中考数学.函数图象上点的存在性问题中的距离、面积与角度.学生版

第二轮复习之函数图像上点的存在性问题

中的距离、面积与角度中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置. 比如寻找等腰三角形的顶点等等.一、线段定值问题：初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类：①动点P到定点O的距离等于定长d,其实就是作圆（如图1）.动点P到定直线l的距离等于定长d,其实就是作平行线（如图2）.动点P到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线. （如图3）⑤动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图 4）.二、线段最值问题：题型一：已知ABa,ACb,其中ab,求BC的最值.如图，以点A为圆心，线段AB为半径作圆，OA交直线AC于点0、B2,当点B与点B重合时，BC取到最大值为ab;当点B和点B2重合时，BC取到最小值为ba.点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小.题型二：在直线l上找一点P,使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小，如图所示.作点A（或B）关于直线l的对称点，再连接另一点与对称点，与l的交点即为P点.题型三：直线昂l2交于O,P是两直线间的一点，在直线卜％上分别找一点AB,使得4PAB的周长最短.如图所示，作P点关于hl2的对称点P、P2,连接P1P2,与卜l2分别交于A、B两点，即为所求.

题型四：直线h12交于O,A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到li上一点P,再从P点到12上一点Q,再回到B点，求作P、Q两点，使APPQQB最小.如图所示，作AB两点分别关于直线li、12的对称点A'、B',连接A'B'分别交li、12于P、Q,即为所求.点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交.12题型五：从A点出发，先到直线1上的一点P,再在1上移动一段固定的距离PQ,再到点B,求作P点使移动的距离最短，如图所示.先将A点向右平移到八'点，使AA'等于PQ的长，作点B关于1的对称点B',连接A'B',与直线1的交点即为Q点，将Q点向左平移线段PQ的长，即得到P12题型五：B'题型六：B'A、B是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为 d的河上垂直建一座桥，使得从A村庄经过桥到B村庄所走的路程最短.如图所示，将点 A向垂直于河岸的方向向下平移距离d,到A'点，连接AB交河岸于Q点，过Q点作PQ垂直于河岸，交河岸的另一端为 P,即为所求.点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长.PQ题型七：垂线段最短.PQ垂线段最短斜边大于直角边典题精练【例1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22J3mxn经过P(73,5),A(0,2)两点.【例1】⑴求此抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为B,将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线 l,直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标.【例2】已知抛物线yax2bx1经过点A1,3和点B2,1.【例2】⑴求此抛物线解析式；⑵点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；⑶过点B作x轴的垂线，垂足为E点.点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线 FE上运动速度的虚倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短.(要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明)题型二：存在问题中的面积中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题,发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段,计算也是中考的考查点.二是特殊图形面积典题精练【例3】抛物线yx22x3与x轴交于点A、题型二：存在问题中的面积中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题,发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段,计算也是中考的考查点.二是特殊图形面积典题精练【例3】抛物线yx22x3与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C,若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.【例4】如图，已知抛物线y12-xbxc（b,c是吊数，且c0）与x轴分别交于点A,B（点2A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为（1,0）.b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；连接BC,过点A作直线AEIIBC,与抛物线y1x2bxc交于点E.点D是x2轴上一点，其坐标为2,0，当C,D,E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式;在⑵的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点， 连接PB,PC,设所得△PBC的面积为S.①求S的取值范围；个.②若△PBC的面积S为整数，则这样的^PBC共有个.特殊角度4530【例5】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线yx2上一动点，点特殊角度4530【例5】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线yx2上一动点，点A的坐标为4,2,若点P使ZAOP45,请求出点P的坐标. - 一・—1.【存在问题中的角度---特殊角】中考说明：单个特殊角一般指30、45、60等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线 ytanxm与抛物线2yaxbxca0的父点.AOx典题精练题型三：存在问题中的角度构造特殊三角形羸檄2.【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】【例6】在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3,0）,将直线ykx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点.⑴求直线BC及抛物线的解析式；1--4 2O.1~3 5,2⑵设抛物线的顶点为D,点1--4 2O.1~3 5,2⑶连接CD,求OCA与OCD两角和的度数.题型一存在问题中的距离巩固练习【练习1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc经过A2,0、B4,0两点，直线1y—x2父y轴于点C,且过点D(8,m).2⑴求抛物线的解析式；⑵在x轴上找一点P,使CPDP的值最小，求出点P的坐标；⑶将抛物线yx2bxc左右平移，记平移后点A的对应点为A,点B的对应点为B,当四边形ABDC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形 ABDC周长的最小值.题型二存在问题中的面积 巩固练习【练习2】如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A3,3,把直线OA向下平移后,与反比例函数的图象交于点B6,m,与x轴、y轴分别交于C、D两点.⑴求m的值；⑵求过A、B、D三点的抛物线的解析式；⑶若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E,使凸四边形OECD的面积S是四边形OACD面积S的2?若3存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.题型三存在问题中的角度 巩固练习【练习3】如图，点P是直线l：y2x2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线yx2于A、B两点