于所以所给方程的通解为常数,线性无关,其中为独立的任意常数,k为实常数,则该方程为___________________.2.若某个二阶常系数线性齐次方程的通解为解:依题意知该方程的特征方程为所求方程为3.若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为机动目录上页下页返回结束则该方程为__________________.其中为独立的任意常数,其中为独立的任意常数,则该方程为___________________.4.若某个二阶常系数线性齐次方程的通解为解:依题意该方程的特征方程为所求方程为解:依题意该方程的特征方程为所求方程为即为三.解答题1.

设解:机动目录上页下页返回结束二阶连续可导,且使曲线积分与路径关,求函数曲线积分与路径无关,即有积分两次得则有也即有2.

求微分方程的通解.原方程即为:令的通解.解:3.求微分方程机动目录上页下页返回结束两边积分:

代入,分离变量:

将

原方程变为

得通解:4.求微分方程的初值问题,机动目录上页下页返回结束5.求微分方程满足初始条件的特解:特征方程为:解:特征方程的根为:代入通解得:原方程的通解为:将初始条件通解变为:将初始条件代入通解得:满足初始条件的特解为:是微分方程机动目录上页下页返回结束四.证明题的一条过点1.试验证且在该点处的切线与直线垂直的积分曲线.证:方程的特征方程为:特征根为:对应的齐次方程的通解为:自由项为:不是特征方程的根.故可设将代入微分方程得方程的通解为因此方程有初始条件将初始条件代入方程的通解得:机动目录上页下页返回结束积分曲线为:即为证毕.的斜率为由于直线又由于的解,是齐次线性方程是非齐次线性方程机动目录上页下页返回结束2.若的特解,试证明(c为任意常数)的通解.证:将是非齐次线性方程因为是齐次线性方程的解,所以有又因为是非齐次线性方程的特解,所以有代入非齐次

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