“点差法”在圆锥曲线之中点弦的应用-学生

精品文档“点差法”在圆锥曲线之中点弦的应用直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供参考。一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆x2y21内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线164的方程。例2、已知双曲线x2y21，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，2且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例3、已知椭圆y2x21的一条弦的斜率为3，它与直线x1的交点恰为这条弦的中点75252M，求点M的坐标。精细；挑选；精品文档2 2例4、已知椭圆 y x 1,求它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程。75 25三．求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为 F(0, 50)的椭圆被直线l:y 3x 2截得的弦的中点的横坐标为1，求椭圆的方程。2四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例6、已知椭圆x2y21，试确定的m取值范围，使得对于直线y4xm，椭圆上总43有不同的两点关于该直线对称。例7、已知抛物线 C: y (x 3)2和直线l:ykx(k0)为使抛物线上存在关于l对称的4两点，求k的取值范围。精细；挑选；精品文档上面给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些解法。下面看一个结论引理设A、B是二次曲线C：Ax2Cy2DxEyF0上的两点，P(x0,y0)为弦AB的中点，则kAB2Ax0DE0)2Cy0(2Cy0E。设A(x1,y1)、B(x2,y2)则Ax12Cy12Dx1Ey1F0,,（1）Ax22Cy22Dx2Ey2F0,,（2）(1)(2)得A(x1x2)(x1x2)C(y1y2)(y1y2)D(x1x2)E(y1y2)0∴2Ax0(x1x2)2Cy0(y1y2)D(x1x2)E(y1y2)0∴(2Ax0D)(x1x2)(2Cy0E)(y1y2)0y1y22Ax0D2Ax0D∵2Cy0E0∴x1x2x1x22Cy0kAB2Cy0E。∴E即（说明：当AB时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P(x0,y0)的切线斜率k2Ax0D2Cy0E）公式，即推论1设圆x2y2DxEyF0的弦AB的中点为P(x0,y0)（y00)，kAB2x0D2x0D2y0E。（假设点P在圆上时，则过点P的k则切线2y0E斜率为）kABk

x2推论 2 设椭圆a2b2 x0a2 y0。（注：对b2 x0a2 y0）推论 3 设双曲线

y21(x0,y0)（y00)，则b2的弦AB的中点为Pa≤b也成立。假设点 P在椭圆上，则过点 P的切线斜率为x2y21(x0,y0)（y00)则a2b2的弦AB的中点为PkAB设点

b2x0kb2x0a2y0a2y0）。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为p设抛物线y22px的弦AB的中点为P(x0,y0)（y00)则kAB推论4y0。（假k p)P在抛物线上，则过点 P的切线斜率为 y0精细；挑选；精品文档五、注意的问题利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、对称性问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养解题能力和解题兴趣。但不能忽略弦中点的轨迹应在曲线内的条件。六．强化训练题x2 y211 求椭圆25 16 斜率为3的弦的中点轨迹方程。2过椭圆x2y21内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直164线方程。2 23 过椭圆x y 1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于 Q点，求PQ中点的轨迹方程。64 364 求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标。精细；挑选；精品文档精细；挑选；精品文档凡事发生，必有利我！因为凡事都是我赋予它意义，它才对我有意义。而我的思维模式已经调整成“赋予所有事情对我有利的意义”了。什么叫做说话的高手？说的人家舒服、感动，同时愿意按你说的做。这就是语言的魅力。你对爱的定义是什么？通过你说话我就知道。哭泣女：“给他做了20年饭，从来没听他夸我一句。”——