量子力学复习资料

量子力学复习资料，填空及问答部分ByChaosBluestar1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量£的整数倍S,28,38,48，…,冲对频率为v的谐振子，最小能量8为：8=hV波粒二象性波粒二象性(wave-particleduality)是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的"物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出"物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。厂 , h德布罗意公式E=mc2=hvp-mv=—力波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程d 方2，Lw(九t)+[:v2-v顷)将顷,t)-0dt 2m粒子的波动性可以用波函数来表示，，//= 二)W'/dL之)"其中，振幅表示波动在空间一点(x^z)上的强弱。所以，1大(2,2)|应该表示粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。自由粒子的波函数中-^k-Aexp[:(]5-r一Et)]波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设c是一个常数，则w3,y,乙)和叩3,y,z对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数C-畋，则W3,y,z)和。叩3,y,z)对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。Iw3,y,Z)12表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。

IW3,J,乙)l2AxAyAz表示点(x,y,z)处的体积元At=AxAy&中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1必然有以下归一化条件jIw3,y,z)I2dxdydz=15.力学量的平均值 -既然IW(。|2=叩(x,y,z)|2表示粒子出现在点r=(x,y,z)附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x的平均值__，由概率论，有x=j+81v(f)|2xd3r=j+W*(r)xw(r)d3r,d3d3r=dxdydz又如，势能V是r的函数：V(r)，其平均值由概率论，可表示为V=3可表示为V=3rV=-s -s再如，动量 的平均值为：P=J+sP*(P)PP(P)d3p,为什么不能写成P=i+sW*(『)P(V)W(f)d3r因为x完全确定时p完全不确定，x点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？+s可以，但需要表示为p=』W*(f)PW(f)d3r-s其中S三-i力V为动量日的算符6.算符量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算^ ..一如动量算符P三一1力V能量算符E=i方£三E动能算符r=-^2V2动能平均值T=fw*(f)TW(f)d3r2m-s角动量算符「=『xp角动量平均值l=fw*笛)Tw(f)d3r-sih£w(f，t)=」匕v2+v(f,t)M(匚t)薛定谔方程况 2m算符h=7.算符h=7.定态被称为哈密顿算符，—V2+V(f)，2m数学中，形如Af=af的方程，称为本征方程。其中A—算符,f—本征函数,a—本征值方程［-2v2+v(f)We(f)=Ewe(f)—Hwe(f)=EWe(f)称为能量本征方程,WE笛)被称为能量本征函数，E被称为能量本征值。当E为确定值，WW=WE(Qexp(一三Et)拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。量子态叠加原理但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即W(x)=Zc^wn(x) ，n|cn|2表示在态w(x)中发现粒子处于态Wn(x),具有能量En的概率宇称若势函数V(x)=V(-x)，若W(x)是能量本征方程对于能量本征值E的解，贝0W(-x)也是能量本征方程对于能量本征值E的解定义空间反演算符尸为：PW⑴=W(F如果PW(x)=w(-x)=w(x)或PW(x)=w(-x)=-W(x)，称W(x)具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称tPcos(x)=cos(-x)=cos(x)奇宇称tPsin(x)=sin(-x)=一sin(x)注意：一般的函数没有确定的宇称设W(x)是能量本征方程对应于能量本征值E的解，如果V(x)=V(-x),若W(x)无简并，则W(x)具有确定的宇称。束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态一维谐振子的能量本征值E=E=(n+1/2)力①，n=0,1,2,….n隧穿效应量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子（代表点）穿越势垒（也称势垒穿透barrierpenetration），好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如 H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。13.算符对易式一般说来，算符之积不满足交换律，即AB^BA，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系对易式〃和日，设［A,B］三AB-BA，通常［AB］丰0坐标对易关系［以，p］=i部=!功,以=?以,P=x，y，zp弗10,以。°角动量的对易式TOC\o"1-5"\h\z[l,x]=0,[l,y]=i方z,[l,z]=—i方y,x x x[l,x]=—i方z,[l,y]=0,[l,z]=i方x,y y y[l,x]=i方y,[l,y]=—i方x,[l,z]=0,z z y[l,P]=0,[l,P]=i方P,[l,P]=—i方P,xx xy zxz y[l,P]=—i方P,[l,P]=0,[l,P]=i方P,yx zyy yz x[l,P]=i方P,[l,P]=—i方P,[l,P]=0,zx yzy xyzA A A 八 八 八\o"CurrentDocument"[l ,l ] = 0, [l ,l ] = 0, [l,l ] = 0,xx yy zzA A 八 八 A 八 A 八 八[l ,l ] = i方 l, [l ,l ] = i方l , [l, l]=i方lxy zyz xzx y今日=l2+/2+l2,有尤yz[l2,l]=0,[l2,l]=0,[l2,l]=0尤 y z厄密算符平均值的性质~ 〜VA,则4的共轭转置算符4*称为人的厄密共轭算符,记为A+，即A+=A*。先转置，再共

轭。j&w*人中=j&里Aw*体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。量子力学关于算符的基本假设1、 微观粒子的状态由波函数w=w(r,t)描写。2、波函数的模方lw侦,t)|2表示t时刻粒子出现在空间点(x^z)的概率。3、 力学量用算符表示。4、 波函数的运动满足薛定格方程d、,方2— 、 / 、八, 、ih—W(r,t)=(^―V2+V)w(r,t)=Hw(r,t),dt 2mH=-旦V2+V(r,t)T哈密顿算符2m算符的本征方程，本征值与本征函数数学中，形如Af=af的方程，称为本征方程。其中AT算符,fT本征函数,aT本征值满足AW=AW的W和人不止一组，可能有〃组，因此Aw=AWnnn此式称为耳的本征方程，A称为人的一个本征值，w称为伺的一个本征态。nw(x)=£anwn，其中，n=jw*wdr3

nwn和％是算符A的本征态与本征值，如果V%,w(x)=£anwn，其中，n=jw*wdr3

n不确定度关系的严格表达A4AB>|[AB]|/2两个算符有共同本征态的条件两个算符对易，即[A,B]=0力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由尸的本征值不能确定体系状态，必再加上4的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符 ，它们只有一组共同完备本征函数集，记为；/；，&可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称 为体系的一组力学量完全集。力学量完全集共同本征态的性质设有一组彼此对易的厄密算符力（&,&,&,•••）,它们拥有共同本征函数乙，若％t构成正交归一完备集，使得任给体系的一个量子态a，总有甲则k称（&,&，&，•••）构成体系的一组力学量完全集O若能级简并可以寻找另外的算符A,若[H,A]=O,则有可能用A的本征值对（力\刀）的共同本征函数幺上进行分类，从而使同一个e对应的简并态之::间的正交性得至U保证。,...:…「…:-:…:-:…；-:…；-:…；…守恒量对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A称为量子体系的一个守恒量。狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢 |a＞表示态矢，左矢＜a|表示其共厄矢量，＜a|6＞是内积，＜a|a＞大于等于0，称为模方。|6＞＜a|是外积。|W＞—右矢—代表量子态W；＜wI—左矢—量子态w的共轭态W*若Wj^力学量完全集 F的本征态，则Iwk＞—k＞，如球谐函数丫血是（12,lz）的共同本征函数，|Yim>r|lm>采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。£Ik><k|=i或£Pk=i,Pk=|k><k|为投影算符k k设I#〉为代表量子态"的态矢，算符£对应的力学量在"态下的平均值为E二Jdr”上甲=<y/\L\y/>^<y/\kxk\L\j>\<j\^>算符向左作用L\(p>=2.\(p>,T<(p\LI(p>=<(p\X\(p>T<(p\L=<(p\AT<(p\L=A<(p\角动量平方和角动量z分量的共同本征函数 八 A.. 一^ ..这样，12和l的共同本征函数为zY但，们=(—1)m「21+1(1-m)!pm(cos0无帅1m 4兀(1+m)!1其中m=1,1-1,...,-1+1,-1,1=0,1,2,・・.丫吊称为球谐函数，它们满足[LY =1(1+1)方2Y<呼寸w 1m 注意量纲1Y =m方Y、z1m 1mm=1,1-1,...,-1+1,-1, 1=0,1,2,...注意，推导过程计算题有可能要考氢原子的能量本征值与能级简并度n=1,2,3,•一,pen=1,2,3,•一,2方2n2 2an2氢原子的能级是n2简并的25.正常Zeeman效应原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。26,电子自旋电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称⑴电子具有自旋，彭戒自旋角动量«\在任何方向上的投影只有两个数值：W三亟DL旦肉形盛直鹿磁矩脱尸与弟勺关系是\M2=-^)-15；基于假设⑴，位在空间X荷方面上曲鼠影只雪取两个数值’如z方向,\Msz-土仑方(2/zc)T= Bohr磁子。自旋不是机械的自转27关于电子自旋的Stern-Gerlach实验Stern-Gerlachexperiment首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O.斯特恩和W.革拉赫在1921年完成的。实验装置如图斯特恩一革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O内蒸发，通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域(磁场垂直于束方向)，最后到达照相底片P上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。斯特恩「花拄赫矣技装置示意图义实验仪暑示意h琵场区域尚裁而c5底片实验上高温炉中的Ag原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。28碱金属原子光谱双线结构对钠原子,3p—3s的跃迁产生一条黄线人=589.3nm,用高分辨率的光谱仪进行观测，发现它实际上是由两条谱线构成：人=589.6nm，人=589.0nm。与Zeeman效应不同，此现象并非外界因素作用的结果，而是原子的故有特性。其根源正是电子的自旋。29.量子跃迁与选择定则在外电场的激发下，谐振子从基态|0＞只能跃迁到第一激发态|1＞。q2£2 一 °P(8)=2方兀°2e顷2”2'2＞0,P(8)=0,n＞1以上结果表明，0—1可以发生，0—2，0—3，...，0—n不能发生，表明允许谐振子An=1的跃迁发生，这称为跃迁的选择定则。即谐振子只能跃迁到相邻能级30.禁戒跃迁已知C(t)=5+《jegH，dt(12)kk kk i力 kk0令Pkk(t)=|Ckk(t)|2,则Pkk(t)代表系统从初态k跃迁到末态k的概率。当］牛k时，有P(t)=—|jei膈tH'dt|2 (13)kk 力2 kk0若存在这样的末态k'，使得H；k=0，—Pkk=0，表明从k到k的跃迁是不可能的，或者说，，kkHk的跃迁是禁戒的。在外电场的激发下，谐振子从基态|0＞不能跃迁到激发态|n＞，其中n＞1。或者说，0—2，0—3,...，0—n的跃迁为禁戒跃迁。微扰论的思想解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分，对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似解。这种方法称为微扰论。突发微扰与绝热微扰当外界的微扰十分缓慢地作用到系统上时，不会改变系统的状态，这样的微扰叫做绝热微扰。当外界的微扰十分突然地作用到系统上时，也不会改变系统的状态，这样的微扰叫做突发微扰。能量与时间不确定度AtAExh被称为时间一能量的不确定度关系，可以证明此式的一般形式为：AEAt>2此式反映了一个力学量变化快慢的周期At，同系统能量的不确定度AE不能同时为零。能级宽度与谱线宽度由于能量不确定性AEkAt>冷2所以，所有的能级都有一个宽