模糊集的概念及其运算课件

模糊数学1主要内容一、模糊集合的基本理论二、模糊数学规划三、模糊模式识别与模糊聚类分析四、模糊决策五、模糊数学模型2第一章模糊数学的基本理论3量不确定性的量确定性的量随机性的量模糊性的量例如，1、投掷一枚硬币，记A=“硬币正面朝上”2、B=“张三是胖子”3、C=“明天天气会很冷”随机事件模糊事件随机模糊事件5下面的例子中可以更鲜明地说明随机性和模糊性的区别：假如你不幸在沙漠迷了路,而且几天没喝过水,这时你见到两瓶水,其中一瓶贴有标签：“纯净水概率是0.81”,另一瓶标着“纯净水的程度是0.81”。你选哪一瓶呢？相信会是后者。因为后者的水虽然不太干净,但肯定没毒,这里的0.81表现的是水的纯净程度而非“是不是纯净水”,而前者则表明有19％的可能不是纯净水(换句话说就是:可能有毒)。6众所周知，经典数学是以精确性为特征的.它的逻辑二、为什么要引入模糊数学基础是“二值逻辑”1、秃子悖论2、朋友悖论7公设:(1)存在秃头的人和非秃头的人。(2)若有n根头发的人秃,则有n+1根头发的人亦秃。由此便会导致1、秃头悖论：所有人都秃。证明对n用数学归纳法。(i)n=0的人显然是秃头。(ii)假定n=k的人是秃头。(iii)由公设(2),n=k+1的人也是秃头。于是由数学归纳法原理知,对于任意的n≥0,有n根头发的人都是秃头。从而所有人都秃。8年龄悖论

由显然为真的两个命题A=“20岁的人是年轻人”和B=“比年轻人早生一天的人还是年轻人’’出发,可以推出显然为假的命题C=“100岁老翁也是年轻人”。身高悖论

以真命题A=“身高2米者为大个子”和B=“比大个子矮1毫米者仍是大个子”为前提,可以推出显然为假的命题C=“侏儒也是大个子”。饥饱悖论

从真命题A=“3日未食者是饥饿者”和B=“比饥饿者多食一粒米者仍是饥饿者’’出发,可以推出假命题C=“一个饥饿者日食3斤米仍是饥饿者”……10信息------大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.尽管这里只提供了一个精确信息------男人，而其他例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.12四、模糊数学发展历程1.模糊理论的萌芽(20世纪60年代)对模糊性的讨论,可以追溯得很早。20世纪的大哲学家罗素(B.Russel)在1923年一篇题为《含糊性》(Vagueness)的论文里专门论述过我们今天称之为“模糊性”的问题(严格地说,两者稍有区别),并且明确指出:“认为模糊知识必定是靠不住的,这种看法是大错特错的。”尽管罗素声名显赫,但这篇发表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要,也不是因为文章写得不深刻,而是“时候未到”。14人脑能接受和处理Fuzzy信息,能依据少量的Fuzzy信息对事物做出足够准确的识别、判断和推理，能灵活机动地解决复杂的模糊性问题。凭借这种能力,司机可以驱车安全穿越闹市,医生可以依据病人的症状所提供的Fuzzy信息进行准确诊断,画家不用精确的测量计算可以画出栩栩如生的风景和人物,儿童可以辨认潦草的字迹,听懂不完整的言语,甚至婴儿也可以迅速地从人群中识别出自己的母亲。而这一切都是以精确制胜的计算机所望尘莫及的。

15罗素精辟的观点是超前的。长期以来,人们一直把模糊看成贬义词,只对精密与严格充满敬意。计算机是在精确科学的沃土中培育起来的一朵奇葩,计算机解决问题的高速度和高精度,是人脑望尘莫及的。有了计算机,精确方法的可行性大大提高了。但是也正是在使用计算机的实践中,人们认识到人脑具有远胜于计算机的许多能力，人们更深刻地理解了精密性的局限,促进了人们对其对立面或者说它的“另一半”——模糊性的研究。16计算机不能象人脑思维那样灵活、敏捷地处理模糊信息,其根本原因是它基于二值逻辑(与之相适应的是康托尔集合论)。L.A.Zadeh正是深刻地认识到这一点,创造性地提出模糊集合的概念,为模糊理论的发展奠定了基础。自模糊理论诞生之日起,它就一直处于各派的激烈争论之中。一些学者认为“模糊化’’与基本的科学原则相违背。最大的挑战来自于统计和概率论领域的数学家们,他们认为概率论已足以描述不确定性,而且任何模糊理论可以解决的问题，概率论也都可以解决得一样好或更好。17由于模糊理论在初期没有实际应用,所以它很难击败上述这种纯哲学观点的质疑。当时几乎世界上所有的大型研究机构都未将模糊理论作为一个重要的研究领域。2.模糊理论继续发展并出现了实际应用(70年代)

模糊理论成为一个独立的领域,很大程度上归功于Zadeh的贡献及其杰出的研究工作。模糊理论的大多数基本概念都是由Zadeh在20世纪60年代末70年代初提出来的。他在1968年提出模糊算法的概念,1970年提出模糊决策(Bellman和Zadeh),1971年提出了模糊排序。18总的说来,公认的模糊理论的基础创建于20世纪70年代。随着许多新概念的引进,模糊理论作为一门新领域的前景已经日益清晰了。像模糊蒸汽机控制器和模糊水泥窑控制器这类最初的应用也已经表明了这一领域的潜力。3.模糊理论的大规模应用使其产生巨大飞跃(20世纪80年代)从理论角度讲,20世纪80年代初这一领域的进展缓慢。这期间没有提出什么新的概念和方法,这是因为几乎没有人继续从事该领域的研究,只有模糊控制方面的应用保存下来。20然而,与理论进展缓慢相比,模糊控制的应用非常振奋人心并引起了模糊领域的一场巨变。日本工程师们,以其对新技术的敏感,迅速地发现模糊控制器对许多问题来讲都是易于设计的,而且操作效果也非常好。因为模糊控制不需要过程的数学模型,所以它可以应用到很多因数学模型未知而无法使用传统控制论的系统中去。1980年,Sugeno开创了日本的首次模糊应用——控制一家富士电子水净化工厂。1983年,他又开始研究模糊机器人,这种机器人能够根据呼唤命令来自动控制汽车的停放。21到了20世纪90年代初,市场上已经出现了大量的模糊消费产品。在日本出现了“模糊”热,家电产品中,不带Fuzzy的产品几乎无人购买。空调器、电冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器中已广泛采用了模糊控制技术。我国也于20世纪90年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机。模糊数学于1976年传入我国后,得到迅速发展。1980年成立了模糊数学与模糊系统学会,1981年创办《模糊数学》(华中工学院)杂志,1987年创办《模糊系统学会》(国防科技大学)。中国被公认为模糊数学研究的四大中心(美国、欧洲、日本、中国)之一。234.模糊理论仍有更多的挑战(20世纪90年代以后)日本模糊系统的成功震惊了美国和欧洲主流学者们(常说:模糊理论生在美国,却长在日本)。一些学者仍对模糊理论持批评态度,但更多的学者不仅已经转变观念,而且还给予了模糊理论发展壮大的机会。1992年2月,首届IEEE模糊系统国际会议在圣地亚哥召开了,这次大会标志着模糊理论已被世界上最大的工程师协会——IEEE所接受,而且IEEE还于1993年创办了IEEE模糊系统会刊。24§1.2模糊集的概念及其运算一、经典集合其有两条基本属性：1、元素彼此相异，即无重复性；2、范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.26集合的表示法：(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；(2)描述法，A={x|x所具有的特征}.AB若xA，则xB；A=BAB且AB.

集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为P(A).27为A的特征函数或隶属函数，

（3）集合A的特征函数表示法定义1：设A

P(U),称下面函数称为x对A的隶属度。论域U的子集A的表示法即28集合之间运算规律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；30U为全集，为空集.集合的直积：0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪=A，A∩=；还原律：对偶律：排中律：XY={(x,y)|xX,yY}.31二、模糊子集及其运算1、定义：设X是论域，称映射A(x)：X→[0,1]确定了一个X上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)注意：就是它的特征函数.即经典子集就是模糊子集的特殊情形.32例1设X=[0,200]表示年龄,A,B表示“年轻”和“年老”的模糊集合,其隶属函数分别为：33隶属函数是刻画模糊集合最基本的概念,合理地构造隶属函数是模糊数学应用的关键。由于模糊集合是人脑对客观事物的主观反映,虽然有一定的统计规律性,但实际上很难给出一个模糊集合隶属函数的惟一表达式,也没有一种统一的方法来构造隶属函数。34

例2

设论域X={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),

x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么X上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为352.模糊集的表示方法模糊集合本质上是论域X到[0,1]的函数,因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。以外,还有以下的表示方法：（1）序偶表示法A={(x,A(x)|xX}.例如:用集合X={x1,x2,x3,x4}表示某学生宿舍中的四位男同学,“帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生评价,则以此评价构成的模糊集合A记为:A={(x1,0.55),(x2,0.78),(x3,0.91),(x4,0.56)}.36（2）向量表示法当论域X={x1,x2,…,xn}时,X上的模糊集A可表示为向量A=(A(x1),A(x2),…,A(xn)).前述的模糊集“帅哥”A可记为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).这种向量称之为模糊向量,它的第i个分量A(xi)[0,1]。（3）Zadeh表示法当论域X={x1,x2,…,xn}为有限集时,X上的一个模糊集合可表示为A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn.37前述的模糊集“帅哥”A可记为:A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4.注意:这里仅仅是借用了算术符号+和/,并不表示分式求和运算,而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。还可使用形式上符号,从而可用这种方法表示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如38此外,Zadeh还可使用积分符号表示模糊集,这种表示法适合于任何种类的论域,特别是无限论域中的模糊集合的描述。与符号相同,这里的仅仅是一种符号表示,并不意味着积分运算。对于任意论域X中的模糊集合A可记为:39模糊集“年轻”A可表示为40注意：当论域明确的情况下,在序偶和Zadeh表示法中,隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中,应该写出全部分量。例3论域X为1到10的所有正整数,模糊集“几个”A可表示为：413、模糊集上的运算（1）几点说明如前所述,经典集合可用特征函数完全刻画,因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0,1两个值的模糊集)。设X为非空论域,X上的全体模糊集记作F(X).于是,P(X)F(X),这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).

特别地,空集的隶属函数恒为0,集X的隶属函数恒为1,即、X都是X上的模糊集。42X1X1（2）模糊集的包含关系首先考查经典集合包含关系的特征。设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。AB当且仅当属于A的元素都属于B.易证AB当且仅当对任意xX,有A(x)B(x).43X1A(x)B(x)设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。称A包含于B(记作AB),如果对任意xX有A(x)B(x).这时也称A为B的子集。44帅哥超男例4论域X={x1,x2,x3,x4}时,X上的模糊集A为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).X上的模糊集B为:

B=(0.35,0.52,0.65,0.37).论域X上的模糊集A与B称为是相等的,如果AB且BA,即对任意xX有A(x)=B(x).则根据定义有BA.45X1X1（3）模糊集的并经典集合的并设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。A∪B={xX|xA或xB}.易证（AB）(x)=max{A(x),B(x)}=A(x)B(x).46(A∪B)(x)设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。A与B的并(记作A∪B)是X上的一个模糊集,其隶属函数定义为(A∪B)(x)=max{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.47(A∩B)(x)（4）模糊集的交非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作A∩B)是X上的一个模糊集,其隶属函数定义为(A∩B)(x)=min{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.48（5）模糊集的补非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或Ac)是X上的一个模糊集,其隶属函数定义为A(x)=1A(x),xX.49注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形,即对任意指标集I,若Ai是X上的模糊集,iI.则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:50例5

设论域X={x1,x2,x3,x4}为一个4人集合,X上的模糊集合A表示“高个子”:A={(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,1),(x4,0.4)}.模糊集合B表示“胖子”:B={(x1,0.5),(x2,0.6),(x3,0.3),(x4,0.4)}.

则模糊集合“高或胖”为:A∪B={(x1,0.6∨0.5),(x2,0.5∨0.6),(x3,1∨0.3),(x4,0.4∨0.4)}={(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,1),(x4,0.4)}.模糊集合“又高又胖”为:A∩B={(x1,0.5),(x2,0.5),(x3,0.3),(x4,0.4)}.模糊集合“个子不高”为:A={(x1,0.4),(x2,0.5),(x3,0),(x4,0.6)}.

51模糊集合关于并、交、补运算具有以下性质:定理设X为论域,A,B,C为X上的模糊集合,则(1)幂等律:A∪A=A,A∩A=A;(2)交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(3)结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(4)吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;(5)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);4模糊集的运算性质52(6)对合律(复原律):(Ac)c=A;

(7)两极律(同一律):A∩X=A,A∪X=X,

A∩=,A∪=A;(8)DeMorgan对偶律:(A∪B)=A∩B,(A∩B)=A∪B.证明DeMorgan对偶律:对任意xX,由于((A∪B))(x)=1(A∪B)(x)=1(A(x)∨B(x))=(1A(x))∧(1B(x))=A(x)∧B(x)=(A∩B)(x).所以(A∪B)=A∩B.同理可证(A∩B)=A∪B.

53注1：满足以上8条性质的代数系统称为DeMargan代数,

也称为软代数(softalgebra).例5设论域X={a,b}上的模糊集A={(a,0.6),(b,0.3)}.则A={(a,0.4),(b,0.7)}.从而A∪A=