数学本质缺失归因与策略

数学本质缺失归因与策略探讨

晋江市教师进修学校蔡福山石狮市教师进修学校黄玉香一.提出话题的背景

“注重实质，淡化形式”“把根留住——追溯数学本源”重形式轻内容、重气氛轻本质实践层面镜头回放：案例1：一位教师上四年级下册《图形分类》一课，教师介绍了三角形具有稳定性的特点后，要求学生找生活中哪些事物应用了三角形的稳定性。生1：我发现人字屋架具有稳定性。生2：我发现了自行车的三角形车架具有稳定性。生3：老师，红领巾也是三角形，但它不具有稳定性，可以任意地揉捏，容易变形。这一回答大大出乎教师意料！教师略一思考，“是啊，红领巾是布做的，我们不能用红领巾理解三角形的稳定性，而要看人字架屋顶、自行车三角架这些物体，多牢固啊！”“拉得动、拉不动”“揉捏会不会变形”能作为判断图形是否具有稳定性的标准吗？

“只要三角形的边长确定，则这个三角形的形状和大小也就确定了。”——三角形稳定性的数学本质活动1：围一围师：刚才同学们用三根牙签围成了一个三角形。想一想，用这三根牙签还能围成其他形状的三角形吗？生（齐）：能。教师请几位学生到投影仪上演示，若干次尝试后，大家发现，不管怎样移动牙签，三角形除姿势变化外，其形状、大小都不会改变。于是教师顺势引导学生归纳：“只要三角形三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小也就确定了，这体现了三角形的稳定性。”活动2：拉一拉。活动3：找一找。（略）“数学教学是数学活动的教学”数学活动有两个要素:活动内容和活动组织“内容决定形式”“本质决定形式”晋江市第二实验小学许贻亮《百分数的认识》《福建教育》09、7《关注数学本质，组织有效教学活动》《福建教育》09、9《把握起点关注需求》许贻亮

《2009年福建省高考数学学科考试说明(文科)》在命题指导思想中提出：命题应体现《普通高中数学课程标准（实验）》的理念，体现对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求，坚持能力立意，注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想，着重考查考生的数学素养和对数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能。福建高考命题组点评2009年高考数学试题：着眼选拔注重能力适度创新关注过程合理开放倡导探究注重本质强调应用（突出对相关数学知识的本质含义的考查）教什么比怎么教更重要！理论层面“这两日正看一些摄影的书，发现有一本极为独特，它不像别的书，一开始就介绍具体而烦琐的成像知识，而是先给你讲授摄影追求的是什么，一幅好照片有什么基本特征。寥寥数语，就将摄影的精华思想跃然纸上。当然操作技术也是重要的，可是没有这些灵魂的东西，你怎么去把握技术，去处理变化无穷的情境呢？不了解其终极意义，又怎么知道要追求什么？‘大音希声，大象无形’。真正的效率来自思想的动力。来自意义的感悟。教学也是这样。”数学教学学的问题题“并不不在于教教学的最最好的方方式是什什么，而而在于数数学是什什么。………如果果不正视视数学的的本质问问题，便便解决不不了关于于教学上上的争议议”。P．欧内内斯特(P．Ernest)同一个教教学内容容，可以以有多种种教学设设计。无无容置疑疑，每一一种新设设计都在在探求教教学的更更好方式式。但数数学教学学的首要要问题，，不在于于教学的的更好方方式是什什么，而而在于所所教内容容的数学学本质是是什么。。教学为为什么这这样安排排，而不不那么安安排，首首先是由由所教内内容的数数学本质质决定的的，虽然然它不是是惟一的的决定因因素。蔡蔡圣圣宏理论层面面数学课标标修订稿稿“教学学建议””中提出出：●●教教师应应当准确确把握教教学内容容的数学学本质和和学生的的实际情情况，确确定合理理的教学学目标，，设计一一个好的的教学方方案。数学课标标修订稿稿“教学学建议””中提出出：●为了帮帮助学生生真正理理解数学学知识，，教师应应注重数数学知识识与学生生生活经经验的联联系、与与学生学学科知识识的联系系。教师师还应提提示知识识的数学学本质及及其体现现的数学学思想，，帮助学学生理清清相关知知识之间间的区别别和联系系。数学课标标修订稿稿“教学学建议””中提出出：●教学学中应当当努力创创设源于于学生生生活的现现实情境境。好的的“现实实情境””，应当当是学生生熟悉的的、简明明的、有有利于引引向数学学本质的的、真实实或合理理的。“评价建建议”中中提出：：●对基基础知识识和基本本技能的的考查，，要注重重考查学学生对其其所蕴涵涵的数学学本质的的理解，，考察学学生能否否在具体体情境中中合理应应用。“教材编编写建议议”中提提出：●素材的的选用应应当充分分考虑学学生的认认知水平平和活动动经验。。这些素素材应当当在反映映数学本本质的前前提下尽尽可能地地贴近学学生的现现实，以以利于他他们经历历从现实实情境中中抽象出出数学知知识与方方法的过过程。二.概念解读读本质:就是是指事物本身身所固有的、、决定事物性性质、面貌和和发展的根本本属性。数学是研究现现实世界的空空间形式和数数量关系的科科学（恩格斯斯语，《辞海海》）。数学是一门自自然科学、经经验科学。数学是一门演演绎科学。组成数学整体体的另一个非非常重要的方方面是数学研研究的过程，，是数学真理理的抽象概括括过程。数学是在内容容和形式的互互相影响之中中的一种发现现和组织的活活动（弗赖登登塔尔）。数学是人类的的一种文化,它的内容、、思想、方法法和语言是现现代文明的重重要组成部分分。数学是一种对对待事物的基基本态度和方方法，一种精精神和观念，，即数学精神神、数学观念念和态度。《数学课程标标准(实验稿稿)》在前言部分指指出:数学是人们对客观世世界定性把握握和定量刻画画、逐渐抽象象概括、形成成方法和理论论，并进行广广泛应用的过程。在基本理念部部分指出：数学是人类的一种文化,它的内容、、思想、方法法和语言是现现代文明的重重要组成部分分。《数学课程标标准(修订稿稿)》在设计理念部部分指出：““数学是研究数量关系系和空间形式式的科学。”数学作为对客客观现象抽象象概括而逐渐渐形成的科学学语言与工具具…数学是人类文文化的重要组组成部分…数学本质既体体现在数学研研究结果上，，又体现在研研究过程中；；不仅体现在在数学知识上上，还体现在在数学思想、、数学文化、、数学精神里里。它的特点点集中体现在在数学的抽象象、严密、简简洁，其中最最本质的特点点是抽象性。。在宏观上，可可以说数学本本质就是数学学观问题。在微观上，数数学本质就是是具体数学内内容的本质意意义。●隐藏在客观观事物背后的的数学知识●统摄具体数数学知识与技技能的数学思思想方法●隐藏在数学学知识背后的的本质属性《长方体和立立方体的表面面积》创设情境，激激趣引入：猜猜一猜，做一一个长方体纸纸盒和一个立立方体纸盒，，哪个用纸板板多？（店员员阿姨做一个个生日礼物包包装盒需要多多少包装纸？？）平行：用运动的观观点观察直线线的位置关系系，平行是直直线平移运动动的状态。因因此平行的数数学本质应该该是直线的平平移运动，而而画平行线的的关键是使画画直线的工具具发生平移。。百分数：表示示两个数比的的关系，比的的结果用百分分数表示。整数、小数、、分数加减运运算法则：相相同计数单位位相加减。。测量：被测对对象含有几个个测量单位。。解决问题：四四则运算意义义的运用。交换律：运算算形式变化但但运算结果保保持不变，即即“数量不变变”。方程：为了寻寻求未知数，，在已知数和和未知数之间间建立起来的的一种等量关关系。正比例、反比比例：函数思思想确定位置：坐坐标思想圆面积公式推推导：“化化曲为直”、、极限思想平移、旋转：：刚体变换平均数、众数数、中位数：：反映一组数数据的集中趋趋势的统计量量四.“数学本本质”缺失归归因分析思考一：书本本“存在的””就一定是““合理的”吗吗？案例2：x＝＝1，是不是是方程？“为了求未知知数，在己知知数和未知数数之间建立一一种等式关系系。”——方程的本本质四.“数学本本质”缺失归归因分析思考一：书本本“存在的””就一定是““合理的”吗吗？案例3：到底底应该怎么分分？二年级（上册册）P35：：答案：下面几几种排法都是是正确的。（1）每排4人，排6排排（或每排6人，排4排排）；（2）每排12人，排2排（或每排排2人，排12排）；（3）每排24人，排1排（或每排排1人，排24排）。二年级（上册册）P95第第2题：答案：24名名同学进行分分组有多种方方法：每组2人，分12组；每组3人，分8组组；每组4人人，分6组………但如何确确定分组方法法合适，则与与跑道的条数数有关。二年级（上册册）P85第第5题：有几个盘子2369每个盘子里放几只杯子9632答案：五年级上册P9第5题：：把48个球球装在盒子里里，每个盒子子装得同样多多，有几种装装法？每种装装法各需要几几个盒子？每个盒子装球个数241612864321需要盒子数2346812162448答案：48＝1××48＝2××24＝3××16＝4××12＝6××8，48有有1，2，3，4，6，，8，12，，16，24，48这10个因数，，最多有10种装法，但由条件可知知至少用2个个盒子，所以共有9种装法见下下表。四.“数学本本质”缺失归归因分析思考一：书本本“存在的””就一定是““合理的”吗吗？归因：教材编编写的局限性性所导致。四.“数学本本质”缺失归归因分析思考二：“站站在儿童角度度看问题”就就一定是对的的吗？案例4：一定定要直观地平平均分才能产产生分数吗？？四.“数学本本质”缺失归归因分析思考二：“站站在儿童角度度看问题”就就一定是对的的吗？案例4：一定定要直观地平平均分才能产产生分数吗？？归因：教师教教学思维的““童化”所导导致。四.“数学本本质”缺失归归因分析思考三：我们们自身的专业业知识够用吗吗？案例5：圆面面积计算公式式为什么不用用“≈”？归因：教师本本体性知识的的欠缺所导致致。什么叫教师本本体性知识？？教师从事自己己的专业工作作所必须具备备的学科知识识。案例6：能用用抛硬币实验验得出正面或或反面朝上的的概率相等吗吗？为了让学生明明白硬币正面面或反面朝上上的可能性相相等，老师先先安排同桌合合作抛硬币10次，记下下正、反面朝朝上的次数，，再小组汇总总、全班汇总总，然后介绍绍数学家们的的实验数据，，如下页表格格，最后告诉诉学生，随着着实验次数越越来越多，正正面朝上与反反面朝上的次次数会越来越越接近，所以以说正面或反反面朝上的可可能性相等。。试验者抛币次数正面朝上次数反面朝上次数相差数德·摩根4092204820444蒲丰40402048199256费勒100004979502142皮尔逊24000120121198824罗曼诺夫斯基8064039699409411242合计12277260786619861200案例7：五年级（上册）P38第2题，写出分母是7的真分数。教师问：是不是真分数？07案例8：5÷x＝8是看作5÷×x＝8，还是看作5÷（x）＝8？141414案例9：用面积公式算算出的是面积积大小，怎么么会是钢管的的根数呢？认为答案是的的，是将将甲数假设成成1，乙数假假设成，，÷÷1＝＝＝。。案例10：在一教学论坛坛中看到这样样一道数学题题：乙数是甲甲数的，，甲乙两数数和的倒数除除以甲数，商商是（）。。结果出现了两两种答案，和和。。认为答案是的的，是把把乙数假设成成1，甲数假假设成2，÷÷2＝；；认为答案是的的，是将将甲数假设成成1，乙数假假设成，，÷÷1＝＝＝。。12162312+31616231211.5认为答案是的的，是将将甲数假设成成1，乙数假假设成，，÷÷1＝＝＝。。232311+1/2用“代数”的的方法：假设设乙数为x、甲数为2x，则有假设甲数为x、乙数为x，，则有÷2x＝x÷2x＝。。12X+X1316X223X212四.“数学本本质”缺失归归因分析思考四：“生生活化”教学学即忠实生活活原貌吗？折成的总份数数---数学学模型：2n对折次数12345……其中1份占整张纸几分之几……案例11：大大数次折纸的的可操作性值值得质疑吗？？拿一张长方形形纸对折，然然后摊开来看看看，这样连连续折几次，，写出每次折折成的一小块块占整张的几几分之几：“一尺之捶，，日取其半，，万世不竭。。”——庄子《天天下篇》数学模型：2n(n取负整数数)四.“数学本本质”缺失归归因分析思考四：“生生活化”教学学即忠实生活活原貌吗？归因：生活经经验的干扰所所导致。四.“数学本本质”缺失归归因分析思考五：这样样的习题设计计合理吗？（1）最小的的偶数是（））。（2）0.5×0.2的的积是（））位小数。.（3）判断：0.9＜1。（）（4）判断：：射线比直线线短，比线段段长。（））四.“数学本本质”缺失归归因分析思考五：这样样的习题设计计合理吗？（5）判断：：自然数的个个数比偶数多多。（）（6）判断：：某篮球运动动员任意投篮篮一次，投中中的可能性是是1/2。（（）（7）任意抛抛40次硬币币，可能有（（）次正面面朝上，可能能有（）次次反面朝上。。归因：不良习习题的误导所所导致。四.“数学本本质”缺失归归因分析思考六：多媒媒体这样使用用合理吗？案例12：《铅笔有多长长》在尺子上找毫毫米“你能在尺子子上找出1毫毫米吗，找到到后指给你的的同桌看看。。”（同桌指指了之后，请请学生到课件件中放大的尺尺子上指出1毫米）指着课件中刻刻度0到刻度度1之间的放放大直尺图：：“这样的1小格是1毫毫米，2小格格是几毫米？？3小格呢………”发现：：这1厘米里里面有10毫毫米。“是不是每1厘米里面都都是10毫米米呢，请同学学们在自己的的尺子中任选选1厘米，数数一数是否有有10毫米。。”（学生数数格子验证））引导学生得得出：1厘米米=10毫米米四.“数学本本质”缺失归归因分析思考六：多媒媒体这样使用用合理吗？归因：多媒体体的使用不当当所导致。小结：“数学本质””缺失归因分分析——（一）教材编编写的局限性性所导致；（二）教师教教学思维的““童化”所导导致；（三）教师本本体性知识的的欠缺所导致致；（四）生活经经验的干扰所所导致；（五）不良习习题的误导所所导致。（六）多媒体体的使用不当当所导致。几点建议：正确归因，理理性对待；课标要求，准准确把握；充实知识，提提升素养；深入思考，丰丰富策略。把握本质，淡淡化形式。如何提升自身身的数学素养养？“八个一”———●一本《辞海海》●一台电脑（（利用网络资资源：百度搜搜索、论坛））●一本专业杂杂志（全年订订阅）●一套中学数数学教材（补补充本体性知知识）●一套小学数数学教材（精精读熟读，了了解知识前后后联系）●一组优秀中中、小学数学学教师通讯录录●一本读书笔笔记（摘录对对自己有启发发的观点）●一本问题记记录薄（问题题来自：学生生、同伴、自自己的课堂）四.凸显“数数学本质”教教学实施策略略“四关注”:关注核心知识识关注思想方法法关注理性精神神关注数学化过过程结构性：有结结构便有网络络、便有体系系，有体系便便有核心知识识（二）关注核心知识识“越是简单的的往往越是本本质的”今年高考数学学命题把重点点放在高中数数学课程最基基础、最核心心的内容上，，试卷紧紧地地围绕“双基基”，对中学学数学的核心心内容和基本本能力进行重重点考查，特特别是对高中中数学的主干干知识进行较较为全面的考考查，主干知知识的占分比比例在文科卷卷中约为88%，在理科科卷中约为79%。（福福建省数学学学科高考命题题组）整体把握把握本质属性性把握知识的本本质属性：（二）关注核心知识识要了解为什么么要学习这一一个知识（必必要性）。这个知识的现现实原型是什什么。这个知识特有有的数学内涵涵是什么。以这个知识为为核心能否构构建一个“概概念网络图””。（二）关注核心知识识案例12：《《铅笔有多长长》首先要让学生生感受引入长长度单位分米米、毫米的必必要性，是度度量精确性的的需要。野猪菲菲的脚脚印比7厘米米多一些，又又不够8厘米米，多出来的的这部分长度度怎么表示呢呢？感受1分米和和1毫米有多多长。总结米、分米米、厘米、毫毫米之间的关关系，并从大大到小排序知知识为核心能能否构建一个个“概念网络络图”。“思想有多远远，我们就能能走多远。””“世界上有两两种力量，一一种是剑，一一种是思想，，而思想最终终总是战胜剑剑。”（拿拿破仑）（二）关注思想方法法抓“数学本质质”教学，离离不开对数学学思想方法的的挖掘与渗透透，让学生从从数学学习过过程中获得朴朴素而又广泛泛的、深厚而而又灵动的、、能广泛迁移移的、具有生生长性的思想想，帮助学生生通过数学学学会思维。（二）关注思想方法法变量（函数））思想设有两个变量量x和y，当当x取其变化化范围中的每每一个特定的的值时，相应应的有唯一的的y与它对应应，则称y是是x的函数。。有了这些变量量思想的渗透透，上初中后后，学生接触触到一次函数数、二次函数数学习时，就就会有一种似似曾相识的感感觉，可以减减轻许多由陌陌生感而带来来的认知上的的负荷。（二）关注思想方法法数形结合思想想就是把抽象的的数学语言、、数量关系与与直观的几何何图形、位置置关系结合起起来，通过通通过抽象思维维与形象思维维的结合，使使复杂问题简简单化、抽象象问题具体化化，从而起到到优化解题途途径的目的。。数形结合思想想在小学数学学教学中运用用很广，比如如：数的认识：：直观的计计算器、计计数单位模模型——抽抽象的数字字数的运算：：计数器———算理常见的量：：如面积、、体积单位位模型———进率探索规律：：借助直观观图（点阵阵、三角形形小棒图、、摆方块……）——理理解规律解决问题：：线段图数学思想方方法表格(链接).doc方程思想在处理某些些问题时，，往往根据据已知与未未知之间的的内在联系系和相等关关系先建立立方程（或或方程组）），再通过过解方程（（或方程组组）求得未未知量的值值，这种通通过方程（（组）来沟沟通已知与与未知，从从而使问题题获得解决决的思想方方法称之为为方程思想想。（三）关注理性精精神数学可以在在人的内心心深处培植植理性的种种子，可以以让你拥有有一颗理性性的大脑，，学会严谨谨、审慎地地看待问题题、理解世世界，而关关注“数学学本质”教教学的文化化意义也恰恰在于此：：体验数学学探索过程程中的执著著和坚韧、、体验论证证过程中的的严谨和务务实，这些些深沉的文文化力量正正是在揭示示“数学本本质”的过过程中慢慢慢得以彰显显出来的。。课堂实录———《交换换律》一个例子，，究竟能说说明什么？？师：观察板板书“3+4=4+3”，你你有什么发发现？生：我发现现，交换两两个加数的的位置和不不变。师：其他同同学呢？有有没有补充充意见？生：我觉得得单就一个个式子就得得出“交换换两个加数数的位置和和不变”好好像不太好好。万一其其他两个数数相加，交交换它们的的位置和不不等呢？师：的确，，仅凭一个个特例就得得出“交换换两个加数数的位置和和不变”这这样的结论论，似乎草草率了点。。但我们不不妨把这一一结论当作作一个猜想想（教师随随即将结论论中的“。。”改为““？”）。。既然是猜猜想，那么么我们还得得——生：验证。。验证猜想，，需要怎样样的例子？？师：怎么验验证呢？生：我觉得得应该举无无数个例子子才行。不不然，永远远没有说服服力。万一一你没有举举到的例子子中，正好好有一个加加法算式，，交换它们们的位置和和变了呢？？生：我反对对！举无数数个例子是是不可能的的，永远也也举不完！！如果每次次验证都需需要这样的的话，那我我们永远都都别想得到到结论。师：综合两两人的观点点，我觉得得是不是可可以这样，，我们每人人都来举三三四个例子子，全班合合起来那就就多了。同同时大家也也留心一下下，看能不不能找到““交换加数数位置和发发生变化””的情况，，如果有及及时告诉大大家。生写完汇报报——生：我也举举了三个例例子，5+4=4+5，30+15=15+30，200+300=300+200。我发发现，不管管是一位数数、两位数数，还是三三位数，交交换两个加加数的位置置和都不变变。生：我举的的是0+8=8+0，6+21=21+6，1/9+4/9=4/9+1/9，我我发现，不不但交换两两个整数加加数的位置置和不变，，交换两个个分数加数数的位置和和也不变。。生：……师：现在，，有了这么么多例子，，能得出““交换两个个加数的位位置和不变变”这个结结论了吗？？有没有谁谁举例时发发现了反面面的例子，，也就是交交换两个加加数和变了了的？（学学生摇头））这样看来来，我们能能验证刚才才的猜想吗吗？生：能。（（教师重新新将“？””改成“。。”并补充充成为：““在加法中中，交换两两个加数的的位置和不不变。”））师：回顾刚刚才的学习习，除了得得到这一结结论外，你你还有什么么其他收获获？生：我发现现，只举一一两个例子子，是没法法验证某个个猜想的，，应该多举举一些例子子才行。生：举的例例子尽可能能不要雷同同，最好把把各种情况况都举到。。师：在这一一规律中，，变化的是是两个加数数的—（板板书：变））生：位置。。师：但不变变的是—生：它们的的和。（板板书：不变变）师：原来，，“变”和和“不变””有时也能能这样巧妙妙地结合在在一起。结论，是终终点还是新新的起点？？师：从个别别特例中形形成猜想，，并举例验验证，是一一种获取结结论的方法法。但有时时，从已有有的结论通通过适当变变换、联想想，同样可可以形成新新的猜想，，进而形成成新的结论论。比如（（教师指读读刚才的结结论，加法法的“加””字予以重重音），““在加法中中，交换两两个加数的的位置和不不变。”那那么，在——生：减法中中，交换两两个数的位位置，差会会不会也不不变？（学生中马马上有人作作出反应：：差肯定会会变！）生：同样乘乘法中，交交换两个乘乘数的位置置积会不会会变？生：除法中中呢？交换换两个数的的位置商会会不会变呢呢？（教师板书书上述三个个猜想。））师：通过联联想，同学学们由“加加法”拓展展到了减法法、乘法和和除法，这这是一种很很有价值的的思考。大大家选择猜猜想，再举举例验证。。全班交流生：我只举举了一个例例子，8-6=2，，但6-8却不够减减，所以我我认为，减减法中交换换两个数的的位置差会会变的，也也就是减法法中没有交交换律。生：我发现现，要想说说明某个猜猜想是对的的，必须举举好多例子子来证明，，但要想说说明某个猜猜想是错的的，只要举举出一个不不符合的例例子就可以以了。师：多深刻刻的认识啊啊！事实上上，你们刚刚才所提到到的符合猜猜想的例子子，数学上上我们就称称作“正例例”，不符符合猜想的的例子，数数学上我们们就称为““反例”。。（猜想乘法法、除法的的过程略））怎样的收获获更有价值值？师：通过今今天的学习习，你有哪哪些收获？？生：加法和和乘法中有有交换律，，减法和除除法却没有有。生：我发现现，有了猜猜想，还需需要举许多多例子来验验证，这样样得出的结结论才准确确。生：我还发发现，只要要能举出一一个反例，，那我们就就能肯定猜猜想是错误误的。生：举例验验证时，例例子应尽可可能多，而而且，应尽尽可能举一一些特殊的的例子，这这样，得出出的结论才才更可靠。。必要的拓展展：让结论论增值！师：在本课课即将结束束时，依然然有一些问问题要留给给大家进一一步展开思思考。（教教师出示如如下算式：：20-8-6○20-6-8；60÷2÷3○60÷÷3÷2））师：交换两两个减数或或除数，结结果又会怎怎样？由此此，你是否否又可以形形成新的猜猜想？利用用本课所掌掌握的方法法，你能通通过进一步步的举例验验证猜想并并得出结论论吗？思考：“交交换律”只只是一个简简单的知识识点，为什什么张齐华华老师能把把它上成为为一节超越越知识之上上的体现思思想的启迪迪、精神的的熏陶的具具有多元文文化价值的的数学课呢呢？“超越知识识之上”———作为某某一特定运运算的交换换律知识被被弱化了；；“思想的启启迪”———渗透“变变与不变””的辨证关关系，突显显由“此知知”及“彼彼知”的数数学联想；；“精神的熏熏陶”———超越知识识学习的技技巧性与功功利性追求求，拥有数数学课堂本本该拥有的的思辨的文文化气质和和从容姿态态。（四）关注注数学化过过程“用数学方方法把实际际材料组织织起来叫做做数学化。。”（弗赖赖登塔尔））数学化由由低到高有有两个层次次：一是横横向数学化化，即把生生活世界引引向符号世世界；二是是纵向数学学化，即在在符号世界界里，符号号生成、重重塑和被使使用。“将实际问问题抽象成成数学模型型”即数学学建模的过过程，我认认为这就既既是数学化化的过程，，也是数学学化的结果果。数学抽象的的本质属性性决定了数数学化是揭揭示“数学学本质”的的必由之路路。（四）关注注数学化过过程首先，要处处理好“活活动化”与与“数学化化”的关系系。其次，要处处理好“生生活化”与与“数学化化”的关系系。（四）关注注数学化过过程首先，要处处理好“活活动化”与与“数学化化”的关系系。数学活动是是数学化的的载体，数数学化是数数学活动的的本质特征征。（四）关注注数学化过过程案例15：：丁杭缨老老师《三三角形边的的关系》课始，丁老老师组织了了一个围一一围的数学学活动：把把一根吸管管任意“剪剪”成三段段，用线把把它们首尾尾串起来，，再搜集三三种不同的的情况粘贴贴于黑板上上：①两边边和大于第第三边；②②两边和等等于第三边边；③两边边和小于第第三边，再再引导学生生思考“为为什么有的的不能围成成三角形””，在思考考讨论中学学生完成了了初步的建建构：“三三角形两条条边之和大大于第三边边”。此时时建构起来来的数学知知识还有一一定的局限限性，因此此丁老师又又通过数学学活动解构构概念，提提出了“只只要两边的的和大于第第三边就一一定能围成成三角形吗吗？”引导导学生从数数学逻辑推推理角度对对这个结论论加以验证证和修正。。（四）关注注数学化过过程其次，要处处理好“生生活化”与与“数学化化”的关系系。数学化有两两个层次：：一是横向向的数学化化，即把生生活世界引引向符号世世界。二是是纵向的数数学化，即即在符号世世界里，符符号生成、、重塑和被被使用。。两个层次的